DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN

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1 DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN

2 0. VORBEMERKUNGEN 0.1. ALLGEMEINE VORBEMERKUNGEN 0.2. SPEZIELLE VORBEMERKUNGEN Thematische Eindrücke Die Problematik der Didaktik - Einsteinsche Feldgleichungen behandeln Physik in makroskopischen Bereichen in einer in sich präzise abgeschlossenen Form - Dieses Paradigma affiziert und involviert die Ratio von der höheren Mathematik bis hin zu anspruchsvoller Philosophie - Deshalb: Erhöhung der maximalen Sprechzeit auf 67,5 Minuten (Äquivalente Operation: Einfügen eines zeitlichen Paritäts-Bits) - Einstein, 1917: Über die Spezielle und die Allgemeine Relativitätstheorie (gemeinverständlich) - Einige Jahre später: andere Bezeichnung (gemeinunverständlich) zugeordnet - Im Hinblick auf diesen Vortrag: Irgendwo dazwischen wird er liegen müssen Die Problematik der Vorworte Temporale und Andere Freiheiten Überblick - Distanziertere Betrachtung erhält Überblick - Besonneneres Voranschreiten unerlässlich - Freiheit des Gedankens, sich setzen zu lassen und verinnerlicht zu werden - Möglichkeit der Wahrung der Einsteinschen Seelenruhe - Ständiger Gebrauch des Rechtes auf das Weglassen bzw. des Redundanzaxioms - Weniger ist Mehr Mannigfaltigkeiten, Tensoren und Metrik - 2. Die Einsteinschen Feldgleichungen - 3. Tensoranalysis - 4. Lösungen der Einstein-Gleichungen - 5. Ausblicke - 6. Bibliografie Am Anfang war das Vorwort? Am Anfang war die Tat. (Goethe, Faust1)

3 1. MANNIGFALTIGKEITEN, TENSOREN UND DIE METRIK 1.1. MANNIGFALTIGKEITEN Anschauliche Interpretation Definition M heißt n-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit, wenn Folgendes gilt: - Existenz lokaler Koordinaten, d.h. zu jedem Punkt x in M existieren eine Teilmenge U von M, die den Punkt x enthält und eine Bijektion : U U, wobei Uφ eine offene Menge des Rn ist. Das Paar (U,φ) bezeichnet man als Karte von M, x =x als lokale Koordinate des Punktes x in der Karte (U,φ). - Existenz des Koordinatenwechsels, d.h. die zu den Transformationsgleichungen x = 1 x, x = 1 x für die lokalen Koordinaten x =x und x =x [xψ in (V,ψ)] gehörigen Abbildungen sind glatt (Typ C ). 1 :V U, 1 :U V Eine Mannigfaltigkeit ist lokal wie ein Teil des n-dimensionalen euklidischen Raumes TENSOREN Definition Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. Tensoren können über das Verhalten bei Koordinatentransformationen definiert werden. dx ' = x ' x dx X ' ' x = x X Menge von Größen Xν bezeichnet Tensor Klassifikation von Tensoren Klassifikation hinsichtlich des Transformationsverhaltens Kontravariante Tensoren Die Indices kontravarianter T. stehen oben.

4 dx ' = x ' ' Kovariante Tensoren Die Indices kovarianter T. stehen unten. 1 dx ' = x 1 x ' dx, x ' = x x ' x x x ' = x ' x, X ' = x x ' X Ko(ntra)varianter Tensor 1. Stufe (Ordnung)= Ko(ntra)varianter Vektor. Tensor 0. Stufe (Ordnung) = Skalar Gemischte Tensoren Indices gemischter T. stehen oben u. unten. X ' = x ' x x x x ' x ' X Klassifikation hinsichtlich der Elemente Symmetrische Tensoren wenn X =X ; nn1/2 unabhängige Komponenten Antisymmetrische = Schiefsymmetrische Tensoren wenn X = X ; nn 1/2 unabhängige Komponenten Symmetrischer Anteil X = 1 2 X X Antisymmetrischer Anteil X [] = 1 2 X X... man wird an die Lineare Algebra erinnert. x dx, X ' x = x X

