Definition Sei V ein Vektorraum, und seien v 1,..., v n V. Dann heißt eine Linearkombination. n λ i = 1. mit. v = v i λ i.

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1 Kapitel Geometrie Sei V ein Vektorraum, z.b. V = R 3. Wenn wir uns für geometrische Eigenschaften von R 3 interessieren, so stört manchmal die Ausnahmerolle des Nullvektors, die es ja in V gibt. Beispielsweise soll es aus geometrischer Sicht unerheblich sein, ob eine Gerade durch den Nullpunkz geht oder nicht. Wenn man, lax gesprochen, die Ausnahmerolle der 0 beseitigt, kommt man zus affinen Geometrie. Wir wollen diesen Prozess hier nicht axiomatisch durchführen, sondern nur die Begriffe zur Verfügung stellen, die man benötigt, wenn man affine Geometrie betreiben will. Die wichtigen Begriffe sind Affinkombinationen als Verallgemeinerung der Linearkombination, sowie der Begriff der affinen Hülle (als Verallgemeinerung des linearen Erzeugnisses).. Eine kurze Einführung in die affine Geometrie Definition.. Sei V ein Vektorraum, und seien v,..., v n V. Dann heißt eine Linearkombination n v = v i λ i i= mit n λ i = i= eine affine Kombination der v i. Eine Menge S V heißt affin unabhängig, wenn sich kein Vektor v aus S als Affinkombination von Vektoren in S \ {v} schreiben lässt. Andernfalls heißt S affin abhängig. Das folgende Lemma zeigt, dass linear unabhängige Mengen auch affin unabhängig sind. Die Umkehrung gilt aber i.a. nicht: 89

2 Lemma..2 Sei S V eine Teilmenge des Vektorraums V. Dann ist S genau dann affin unabhängig, wenn es keine Linearkombination n i= v iλ i = 0 mit n i= λ i = 0, v,... v n S gibt. Beweis Ist S affin abhängig, dann gibt es w S mit w = n i= v iλ i, n i= λ i =, v i S. Setze v n := w und λ n =, dann haben wir eine Linearkombination n i= v iλ i = 0 mit n i=0 λ i = 0, v,...v n S gefunden. Wenn es umgekehrt eine solche Linearkombination gibt mit (obda) λ n 0, dann können wir nach v n auflösen: n v n = λ i v i λ n i= Wegen n i= λ i = λ n ist v n eine affine Kombination der v i, i =,...,v n, also ist S affin abhängig. Beispiel..3 Die Vektoren sie sind aber affin unabhängig. und 2 sind sicherlich linear abhängig, 2 Wir wollen affine Unterräume nun etwas anders definieren als in (wobei sich natürlich herausstellt, dass beide Definitionen gleichwertig sind). Definition..4 Ist S V, so heißt S a := {v V : v ist affine Kombination von Vektoren in S} die affine Hülle von S. Eine Teilmenge U V mit U a = U ist ein affiner Unterraum. Es gilt, was man natürlich erwartet, dass die affine Hülle einer Menge S ein affiner Unterraum ist: Lemma..5 S a ist affiner Unterraum. Beweis Sei v = n i= v iλ i, n i= λ i =, eine Affinkombination von Vektoren v i S a. Dann ist jedes v i eine Affinkombination v i = m j= s jµ i,j, m j= µ i,j =. Weil n m i= j= λ iµ i,j =, ist auch v eine Affinkombination von Vektoren aus S. Der nächste Satz zeigt den Zusammenhang zwischen affinen und linearen Unterräumen. In diesem Satz benutzen wir die Definition..4. Es ist dann gerade die Aussage dieses Satzes, dass die beiden Definitionen..4 und gleichwertig sind. 90

