Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel

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1 1 von :03 Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel Produkte anzeigen, auf die sich dieser Artikel beziehtdieser Artikel wurde zuvor veröffentlicht unter D38732 Artikel ist eine Übersetzung des folgenden englischsprachigen Artikels der Microsoft Knowledge Base: ( Floating-point arithmetic may give inaccurate results in Excel Bitte beachten Sie: Bei diesem Artikel handelt es sich um eine Übersetzung aus dem Englischen. Es ist möglich, dass nachträgliche Änderungen bzw. Ergänzungen im englischen Originalartikel in dieser Dieser Artikel-ID : Geändert am : Samstag, 21. Januar 2006 Version : 4.1 Übersetzung nicht berücksichtigt sind. Die in diesem Artikel enthaltenen Informationen basieren auf der/den englischsprachigen Produktversion(en). Die Richtigkeit dieser Informationen in Zusammenhang mit anderssprachigen Produktversionen wurde im Rahmen dieser Übersetzung nicht getestet. Microsoft stellt diese Informationen ohne Gewähr für Richtigkeit bzw. Funktionalität zur Verfügung und übernimmt auch keine Gewährleistung bezüglich der Vollständigkeit oder Richtigkeit der Übersetzung. Auf dieser Seite In diesem Artikel wird die Art und Weise erörtert, in der Microsoft Excel Gleitkommazahlen speichert und berechnet. Diese kann aufgrund von Rundungen und/oder Datenverkürzungen die Ergebnisse für einige Zahlen beeinflussen. Microsoft Excel wurde in Bezug auf die Speicherung und Berechnung von Gleitkommazahlen auf der Grundlage der IEEE-Spezifikation 754 entwickelt. IEEE ist die Abkürzung für das "Institute of Electrical and Electronics Engineers", eine internationale Körperschaft, die unter anderem Normen und Standards für Computersoftware und -Hardware festlegt. Die Spezifikation 754 wird in weiten Bereichen angewendet und beschreibt die Art und Weise, in der Gleitkommazahlen in einem binären Computer gespeichert werden sollen. Diese Spezifikation wird besonders deshalb gerne angewendet, weil sie die Speicherung von Gleitkommazahlen auf vergleichsweise wenig Speicherplatz sowie relativ schnelle Berechnungen ermöglicht. Der 754-Standard kommt in nahezu allen Gleitkommaeinheiten und numerischen Datenprozessoren der heutigen PC-Mikroprozessoren zum Einsatz, bei denen die Gleitkommarechnung implementiert ist. So zum Beispiel bei den Prozessoren der Firmen Intel, Motorola, Sun und MIPS. Alle Zahlen oder Brüche können zum Zweck der Speicherung durch eine entsprechende Binärzahl repräsentiert werden. So kann beispielsweise der Bruch 1/10 in einem Dezimalzahlensystem durch 0,1 repräsentiert werden. Dieselbe Zahl wird jedoch im Binärformat zu einer periodischen Binärzahl: (und so weiter) Diese ist theoretisch unendlich. Diese Zahl kann also nicht auf einem beschränkten Speicherplatz gespeichert werden und wird daher beim Speichern um -2.8E-17 abgerundet. Es gibt einige Beschränkungen bzw. Schwächen der IEEE-Spezifikation 754, die in drei allgemeine Kategorien eingeordnet werden können:

2 2 von :03 periodische Binärzahlen. Bei allen Computern gibt es eine Maximum- und eine Minimumzahl, die verarbeitet werden kann. Die Anzahl der Speicherbits, in der eine Zahl gespeichert werden kann, ist endlich. Daraus folgt, dass auch die Maximum- oder Minimumzahl, die gespeichert werden kann, endlich ist. Für Excel ist die Maximumzahl, die gespeichert werden kann, E+308 und die positive Minimumzahl, die gespeichert werden kann, ist E-308. Unterlauf: Zu Unterlauf kommt es, wenn eine generierte Zahl zu klein ist, um dargestellt zu werden. In der IEEE-Spezifikation und in Excel lautet das Ergebnis in diesen Fällen 0 (in der IEEE-Spezifikation gibt es jedoch das Konzept -0, das es in Excel nicht gibt). Überlauf: Zu Überlauf kommt es, wenn eine Zahl zu groß ist, um dargestellt zu werden. Excel verwendet in diesem Fall seine eigene Darstellungsform (#NUM!). Denormalisierte Zahlen: Eine denormalisierte Zahl ist durch den Exponenten 0 gekennzeichnet. In diesem Fall wird die gesamte Zahl in der Mantisse gespeichert und die Mantisse hat keine implizite führende 1. Dies beeinträchtigt die und je kleiner die Zahl ist, desto größer wird die Ungenauigkeit. Zahlen, die sich am unteren Ende dieses Bereichs bewegen, sind nur noch bis auf eine Dezimalstelle genau. Beispiel: Eine normalisierte Zahl hat eine implizite führende 1. Wenn in der Mantisse zum Beispiel steht, wird die normalisierte Zahl aufgrund der impliziten führenden 1 zu Eine denormalisierte Zahl hat wie gesagt keine implizite führende 1, so dass in unserem Beispiel ( ) die denormalisierte Zahl unverändert bleibt. In diesem Fall hat die normalisierte Zahl acht wesentliche Ziffern ( ), während die denormalisierte Zahl nur fünf wesentliche Ziffern hat (11001), da führende Nullen nicht berücksichtigt werden. Denormalisierte Zahlen sind im Grunde eine Umgehungsmöglichkeit, mit deren Hilfe auch Zahlen gespeichert werden können, welche kleiner sind als die normale untere Grenze. Microsoft hat diesen optionalen Teil der Spezifikation nicht implementiert, weil die Anzahl der wesentlichen Ziffern bei denormalisierten Zahlen per definitionem variabel ist, was bei Berechnungen eine beträchtliche Fehlerquelle darstellt. Positive/negative Unendlichkeiten: Zu Unendlichkeiten kommt es bei einer Teilung durch 0. Excel unterstützt Unendlichkeiten nicht und meldet in diesen Fällen den Fehlerwert #DIV/0!. Not-a-Number (NaN): NaN wird verwendet, um ungültige Rechenvorgänge darzustellen (wie z. B. unendlich durch unendlich, unendlich minus unendlich, oder Quadratwurzel aus -1). NaNs werden benötigt, damit ein Programm nach einem ungültigen Vorgang fortgesetzt werden kann. Excel erzeugt statt dessen unverzüglich einen Fehlerwert der Typen #ZAHL! oder #DIV/0!. Eine Gleitkommazahl wird im binären System in drei Teilen innerhalb eines 65-Bit-Bereichs gespeichert: Vorzeichen, Exponent und Mantisse. 1 Vorzeichenbit 11 Bit Exponent 1 Implizites Bit 52 Bit Mantisse Das Vorzeichenbit dient der Speicherung des Vorzeichens der Zahl (Plus oder Minus), unter "Exponent" wird die Potenz von 2 für die jeweilige Zahl gespeichert (die Maximum-/Minimumpotenz von 2 ist bzw ). In der Mantisse wird die eigentliche Zahl gespeichert. Der endliche Speicherbereich für die Mantisse determiniert, wie gering die Differenz zwischen zwei Gleitkommazahlen sein kann (also wie präzise diese sein können). Die Mantisse und der Exponent werden als separate Komponenten gespeichert. Daraus folgt, dass der Grad der möglichen von der Größe der verarbeiteten Zahl (der Mantisse) abhängig ist. kann zwar Zahlen zwischen E308 und E-308 speichern, dies allerdings nur bis auf 15 Dezimalstellen genau. Diese Einschränkung ist eine direkte Folge der strikten Einhaltung der IEEE-Spezifikation 754 und keine durch Excel bedingte Beschränkung. Dieser Grad an gilt auch in anderen Tabellenkalkulationen. Gleitkommazahlen werden in der folgenden Form dargestellt, wobei Exponent für den binären Exponenten steht: X = Dezimale * 2^(Exponent - Abweichung) Dezimale steht für die normalisierte Dezimale der Zahl; die als normalisiert bezeichnet wird, weil der Exponent so angepaßt wird, dass das führende Bit immer eine 1 ist, die nicht gespeichert werden muß, wodurch ein weiteres Bit für größere zur Verfügung steht. Aus diesem Grund gibt es ein implizites Bit. Diese Vorgehensweise ähnelt der wissenschaftlichen Notation, bei der der Exponent so angepaßt wird, dass es eine Ziffer links vom Komma gibt; im Gegensatz dazu kann der Exponent im binären System jedoch so angepaßt werden, dass das erste Bit immer eine 1 ist, da es im binären System nur Einsen und Nullen gibt. Abweichung steht für den Abweichungswert, der angewendet wird, um das Speichern negativer Exponenten zu