5 Rechenoperationen mit Tensoren Addition und Subtraktion X =Y ±Z Voraussetzung: Tensoren vom gleichen Typ Skalare Multiplikation k X =kx Tensorielle = Äußere Multiplikation X =Y Z ; Erhöhung der Stufe Verjüngung = Kontraktion X =X = X =Y Gleichsetzen von oberem und unterem Index Anwendung der Summationskonvention Ein Tensor niedrigerer Stufe entsteht DIE METRIK Jedes symmetrische kovariante Tensorfeld zweiter Stufe definiert eine Metrik: ds 2 =g dx dx ist das Linienelement. gµν=metrische Form=erste Fundamentalform X 2 =g X X ergibt das Quadrat der Länge oder Norm eines kontravarianten Vektors Xν. Metriken nennt man negativ definit (X2<0), indefinit (sonst) oder positiv definit (X2>0). Ist Metrik nicht-singulär (g=det(gµν) 0), dann definiert g g = das Inverse von gµρ X =g X,..... X... =g X..... Einsatz zum Heben und Senken von Indices.

6 2. DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN 2.1. NOMENKLATUR G = GRAVITATIONSKONSTANTE κ = KOPPLUNGSKONSTANTE Λ = KOSMOLOGISCHE KONSTANTE R = RICCI-SKALAR = SKALARE KRÜMMUNG 2.3. EINSTEINSCHE FELDGLEICHUNGEN IN MATERIE OHNE KOSMOLOGISCHES GLIED G =T Gµν als Repräsentant der Raum-Geometrie gµν = METRISCHER TENSOR Gµν = EINSTEIN-TENSOR Rµν = RICCI-TENSOR Tµν = ENERGIE-IMPULS-TENSOR Rµνρσ = RIEMANN(-CHRISTOFFEL)-TENSOR 2.2. EINSTEINSCHE FELDGLEICHUNGEN IN MATERIE MIT KOSMOLOGISCHEM GLIED G g =T ; =8G /c 2 G =R 1 2 g R =8 für c:=1 und G:=1 Das 1. Machsche Prinzip ist erfüllt: Materieverteilung bestimmt die Geometrie EINSTEIN-GLEICHUNGEN IM VAKUUM G =0 oder äquivalent R =0 Historie: postuliert, um statische Lösung für gleichmäßig gekrümmtes bzw. gleichförmig mit Materie gefülltes Universum zu erhalten. Tµν als Erzeugender, gravitativer Quellterm R =R =g R R=R =g R

7 3. TENSORANALYSIS 3.1. ABLEITUNGEN VON TENSOREN Ursache: Kettenregel der Differentiation Die Partielle = Gewöhnliche Ableitung X ' x ' = ' = x ' X ' =X ',' =X ' ' x ' lim u 0 [ X ' ] F [ X ' ] I u Die Punkte F (Finis) und I (Initium) sind voneinander verschieden und bewirken so auch ein uneinheitliches Transformationsverhalten. = x x X ' Krümmungstensor, Christoffel- Symbole und Metrischer Zusammenhang = x ' x x x ' x x x ' X x X 2 x ' x x x x ' X Riemann(-Christoffel)-Tensor R = = x ' x x 2 x ' X x ' x x x x x ' X Metrischer Zusammenhang: = { } Erkenntnis: Partielle Ableitung ist kein Tensor! 1 = 2 g g g g

8 4. LÖSUNGEN DER EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN 4.1. VORUNTERSUCHUNGEN - System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung zur Bestimmung der metrischen Koeffizienten gµν - Superpositionsprinzip nicht anwendbar - nicht alle Lösungen physikalisch sinnvoll - Finden von Lösungen meist problematisch - Erleichterungen durch Linearisierung für schwache Gravitationsfelder oder durch Forderung von Symmetrieeigenschaften 4.2. DIE SCHWARZSCHILD-LÖSUNG g =diag e a, e b, r 2, r 2 sin 2 Und für die Determinante der Metrik: g= e ab r 4 sin 2. Hieraus lassen sich die und zwar mittels: berechnen, 1 = 2 g g g g. Kugelsymmetrisches Linienelement ds 2 =e a dt 2 e b dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2 Daraus folgen für die kovariante Metrik: Die R ergeben sich dann aus: R =. g =diag e a, e b, r 2, r 2 sin 2, Entsprechende Kontraktionen liefern R. Hinsichtlich der kontravarianten Metrik: Durch G =R 1 2 g R sind die G

