Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust!

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1 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) Aufgabenblatt ZAHLENTHEORIE (für Master G und HRG) Lösungen Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust! Hinweis: Bei den Rechnungen sind nicht immer alle erforderlichen Zwischenrechnungen angegeben!

2 Chr.Nelius: Lösungen 14. Aufgabenblatt Zahlentheorie (SoSe 2016) 2 Dieses Aufgabenblatt dient der Vorbereitung auf die Klausur. Es lassen sich hieraus keine Rückschlüsse auf die Aufgabenstellung der eigentlichen Klausur ziehen! Sie sollten versuchen, die Aufgaben selbständig zu bearbeiten! Dieses Aufgabenblatt wird nicht korrigiert, es gibt später eine Musterlösung. Die folgenden Aufgaben sind nur auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten! Lösungen müssen ausführlich begründet, Rechnungen müssen ausführlich dokumentiert werden! Rechnungen mit dem Taschenrechner sind nur zulässig, wenn die eingegebenen Zahlen bzw. die Ergebnisse höchstens 10 Dezimalstellen haben! Dies ist unabhängig davon, wieviele Stellen Ihr Taschenrechner anzeigt! 47. Aufgabe: a) Bestimme die Anzahl der positiven Teiler der Zahl n = PFZ von n (Methode der sukzessiven Divisionen): n = = τ(n) = (5+1) (2+1) (2+1) (3+1) (1+1) = 432 b) Untersuche, ob n eine Quadratzahl ist. Aber ohne Taschenrechner! Da τ(n) gerade ist, ist n keine Quadratzahl. 48. Aufgabe: a) Seien a und n Æ, und es gebe ein m Æ mit der Eigenschaft r n (a m ) = 1. Beweise: Für alle k Æ 0 gilt r n (a k ) = r n (a l ), wobei l = r m (k) ist. Hinweis: Schaue dir noch einmal den Beweis von (7.9) an! Es gilt k = q m+l. Damit folgt unter Benutzung der Potenzgesetze und der Rechenregeln aus (2.13) r n (a k ) = r n (a q m+l ) = r n ((a m ) q a l ) = r n (r n ((a m ) q ) r n (a l )) = r n ((r n (a m )) q r n (a l )) = r n (1 q r n (a l )) = r n (r n (a l )) = r n (a l ) }{{} =1(Vor) b) Berechne r 27 ( ). Hinweis: Dies hat etwas mit Teil a) zu tun! Versuche zunächst, einen Exponenten m zu finden mit r 27 (17 m ) = 1. Berechne dazu r 27 (17 1 ), r 27 (17 2 ), r 27 (17 3 ) usw. bis man r 27 (17 6 ) = 1 erhält. Es ist r 6 (656) = 2, so dass nach a) folgt r 27 ( ) = r 27 (17 2 ) = 19.

3 Chr.Nelius: Lösungen 14. Aufgabenblatt Zahlentheorie (SoSe 2016) Aufgabe: Seien n = und k = Berechne den Rest r n (313 k ) bei Division von 313 k durch n. Auch hier versuchen wir wieder, einen Exponenten m zu finden mit r n (313 m ) = 1. Dies wäre mit (7.4) möglich, wenn wir wüssten, dass n eine Primzahl ist. Wir versuchen es einmal mit dem Verfahren von Fermat: Ergebnis n = ist Produkt zweier verschiedener Primzahlen (s. Liste). Da 313 teilerfremd zu 223 und 227 ist, ist 313 nach Aufgabe 39a) auch teilerfremd zu n = Die Voraussetzungen von (7.4) sind leider nicht erfüllt, aber wir können (7.11) anwenden: Mit m = (223 1) (227 1) = gilt r n (313 m ) = 1 Wegen r m (k) = 2 folgt mit Hilfe von Aufgabe 48a) r n (313 k ) = r n (313 2 ) = r n (97969) = Aufgabe: Seien a = und b = Berechne ggt(a,b) auf vier (!) verschiedene Weisen. 1) Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus: ggt(a, b) = 36 2) Mit Hilfe der PFZ en: a = und b = (für 269 und 311 ist jeweils ein Primzahltest erforderlich!). Es ergibt sich ggt(a,b) = = 36. 3) Über die Berechnung des kgv s: Nach 2) ist kgv(a,b) = = und damit ggt(a,b) = a b kgv(a,b) = = 36 4) Auf Grundlage der ursprünglichen Definition: Bestimme T + (a)und T + (b)und dasgrößte Element in GT + (a,b) = T + (a) T + (b). T + (a) = {1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108,269,538,807,1076,1614,2421,3228, 4842, 7263, 9684, 14526, 29052} T + (b) = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180, 311, 360, 622, 933, 1244, 1555, 1866, 2488, 2799, 3110, 3732, 4665, 5598, 6220, 7464, 9330, 11196, 12440, 13995, 18660, 22392, 27990, 37320, 55980, } GT + (a,b) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} = ggt(a,b) = max(gt + (a,b)) = 36 Hinweis: Bei größeren Zahlen eignet sich die 4. Methode nicht so sehr! Zum Glück gibt es aber andere! 51. Aufgabe: Seien a,b, Æ \ {1}. Untersuche, ob ggt(a 10,b 10 ) = ggt(a,b) 10 gilt. Beweise, oder gib ein konkretes Gegenbeispiel. Die Aussage ist richtig! Man erhält die PFZ von a 10, indem man jeden Exponenten in der PFZ von a mit 10 multipliziert. Entsprechendes gilt für b 10. Bildet man jetzt für einen gemeinsamen Primteiler p von a 10 und b 10 den kleineren der beiden Exponenten, so ist dieser das 10 fache des kleineren Exponenten, mit dem p in a bzw. b vorkommt.