3 3 von :03 vermeiden. Die Abweichung beträgt für Zahlen einfacher Genauigkeit 127 und (dezimal) für Zahlen doppelter Genauigkeit. Excel speichert Zahlen doppelter Genauigkeit. Geben Sie folgendes in eine neue Arbeitsmappe ein: A1: 1.2E+200 B1: 1E+100 C1: =A1+B1 Der resultierende Wert in Zelle C1 wäre in diesem Fall 1.2E+200, also der gleiche Wert wie in Zelle A1. Wenn Sie die Zellen A1 und C1 unter Verwendung der Wenn-Funktion miteinander vergleichen, zum Beispiel WENN(A1=C1), lautet das Ergebnis tatsächlich WAHR. Dies ist darauf zurückzuführen, dass gemäß der IEEE-Spezifikation nur 15 wesentliche Ziffern gespeichert werden. Um die vorstehende Berechnung speichern zu können, müßte Excel aber bis auf mindestens 100 Stellen genau arbeiten. Geben Sie folgendes in eine neue Arbeitsmappe ein: A1: B1: 1 C1: =A1+B1 Der resultierende Wert in Zelle C1 wäre in diesem Fall anstelle von Dies ist darauf zurückzuführen, dass gemäß der IEEE-Spezifikation nur 15 wesentliche Ziffern gespeichert werden. Um die vorstehende Berechnung speichern zu können, müßte Excel aber bis auf mindestens 19 Stellen genau arbeiten. Excel bietet zwei grundlegende Verfahren zum Kompensieren von Rundungsfehlern: Die Funktion RUNDEN und die Arbeitsmappenoption Genauigkeit wie angezeigt. Bei dem folgenden Beispiel werden die vorstehend aufgeführten Daten verwendet und es wird die Funktion RUNDEN eingesetzt, um eine fünfstellige Zahl zu erzwingen. Dadurch haben Sie die Möglichkeit, das Ergebnis auf einen Blick mit einem anderen Wert zu vergleichen. A1: 1.2E+200 B1: 1E+100 C1: =RUNDEN(A1+B1,5) führt zum Ergebnis 1,00012 D1: =WENN(C1=1,00012, WAHR, FALSCH) führt zu dem Wert WAHR In einigen Fällen können Sie vermeiden, dass Rundungsfehler Ihre Arbeit beeinträchtigen, indem Sie die Option Genauigkeit wie angezeigt verwenden. Diese Option erzwingt, dass der Wert für jede Zahl in einem Arbeitsblatt dem tatsächlich angezeigten Wert entspricht. Aktivieren Sie diese Option wie folgt: Klicken Sie im Menü EXTRAS auf OPTIONEN und aktivieren Sie dann im Register BERECHNEN das Kontrollkästchen GENAUIGKEIT WIE ANGEZEIGT. Wenn Sie zum Beispiel ein Zahlenformat wählen, bei dem zwei Dezimalstellen angezeigt werden und dann die Option Genauigkeit wie angezeigt aktivieren, werden beim Speichern Ihrer Arbeitsmappe alle Werte auf zwei Dezimalstellen verkürzt. Diese Option wirkt sich auf die aktive Arbeitsmappe einschließlich aller darin enthaltenen Arbeitsblätter aus. Sie können die verlorenen Daten nicht wiederherstellen, indem Sie diese Option später deaktivieren. Es wird daher empfohlen, dass Sie die Arbeitsmappe speichern, bevor Sie diese Option aktivieren. Ein weiteres verwirrendes Problem in Bezug auf das Speichern von Gleitkommazahlen besteht darin, dass einige im Dezimalsystem endliche, nichtperiodische Zahlen im Binärsystem zu unendlichen, periodischen Zahlen werden. Das häufigste Beispiel für dieses Verhalten ist der Wert 0,1 (und dessen Varianten). Diese Zahl kann zwar im Dezimalsystem perfekt dargestellt werden, wird jedoch im Binärformat bei der Speicherung in der Mantisse zu der folgenden periodischen Binärzahl: (und so weiter) Die IEEE-Spezifikation 754 sieht keine bestimmte Vorgehensweise für irgendeine Zahl vor; statt dessen wird soviel wie möglich in der Mantisse gespeichert und der Rest abgeschnitten. Dies führt bei der Speicherung zu einer Abweichung um -2.8E-17 oder 0, Selbst häufig vorkommende Dezimalbrüche wie 0,0001 können im binären System nicht exakt wiedergegeben werden. (0,0001 wird zu einem periodischen binären Bruch von 104 Bits). Dieses Verhalten ist ähnlich wie bei dem Bruch 1/3, der im Dezimalsystem nicht exakt dargestellt werden kann und dort zu 0, (und so weiter) wird. Dies ist die Erklärung dafür, warum in dem folgenden einfachen Beispiel in Microsoft Visual Basic for Applications Sub Main() MySum = 0 For I% = 1 To MySum = MySum Next I% Debug.Print MySum End Sub 0, als Ergebnis ausgedruckt wird. Diese kleine Abweichung bei der Wiedergabe von 0,0001 im Binärsystem summiert sich im Endergebnis.