9 bestimmt. Mittels Heben eines Indices erhält man die G, deren Relevanteste lauten: 0 G 0 =e b b' r 1 r 2 1 r 2 G 0 1 = e b r 1ḃ 1 G 1 = e b a' r 1 r 2 1 r 2 Das zu lösende Gleichungssystem ist also: e b b' r 1 r 2 1 r 2=0 e b a' r 1 r 2 1 r 2=0 =0 Mit dessen Lösung verschafft man sich das berühmte Schwarzschildsche Linienelement. ds 2 =1 2m/r dt 2 1 2m/r 1 dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2 Die Schwarzschild-Lösung ist symmetrisch in der Zeit und zeittranslationsinvariant. Birkhoffsches Theorem: Jede kugelsymmetrische Vakuumlösung ist statisch. Grenzwertbildung für r : ds 2 =dt 2 dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2 flache Raumzeit der Speziellen Relativität. - (Äußere) Schwarzschild-Lösung gültig als Vakuumlösung im Außenraum eines sphärischen Körpers mit dem Radius a > 2m - Schwarzschild-Radius: rs = 2m - Größe des Schwarzschild-Radius: - Erde: rs 1cm - Sonne: rs 3km - Schwarzschild-Lösung ausgeartet für r = 2m und für r = 0 - für r = 2m liegt eine hebbare, für r = 0 eine wesentliche Singularität vor

10 5. AUSBLICKE 5.1. SCHWARZE LÖCHER Gravitationskollaps bewirkt Kontraktion des Himmelskörpers auf Ursprungs-Singularität. Weder Materie noch Photonen können den Bereich r rs (Schwarzes Loch) verlassen Die Hawking-Strahlung - Vakuumfluktuation bei (r-rs) +0: virtuelles Photonenpaar für kurze, hinreichende Zeit - Photon negativer Energie überquert rs und besitzt nun positive Energie (r ct bei r = rs) - Zwang zur Annihilation damit aufgehoben Photon positiver Energie entfernt sich, Energie und Masse vom Schwarzen Loch sinken GRAVITATIONSWELLEN Metrik erlauben Näherungen der Form: = 2T bzw. =0. - experimenteller Nachweis steht noch aus - Linearisierung mit Vorsicht zu genießen 5.3. KOSMOLOGIE Modelle enthalten sowohl - die kosmologische Konstante Λ als auch - einen Indikator für die Raumkrümmung k Lemaître-Gleichungen: Ṡ 2 t = 8G 3 S2 c2 S 2 3 d dt S3 = p d c 2 dt S3 kc Die Linearisierung der Einsteinschen Feldgleichungen g = h ; =h h/2 Geringe Abweichungen von der Minkowski aus Einstein-Gleichungen abgeleitet Friedmann-Gleichung: Ṡ 2 = C S 1 3 S2 k ; =ct

11 Lösungen der Friedmann-Gleichung Für t 106 Jahre nach Urknall. Umkehr der Zeitrichtung möglich.

12 5.4. EINSTEIN ALS KETZER?... es ist die Überzeugung vorherrschend, dass die experimentell gesicherte Doppelnatur (Korpuskulare und Wellenstruktur) nur durch solche Abschwächung des Realitätsbegriffes erzielbar sei. Ich denke, dass ein so weitgehender theoretischer Verzicht durch unser tatsächliches Wissen einstweilen nicht begründet ist und, dass man sich nicht davon abhalten lassen soll, den Weg der relativistischen Feldtheorie zu Ende zu denken. (Aus: Über die Spezielle und die Allgemeine Relativitätstheorie, Albert Einstein, 1916) Die Allgemeine Relativitätstheorie läßt sich nicht quantisieren. Anschauliche Ursache: Die jeweiligen Raumstrukturen sind nicht kompatibel. Mathematische Ursache: Störungsreihe enthält unendlich viele nicht verschwindende Teile. Vergleich von Quantentheorie mit Allgemeiner Relativitätstheorie hinsichtlich der Metrik GESICHTSPUNKT QUANTENTHEORIE ALLGEMEINE RELATIVITÄT Globale Raumstruktur Euklidisch Nicht euklidisch, pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit Lokale Raumstruktur Nicht euklidisch, Unbenannt Euklidisch Globale Unendlichkeit Integral erschließbar Nicht erschließbar Lokale Unendlichkeit Nicht erschließbar Differentiell erschließbar Bevorzugte Beschreibung Variationsprinzipien Extremalprinzipien