3 Satz..6 Ist E ein affiner Unterraum und v E, dann ist E v ein linearer Unterraum. Ist umgekehrt U ein beliebiger linearer Unterraum, dann ist U + v ein affiner Unterraum. Beweis Beachte dass E v { }, weil v E. Wir müssen zeigen, dass zu je zwei Vektoren w, w 2 E v auch w +w 2 E v gilt sowie w λ E für λ K. Sei dazu w = e v und w 2 = e 2 v. Dann ist w +w 2 = (e +e 2 v) v (E v), weil e + e 2 v eine Affinkombination von Vektoren in E ist, also in E liegt. Weiterhin ist w λ = (e λ (λ )v) v, also ebenfalls in E v. Die Umgekehrte Richtung geht ähnlich: Sei w i = u i + v, i =,...,n, eine Menge von Vektoren aus U + v. Dann ist n i= w iλ i = ( n i= u iλ i ) + v (U + v), falls n i= λ i =. Also ist jede Affinkombination von Vektoren aus U + v wieder in U + v, d.h. U + v ist ein affiner Unterraum. Wir wollen uns nun überlegen, wie der Schnitt von zwei affinen Unterräumen aussieht. Man kann sich schnell, wie im Fall linearer Unterräume, überlegen, dass der Schnitt beliebiger affiner Unterräume wieder ein affiner Unterraum ist. Wir wollen nun aber den Schnitt konkret ausrechnen. Dazu beginnen wir mit einer (fast) Trivialität: Lemma..7 Es gilt U + v U + v für zwei lineare Unterräume U und U genau dann wenn U U und v v U. Beweis U + v U + v bedeutet U U + v v, also insbesondere ist v v U (weil 0 U). Damit ist aber U + v v ein linearer Unterraum, U + v v = U. Man kann auch leicht entscheiden, ob sich zwei affine Unterräume schneiden: Lemma..8 Die beiden affinen Unterräume U + v und U + v sind genau dann disjunkt wenn v v / U + U. Beweis Übung oder Vorlesung. Satz..9 Seien U, U zwei lineare Unterräume, v, v V. Dann ist E = (U + v) (U + v ) ein affiner Unterraum. Ist E { }, dann ist W + w, wobei W = U U und w ein beliebiger Vektor in E ist. Sind E und E 2 affine Unterräume, so bezeichnen wir die affine Hülle E E 2 a mit E E 2. Wir können diesen Unterraum, ähnlich wie den Schnitt, auch konkret angeben: Satz..0 Seien U, U zwei lineare Unterräume, v, v V. Dann gilt E := (U + v) (U + v ) = v + (U + U + v v ). 9

4 Beweis Weil v E, so wissen wir dass wir E als L + v für einen geeigneten linearen Unterraum L schreiben können. Ferner ist E der kleinste affine Unterraum, der U +v und U +v enthält. Nun muss sowohl U als auch U in L liegen. Ferner muss auch v v in L liegen, weil v + v v eine Affinkombination von v und v ist, also in E liegt. Wir können nun auch, vergleichbar zu Satz 3.3.4, eine Dimensionsformel für Schnitt und Erzeugnis zweier affiner Unterräume angeben. Allerdings sind diese Formeln abhängig davon, ob sich die beiden affinen Unterräume schneiden oder nicht: Satz.. Es seien E = U +v und E 2 = U 2 +v 2 zwei affine Unterräume eines endlichdimensionalen Vektorraumes V. Wenn E E 2 { }, dann gilt andernfalls erhalten wir dim(e ) + dim(e 2 ) = dim(e E 2 ) + dim(e E 2 ), dim(e ) + dim(e 2 ) = dim(e E 2 ) + dim(u U 2 ) Beweis Das folgt unmittelbar aus der Dimensionsformel in Satz und der Folgerung aus Lemma..0, dass nämlich { dim(u + U 2 ) wenn E und E 2 nicht disjunkt sind dim(e E 2 ) = + dim(u + U 2 ) wenn E und E 2 disjunkt sind. Beispiel..2 Machen Sie sich diese Dimensionsformel am R 3 klar: Zwei parallele Geraden, die sich nicht schneiden, erzeugen einen 2-dimensionalen affinen Unterraum (Ebene). Zwei nicht parallele, aber disjunkte Geraden (windschief!) erzeugen den ganzen R 3. In dem Fall gilt nämlich in der Dimensionsforml dim(u U 2 ) = 0. Zwei parallele Geraden, die sich schneiden (also gleich sind!), erzeugen einen eindimensionalen Unterraum, zwei sich schneidende, nicht parallele Geraden, erzeugen einen zweidimensionalen Unterraum. Wir wollen noch kurz bei der affinen Geometrie verweilen. Sei V = K n. Dann bezeichnen wir die Menge V zusammen mit den sämtlichen affinen Unterräumen die affine Geometrie AG(V ). Die 0-dimensionalen Unterräume nennen wir Punkte, die -dimensionalen Geraden, und die 2-dimensionalen Unterräume heißen Ebenen. Ferner nennen wir (n )-dimensionale Unterräume Hyperebenen. Wir nennen zwei Unterräume U + v und U + v parallel, wenn U U oder U U gilt. Ferner heißt ein Unterraum E inzident mit E falls E E gilt. Unterräume von AG(V ) haben gewisse kombinatorische Eigenschaften, so geht z.b. durch je zwei Punkte genau eine Gerade. Man kann sich fragen, ob diese kombinatorischen Eigenschaften die affine Geometrie bereits charakterisieren, oder ob es noch andere Modelle als AG(V ) gibt, deren Unterräume dieselben kombinatorischen Eigenschaften wie AG(V ) haben. Wir wollen dies am Beispiel der affinen Ebenen illustrieren: 92

