2 Funktionen mehrerer Veränderlicher

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1 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 4 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher Wir betrachten nun Funktionen, die auf einer Teilmenge des R n definiert sind. Wir betrachten eine Funktion f, deren Definitionsbereich eine Teilmenge U R n ist, und die jedem x U eine reelle Zahl f(x) zuordnet. Wir schreiben auch f : U R x f(x). Solche Funktionen treten in allen möglichen Zusammenhängen auf. Zum Beispiel könnte U R 3 ein Raumbereich und f(x) die Temperatur im Punkt x sein. Es sei U R n und f : U R eine Funktion. Wir sagen auch, f ist eine reellwertige Funktion von n Variablen über dem Bereich U. Wir sprechen deshalb von n Variablen, weil wir die Koordinaten des Punktes x = x 1. x n U als n Variable ansehen, von denen die Funktion f(x) = f(x 1,..., x n ) abhängt. Die Funktion heißt reellwertig, da f(x 1,..., x n ) eine reelle Zahl ist. Wie kann man sich eine solche Funktion veranschaulichen? In Analsis A hatten wir zu einer Funktion f(x), x U R, ihren Graphen betrachtet: graph f = {(x, f(x)) R 2 x U}. Diesen Graphen kann man sich als Kurve im R 2 vorstellen. Diese Definition übertragen wir nun auf reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher. Definition Es sei U R n und f : U R eine Funktion. Der Graph von f ist die folgende Teilmenge des R n+1 : x 1. x 1 graph f =. x n Rn+1. U. f(x 1,..., x n ) x n Für n = 1 erhält man die alte Definition und der Graph ist eine Kurve im R 2. Für n = 2 ist der Graph eine Fläche im R 3. Eine solche Fläche veranschaulicht man sich durch ein sogenanntes Blockbild. Beispiel 2.1 Wir betrachten die Teilmenge {( ) } x U := R 2 1 x 1, 1 1 und die Funktion f : ( U ) R x x 2. Das Blockbild des Graphen ist in Abb. 2 dargestellt.

2 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher Abbildung 2: Blockbild des Graphen der Funktion f(x, ) = x 2 Für n = 3 stehen wir vor dem Problem, dass wir Mengen im R 4 nicht mehr ohne weiteres zeichnen können. Deswegen führen wir den Begriff Niveaumenge ein. Definition Es sei U R n, f : U R eine Funktion und c R. Dann ist die Niveaumenge zum Wert c die Menge aller Punkte x U, für die f(x) = c gilt, d.h. die Menge N c = {x U f(x) = c} R n. Ist n = 2, so sprechen wir auch von einer Niveaulinie oder Höhenlinie (zum Wert c). Ist n = 3, so sprechen wir auch von einer Niveaufläche. Beispiel 2.2 Wir betrachten die Funktion f : ( R 2 ) R x x Die Niveaulinie zu einem Wert c ist leer für c < 0, besteht nur aus dem Nullpunkt für c = 0 und ist ein Kreis vom Radius c um den Nullpunkt für c > 0. Der Graph ist das Rotationsparaboloid z = x um die z-achse. Die Niveaulinien sind in Abb. 3 und der Graph in Abb. 4 dargestellt. Eine dritte Möglichkeit, sich Graphen zu veranschaulichen, ist mit Hilfe von sogenannten Schnitten. Als Schnitt des Graphen bezeichen wir den Durchschnitt

3 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 6 Abbildung 3: Niveaulinien der Funktion f(x, ) = x Abbildung 4: Der Graph der Funktion f(x, ) = x 2 + 2

4 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 7 des Graphen mit einer vertikalen Ebene. Ist zum Beispiel E 1 die durch = 0 definierte (x, z)-ebene im R 3, dann ist der Schnitt der Funktion f aus Beispiel 2.2 die Menge E 1 graph f = x = 0, z = x2 z, eine Parabel in der (x, z)-ebene. Entsprechend erhalten wir für den Schnitt mit der durch x = 0 definierten Ebene E 2 eine Parabel z = 2 in der (, z)-ebene. Beispiel 2.3 Wir betrachten die Funktion f : ( R 2 ) R x x 2 2. Die Niveaulinie zum Wert c wird durch die Gleichung x 2 2 = c gegeben. Für c = 0 erhalten wir 2 = x 2 oder = ±x. Die Niveaumenge besteht aus zwei Geraden durch den Urprung. Für c 0 betrachten wir zunächst die Werte c = ±1. Für c = 1 ergibt sich x 2 2 = 1 oder = ± x 2 1. Das ist eine Hperbel, die die x-achse in den Punkten (±1, 0) schneídet. Allgemein ist die Niveaulinie zum Wert c > 0 eine Hperbel = ± x 2 c, die die x-achse in den Punkten (± c, 0) schneidet. Für c = 1 ergibt sich x 2 2 = 1, also x = ± 2 1. Die Niveaulinie ist wieder eine Hperbel. Sie schneidet die -Achse in den Punkten (0, ±1). Allgemein ist die Niveaulinie zum Wert c < 0 eine Hperbel x = ± 2 + c, die die -Achse in den Punkten (0, ± c) schneidet. Die Niveaulinien sind in Abb. 5 dargestellt. Zur Veranschaulichung des Graphen ist es hilfreich, auch zwei Schnitte des Graphen zu berechnen. Es gilt E 1 graph f = x = 0, z = x2 z, E 2 graph f = x x = 0, z = 2 z. In dem einen Fall handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel, in dem anderen Fall um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Graph ist in Abb. 6 dargestellt. Wir wollen nun allgemeiner auch Abbbildungen betrachten, d.h. Funktionen, deren Wertebereich im R m liegt. Es sei U R n und f eine Funktion mit Definitionsbereich U, die jedem x U einen Vektor f(x) R m zuordnet. Ist m > 1, so nennen wir eine solche Funktion eine vektorwertige Funktion oder eine Abbildung. Wir schreiben auch f : U R m x f(x).

5 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 8 Abbildung 5: Niveaulinien der Funktion f(x, ) = x 2 2 Abbildung 6: Der Graph der Funktion f(x, ) = x 2 2

6 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 9 Einem Vektor x U wird dabei ein Vektor f(x) = f 1 (x).. f m (x) zugeordnet. Die i-te Komponente dieses Vektors ist dabei eine Funktion f i (x). Wir nennen diese Funktion auch die i-te Komponentenfunktion von f. Eine Abbildung f : U R m wird daher durch die m Komponentenfunktionen f 1,..., f m gegeben. In der linearen Algebra studiert man speziell die linearen Abbildungen d.h. Abbildungen, für die gilt: f : R n R m, f(x + ) = f(x) + f(); f(αx) = αf(x) (x, R n, α R).