4 4 von :03 1. Geben Sie folgendes in eine neue Arbeitsmappe ein: A1: =( )+1 2. Klicken Sie die Zelle A1 an. Klicken Sie im Menü Format auf Zellen. Klicken Sie im Register ZAHLEN im Listenfeld Kategorie auf WISSENSCHAFT. Stellen Sie den Wert für Dezimalstellen auf 15 ein. Statt 0,9 anzuzeigen, zeigt Excel 0, an, da zunächst ( ) berechnet, -0,1 temporär gespeichert und dann die Abweichung aus der Speicherung von -0,1 in die Berechnung übernommen wird. 1. Geben Sie in Excel 95 oder früher folgendes in eine neue Arbeitsmappe ein: A1: = Klicken Sie die Zelle A1 an. Klicken Sie im Menü Format auf Zellen. Klicken Sie im Register ZAHLEN im Listenfeld Kategorie auf WISSENSCHAFT. Stellen Sie den Wert für Dezimalstellen auf 15 ein. Anstelle von 0 zeigt Excel E-16 an. In Excel 97 wurde jedoch eine Optimierungsfunktion eingeführt, mit der versucht werden soll, dieses Problem zu beheben. Führt ein Additions- oder Subtraktionsvorgang zu dem Wert Null oder zu einem Wert, der sehr nahe bei Null liegt, kompensieren Excel 97 und spätere Versionen die Abweichungen, die auf das Konvertieren eines Operanden in das und aus dem Binärsystem zurückzuführen sind. Wird das vorstehende Beispiel in Excel 97 oder einer späteren Version nachvollzogen, zeigt Excel korrekterweise 0 oder 0, E+00 in der wissenschaftlichen Notation an. finden Sie in den folgenden Artikeln der Microsoft Knowledge Base: ( Falsches Ergebnis, das 10 zu kleiner Very Large/Very-Energie auslöst ( XL2000: falsches Ergebnis, das 10 zu kleiner Very Large/Very- Energie auslöst Für weitere Informationen über Gleitkommazahlen und die IEEE-Spezifikation 754 besuchen Sie bitte die folgenden Websites: ( ( dazu, wie Sie diese Fehler umgehen können, finden Sie im folgenden Artikel der Microsoft Knowledge Base: ( Wie Korrigieren von Rundungsfehlern in Gleitarithmetik Die Informationen in diesem Artikel beziehen sich auf: Microsoft Office Excel 2003 Microsoft Excel 2002 Standard Edition Microsoft Excel 2000 Standard Edition Microsoft Excel 97 Standard Edition Microsoft Excel 95 Standard Edition Microsoft Excel 2004 for Mac Microsoft Excel X für Macintosh Microsoft Excel 2001 für Mac Microsoft Excel 98 für Macintosh Keywords: kbinfo KB78113 Microsoft stellt Ihnen die in der Knowledge Base angebotenen Artikel und Informationen als Service-Leistung zur Verfügung. Microsoft übernimmt keinerlei Gewährleistung dafür, dass die angebotenen Artikel und Informationen auch in Ihrer Einsatzumgebung die erwünschten Ergebnisse erzielen. Die Entscheidung darüber, ob und in welcher Form Sie die angebotenen Artikel und Informationen nutzen, liegt daher allein bei Ihnen. Mit Ausnahme der gesetzlichen Haftung für Vorsatz ist jede Haftung von Microsoft im Zusammenhang mit Ihrer Nutzung dieser Artikel oder Informationen ausgeschlossen. Bitte geben Sie Ihr Feedback zu diesem Artikel ab. Hat Ihnen dieser Artikel bei der Lösung Ihres Problems weitergeholfen? Ja

5 5 von :03 Nein Teilweise Ich weiß es noch nicht Der Artikel ist leicht verständlich Der Artikel ist sehr genau Stimme Stimme überhaupt völlig zu nicht zu Zusätzliche Anmerkungen: Hinweis: Leider können wir keine Kommentare persönlich beantworten. Hilfe und Support 2008 Microsoft