5 Definition..3 Sei V eine Menge, deren Elemente wir Punkte nennen wollen. Ferner sei B P(V ) eine Menge von Punktmengen, die wir Geraden nennen. Zwei Geraden heißen parallel wenn sie gleich oder disjunkt sind. Wir nennen dann (V, B) eine affine Ebene, falls gilt: [AE] [AE2] [AE3] Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade L mit p, p 2 L. Zu jedem Punkt p und jeder Geraden L gibt es genau eine Gerade L mit p L und L parallel zu L. Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen. Satz..4 AG(K 2 ) ist eine affine Ebene, wobei die Punkte die Elemente aus K 2 sind, und die Geraden sind die eindimensionalen affinen Unterräume. Beachten Sie bitte, dass es auch affine Ebenen gibt, die über endlichen Körpern erklärt sind. Beispiel..5 Wir definieren auf der Punktmenge R 2 eine Menge B von Geraden wie folgt: wobei B := {L m,a : m R, a R} {L a : a R} x x L m,a := { : x 0} { mx + a 2mx + a : x > 0} (statt 2 als Abknickparameter kann man jede beliebige Zahl 0 wählen) und ( a L a := { : y R} y) Man rechnet nach, dass so eine affine Ebene erklärt ist. Das Axiom [AE3] x ist klar. Für [AE] ist nur der (interessante) Fall p = mit x y 0 x2 und p 2 = mit x y 2 > 0 interessant. Wir müssen also m, a so finden, dass 2 p, p 2 L m,a gilt. Das bedeutet aber y = mx + a und y 2 = 2mx 2 + a. Dieses Gleichungssystem können wir nach m und a auflösen. x Noch zu [AE2]: Sei p = ein Punkt und L y m,a eine Gerade. Wir suchen eine Gerade L m,a durch p und parallel zu L m,a. Nun sind aber L m,a und L m,b genau dann parallel wenn m = m (wie man leicht nachrechnen kann). Wir wählen a also so, dass p L m,a gilt. 93

6 Nun stellt sich die Frage, ob wir auf diese Art eine neue affine Ebene konstruiert haben, oder ob wir nur die bekannte affine Ebene R 2 in neuem Gewand wiederentdeckt haben. Die oben konstruierte Ebene (Moulton-Ebene) ist aber in der Tat neu. In der klassischen Ebene AG(R 2 ) gilt nämlich der folgende Schließungssatz: Satz..6 (Desargues) Seien L, L 2, L 3 drei verschiedene Geraden in AG(R 2 ), die sich in einem Punkt z treffen. Ferner seien u, v, u 2, v 2, u 3, v 3 sechs verschiedene Punkte z mit u i, v i L i. Wenn dann die Geraden u u 2 und v v 2 parallel sind und die Geraden u u 3 und v v 3 sind auch parallel, dann müssen auch die Geraden u 2 u 3 und v 2 v 3 parallel sein. Beweis Sei obda z = 0, die drei Geraden L i sind also eindimensionale lineare Unterräume. Sei v = λu und v 2 = µu 2. Wegen der Parallelität der Geraden u u 2 und v v 2 gilt u u 2 = λu µu 2. Das geht für λ = µ, ist aber falsch für µ λ (sonst wäre (λ µ)u 2 u u 2, und damit würden u und u 2 denselben Unterraum erzeugen, was sie aber nicht tun). Genauso zeigt man v 3 = λu 3. Dann gilt u 2 u 3 = v 2 v 3 = λ(u 2 u 3 ). Man kann nun zeigen, dass in der Moulton-Ebene der Satz von Desargues nicht gilt. Wir haben also in der Tat eine andere Ebene gefunden. 94