4 Chr.Nelius: Lösungen 14. Aufgabenblatt Zahlentheorie (SoSe 2016) 4 Beispiel: a = p 2 q 4, b = p 4 q 3 (p und q verschiedene Primzahlen), ggt(a,b) = p 2 q 3. Dann sind a 10 = (p 2 q 4 ) 10 = p 20 q 40, b 10 = (p 4 q 3 ) 10 = p 40 q 30 die PFZ en von a 10 bzw. b 10. Daraus berechnet sich ggt(a 10,b 10 ) = p 20 q 30 = (p 2 q 3 ) 10 = ggt(a,b) Aufgabe: Beweise: Für alle a und p IP gilt r p (a p ) = r p (a). Hinweis: Unterscheide die Fälle p a und p a! 1. Fall: p a Dann gilt r p (a) = 0, und es folgt p a p und damit auch r p (a p ) = 0. Folglich 2. Fall: p a r p (a p ) = 0 = r p (a). Dann folgt nach dem Kleinen Satz von Fermat r p (a p 1 ) = 1. Dann ist r p (a p ) = r p (a p 1 a) = r p (r p (a p 1 ) r p (a)) = r p (r p (a)) = r p (a). }{{} =1 53. Aufgabe: DienatürlicheZahlabesitzedieDezimaldarstellung a = a r a r 1...a 2 a 1 a 0 d.h. a = a r 10 r +a r 1 10 r a a a 0 (a k R 10 für alle k = 0,1,...,r) Beweise: a) r 8 (a) = r 8 (4a 2 + 2a 1 + a 0 ) Durch Ausklammern von 10 3 = aus den ersten r 2 Summanden erhält man a = b a a a 0 mit der Dezimalzahl b = a r a r 1...a 3, woraus r 8 (a) = r 8 (a a a 0 ) = r 8 (r 8 (a ) +r 8 (a ) + r 8 (a 0 )) = r 8 (4a 2 + 2a 1 + a 0 ) folgt. b) 8 a 8 (4a 2 +2a 1 +a 0 ) 8 a r 8 (a) = 0 a) r 8 (4a 2 +2a 1 +a 0 ) = 0 8 (4a 2 +2a 1 +a 0 ) c) Untersuche mit Hilfe von b), ob 8 ein Teiler der Zahl b = ist. Es ist 4b 2 +2b 1 +b 0 = = 40 durch 8 teilbar, so dass auch b nach Teil b) durch 8 teilbar ist. 54. Aufgabe: a) Bestimme die PFZ von 18!. Welches sind die Primteiler von 18!? Es ist 18! = das Produkt der ersten 18 natürlichen Zahlen. Bilde für jeden Faktor die PFZ und multipliziere aus. Man erhält 18! = Die Primteiler von 18! sind genau die Primzahlen 18.

