Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer. Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung

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1 Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung

2 Zahlensysteme Problem: Wie stellt man (große) Zahlen einfach, platzsparend und rechnergeeignet dar? 2/20

3 Abzählen II, IIII, IIIIII, IIIIIIIIIIII auf Anhieb kann ein Mensch höchstens die Zahl 4 sicher erkennen zeit- und platzaufwendig für große Zahlen 3/20

4 Strichlisten II, IIII, IIII I, IIII IIII II Formatierung in Gruppen, getrennt durch Leerstellen leichter zu erkennen zeit- und platzaufwendig für große Zahlen 4/20

5 Römische Zahlen Römische Zahlen Symbole: 1: I 5: V 10: X 50: L 100: C 500: D 1000: M Wertigkeit ergibt sich durch Reihenfolge der Symbole kleine Zahl links von großer Zahl minus kleine Zahl rechts von großer Zahl plus höchstens 3 gleiche Symbole nebeneinander 5/20

6 Römische Zahlen Römische Zahlen Beispiele VI IX XLII MCMLXXXIV Viel kompakter als Strichlisten kompliziert 6/20

7 Dezimalsystem (1) das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie in der Zahl steht Ein Beispiel: 5582 = = /20

8 Dezimalsystem (2) Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Basis: 10 Stellenwerte: 1, 10, 100, 1000 (10i für die i-te Stelle von rechts) kompakte, einfache Darstellung selbst großer Zahlen einfaches Rechnen möglich 8/20

9 Stellenwertsysteme Stellenwertsysteme sind mit beliebiger Basis b 2 möglich z3 z 2 z 1 z 0 = z 3 b 3 + z 2 b 2 + z 1 b 1 + z 0 b 0 Basis: b Ziffern: 0, 1, 2,, b -1 Stellenwerte: 1, b1, b 2, b 3, 9/20

10 Stellenwertsysteme Beim Programmieren übliche Stellenwertsysteme: System Basis Ziffern Stellenwerte Binär (Dual) 2 0,1 1,2,4,8,16, Oktal 8 0,1,2,3,4,5,6,7 1,8,64,512, Dezimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,10,100,1000, Hexadezimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 1,16,256, /20

11 Binärsystem Rechner stellen Zahlen im Binärsystem dar, weil sich die beiden Ziffern 0 und 1 gut darstellen lassen: Ziffer 1: Strom an / Kondensator geladen Ziffer 0: Strom aus / Kondensator entladen Beispiel: /20

12 Binärsystem Eine Ziffer im Binärsystem bezeichnet man als Bit Von binary digit Ein Bit ist die Kleinste mögliche Informationseinheit 12/20

13 Vorzeichendarstellung ein Bit wird zur Darstellung des Vorzeichens benötigt restliche Bits: Darstellung des Betrags der Zahl Bei einer Zahlendarstellung mit n Bits stehen (n -1) Bits für die Betragsdarstellung zur Verfügung Wertebereich circa [-2 n-1 ; 2 n-1 ] 13/20

14 Vorzeichendarstellung Bei negativen Zahlen: Betrag wird dargestellt als sogenanntes Zweierkomplement (Mehr dazu in Hardwaresysteme - HaSy) 14/20

15 Ganzzahltypen Ganze Zahlen heißen auf Englisch und in Programmiersprachen Integer Java definiert vier verschiedene Integertypen Die Länge und damit auch deren Wertebereich sind fest definiert. Typ Länge kleinste darstellbare Zahl größte darstellbare Zahl byte 8 Bit short 16 Bit int 32 Bit long 64 Bit /20

16 Gleitkommazahlen Computer stellen gebrochene oder sehr große / sehr kleine Zahlen als Binärzahlenpaar mit Gleitkomma dar: 1. Teil: Mantisse 2. Teil: Exponent Formel zur Berechnung des tatsächlichen Werts: Mantisse 2 Exponent 16/20

17 Gleitkommazahlen Die Details sind rechnerabhängig Bspw. Anzahl der Bit für Mantisse und Exponent Bspw. Darstellung von negativen Zahlen... Weit verbreitet: Standard IEEE 754 (IEEE = Institute of Electrical and Electronics Engineers) Details siehe Vorlesung Hardwaresysteme (Hasy) Java definiert 2 verschiedene Gleitkommazahlentypen: float: 32-Bit Gleitkommazahl nach IEEE 754 double: 64-Bit (double precision) Gleitkommazahl nach IEEE /20

18 Wertebereich von Gleitkommazahlen z.b. 32-Bit-Gleitkommazahl (float) größte darstellbare Zahl: ~ = , kleinste darstellbare Zahl: ~ (-2) = , wesentlich größerer Wertebereich als long!!! Aber: Die größte Zahl hat 128 Binärstellen (39 Dezimalstellen), von denen nur die ersten 24 Binärstellen (7 Dezimalstellen) dargestellt werden! Gleitkommazahlen sind ungenau!!! 18/20

19 Nichtnumerische Daten Codierung: Für jede Art von Daten jeweils alle vorkommenden Werte auflisten und durchnummerieren Der Rechner verwendet die Nummern statt der Werte Beispiele: Zeichencodes: durchnummerierte Liste von Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen ~,,!) und Steuerzeichen (z.b. Zeilenvorschub) Befehlscodes: durchnummerierte Liste von Maschinenbefehlen Farbtabelle: durchnummerierte Liste der am Bildschirm darstellbaren Farben 19/20

20 Zeichencodes ASCII American Standard Code for Information Interchange 7-Bit Code mit den wichtigsten internationalen Zeichen Normen: ISO/IEC 646, DIN 6603 Latin 1 und 2 8-Bit Code, erweitert ASCII z.b. um Umlaute Normen: ISO/IEC 8859, DIN 6603 EBCDIC Extended Binary Coded Decimal Interchange Code 8-Bit Code, üblich auf IBM Großrechnern Unicode 16-Bit Code, erlaubt die Darstellung von Zeichen verwendet z.b. in Java und XML ermöglicht die Verwendung internationaler Alphabete 20/20

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