13 6. BIBLIOGRAFIE (Auswahl und Anmerkung streng subjektiv) TITEL AUTOR ZEIT RAUM VERLAG ANMERKUNG Gravitation C. Misner, K. Thorne, J. Wheeler Gravitation and Cosmology General Theory of Relativity Introducing Einstein's Relativity Theoretische Physik, Band 1 ART und Kosmologische Modelle Rel. in Astrom., Cel. Mechanics and Geodesy Steven Weinberg Paul Adrien Maurice Dirac Ray d' Inverno Eckhard Rebhan Prof. Soff Prof. Soffel 1 73 High Is., South Bristol, Maine New York 1 72 Cambridge, Massachusetts Hoboken 1 75 N N 97 D 95 Tellahassee Princeton Southampton Oxford 1 99 Düsseldorf 1 93 Std. Akt NEU I. A. Heidelberg Frankfurt am Main Dresden Tübingen Berlin W. H. Freeman & Company John Wiley & Sons Hoboken Princeton University Press Oxford University Press Spektrum Akademischer Verlag tu-dresden.de /studdocs.htm Springer Heidelberg New York (1279 Seiten) sehr ausführlich mathematisch anspruchsvoll (indexfrei); Bibel M (657 Seiten) sehr ausführlich umfassender Kosmologieteil didaktisch gut; Bibel P (69 Seiten) kurz und prägnant sehr klar, dennoch vielseitig didaktisch gut; Bibel K (394 Seiten) ausführlich, gute Motivationen, mit Kosmologie didaktisch sehr gut; Bibel D (1222 Seiten) ohne Quanten mathematisch anspruchsvoll klar, gutes Nachschlagewerk (314 Seiten) ausführlich facettenreich, umfassender Kosmologieteil, didaktisch gut (208 Seiten) sehr persönliche Darstellung, gute Ergänzung eigene Himmelsmechanik

14 TITEL AUTOR ZEIT RAUM VERLAG ANMERKUNG Princeton The Meaning of Relativity Riemannian Geometry Elementare Differentialgeometrie The Priciples of Quantum Mechanics Theoretische Physik, Band 2 Quantum Relativity. A Synth. of the Ideas... Subtle is the Lord: Science & Life of A. E. Einstein. Der Weltweise u. s. Jahrhundert.... Albert Einstein Manfredo Perdigao do Carmo Christian Bär Paul Adrien Maurice Dirac Eckhard Rebhan David Ritz Finkelstein Abraham Pais Armin Hermann N N 99 Princeton Rio de Janeiro Boston 1 01 Hamburg N 99 Berlin Cambridge New York 1 03 Düsseldorf D Heidelberg Atlanta New York New York New York Stuttgart München Princeton University Press Birkhäuser Boston, Basel, Berlin Walter de Gruyter New York Oxford University Press Spektrum Akademischer Verlag Springer Berlin Heidelberg Oxford University Press Piper Verlag München Zürich (192 Seiten) minimalistisch originaler Gesamtüberblick äußerst klar, didaktisch gut (320 Seiten) sehr ausführlich MF mit negativer Krümmung anspruchsvoll, didaktisch gut (281 Seiten) sehr anschaulich alternatives Einstiegswerk prosaisch, didaktisch sehr gut (324 Seiten) ausführlich alternativer Gesamtüberblick sehr klar, didaktisch gut (>1000 Seiten) mit Quanten mathematisch anspruchsvoll klar, gutes Nachschlagewerk (578 Seiten) Verknüpfung mit Feinstruktur der Raumzeit mathematisch anspruchsvoll (568 Seiten) Biografie aus wissenschaftlicher Sicht umfassend, persönliche Note (635 Seiten) gut lesbare, eher private Biografie, Begegnung mit dem Menschen Einstein