5 Chr.Nelius: Lösungen 14. Aufgabenblatt Zahlentheorie (SoSe 2016) 5 b) Begründe: Für jedes n Æ gilt T IP (n!) = {p p IP, p n}. Es ist die Gleichheit zweier Mengen nachzuweisen, d.h. es ist zu zeigen: die linke Menge ist Teilmenge der rechten Menge und umgekehrt: Sei p ein Primteiler von n!. Dann teilt p das Produkt der ersten n Zahlen, teilt also einen der Faktoren k von n! (1 k n). Aus p k folgt p k n, also p n. Ist p eine Primzahl n, so ist p einer der Faktoren, aus denen n! gebildet wird, ist also ein Primteiler von n!. 55. Aufgabe: Beweise durch vollständige Induktion: r 6 (4 k ) = 4 für alle k Æ. (IA) k = 1: r 6 (4 1 ) = 4 ist richtig. (IV) Für eine beliebige aber feste natürliche Zahl k 1 gelte r 6 (4 k ) = 4. (IB) r 6 (4 k+1 ) = 4 r 6 (4 k+1 ) = r 6 (4 k 4) = r 6 ( r 6 (4 k ) r 6 (4)) = r 6 (4 4) = r 6 (16) = 4 }{{}}{{} =4 (IV ) =4 Damit ist die (IB) bewiesen. 56. Aufgabe: Bestimme alle positiven Teilner der Zahl n = Hinweis: Es genügt die formelmäßige Angabe der Teiler. Bestimme die kanonische PFZ von n mit der Methode der sukzessiven Divisionen ( n = 287): n = Ein positiver Teiler t von n ist dann ein Teilprodukt der Form: t = 2 k 7 l 211 m, wobei für die Exponenten gilt: 0 k 3, 0 l 2, 0 m 1. Lässt man k,l,m alle Möglichkeiten durchlaufen, so erhält man alle positiven Teiler von n. 57. Aufgabe: Ein Teilnehmer an einem RSA Verfahren, der den geheimen Schlüssel (n,d) mit n = und d = hat, erhält die verschlüsselte Nachricht y 1 = , y 2 = 92696, die mit seinem öffentlichen Schüssel verschlüsselt wurde. Entschlüssele die Nachricht unter Verwendung der Tabelle (9.4). Hinweis: Ohne Begründung dürfen folgende Ergebnisse benutzt werden: r n (y ) = 76389, r n (y 4 1 ) = 89038, r n(y ) = Zur Entschlüsselung müssen die Reste r n (y d 1 ) und r n(y d 2 ) berechnet werden. Dabei können die angegebenen Ergebnisse benutzt werden:

6 Chr.Nelius: Lösungen 14. Aufgabenblatt Zahlentheorie (SoSe 2016) 6 r n (y d 1 ) = r n(y y 4 1 ) = r n(r n (y ) r n (y 4 1 )) = r n( ) = r n ( ) = ( = n ) Lt. Tabelle (9.4): F E R r n (y d 2 ) = r n(y y 2 2 ) = r n(r n (y ) r n (y 2 2 )) = r n (61419 r n ( )) = r n ( ) = r n ( ) = Lt. Tabelle (9.4): I E N Die entschlüsselte Nachricht lautet also: F E R I E N 58. Aufgabe: B hat den öffentlichen Schlüssel (41567,143). A möchte sich mit B an einem geheimen Ort treffen und schickt den Namen des Ortes an B als verschlüsselte Nachricht Ein dritter Teilnehmer C fängt diese Nachricht ab. Kann C herausfinden, wo A und B sich treffen wollen? Hinweis: Ohne Begründung dürfen folgende Ergebnisse benutzt werden: r n ( ) = 12856, r n ( ) = 5403 (dabei ist n = 41567). C muss versuchen, aus dem öffentlichen Schlüssel (n, e) = (41 567, 143) von B den geheimen Schlüssel (n, d) herauszufinden. Das Verfahren von Fermat liefert n = mit zwei Primzahlen 197,211 (s. Liste). Daher ist m = (197 1) (211 1) = Es ist ggt(e,m) = 1 (EA), so dass wir 1 als ganzzahlige Linearkombination von e und m darstellen können. d ist dann der Rest bei Division durch m des Koeffizienten von e in dieser Linearkombination. Hier erhalten wir 1 = e ( 6) m. Folglich d = Um die geheime Nachricht an B zu entschlüsseln, muss C nun berechnen. r n (17801 d ) r n (17801 d ) = r n ( ) = r n ( ) = r n (r n ( ) r n ( )) = r n ( ) = r n ( ) = 2511 Lt. Tabelle (9.4): P B Jetzt kennt also C das Geheimnis: A und B wollen sich in Paderborn treffen! Hinweis zu den Aufgaben 57 und 58: Natürlich muss an allen Stellen die Bestimmung eines Restes dokumentiert werden, auch wenn das in den obigen Lösungen nicht immer vorgenommen wurde!