Deterministische endliche Automaten - Wiederholung

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1 Deterministische endliche Automaten - Wiederholung Die folgende Klasse Zahl stellt einen endlichen Automaten dar. Ermittle die Größen des Automaten und zeichne den Zustandsgraphen. Gib Zeichenfolgen an, die von dem Automaten akzeptiert werden und Zeichenfolgen, die nicht akzeptiert werden. public class Zahl{ // Kodierung der Zeichen: '0'=0,.., '9'=0, '.'=1, nicht Ziffer=2 // Kodierung der Zustände: 0,1,2,3 // Fehlerzustand: 4 kommt in der Matrix nicht vor // Endzustände 1,3 private int[][] Delta = {{1,1,3,3,{4,2,4,4,{4,4,4,4; // 4(0-3) x 3(0-2) - Matrix private int FehlerZustand=4; private int EingabeKodierung(char Zeichen){ switch(zeichen){ case '0':{return 0; case '1':{return 0; case '2':{return 0; case '3':{return 0; case '4':{return 0; case '5':{return 0; case '6':{return 0; case '7':{return 0; case '8':{return 0; case '9':{return 0; case '.':{return 1; default: {return 2; boolean istzahl(string Zahlterm){ int AktuellerZustand=0; int i=0; int z; if(zahlterm.length()==0){aktuellerzustand=fehlerzustand; else{ do{ z=eingabekodierung(zahlterm.charat(i)); AktuellerZustand=Delta[z][AktuellerZustand]; i++; while((i<(zahlterm.length()))&(aktuellerzustand!=fehlerzustand)); return ((AktuellerZustand==1) (AktuellerZustand==3));

2 Größen des Automaten Zustandsgraph S (Menge der Zustände) = Σ (Menge der Eingabezeichen) = s 0 (Anfangszustand) = F (Menge der Endzustände) = δ (Zustandsüberführungsfunktion und δ : S x Σ S): δ Zustandsgraph:

3 Deterministischer endlicher Automat (DEA) - Definition Ein determinierter endlicher Automat A ist gegeben durch: A = (S, Σ, δ, s 0, F). S = Menge der Zustände Σ =Eingabezeichen s 0 = Anfangszustand, s 0 S F = Menge der Endzustände, F S δ = Zustandsüberführungsfunktion und δ : S x Σ S Deterministisch bedeutet, dass der Automat zu einem Zeitpunkt nur einen Zustand haben kann. Beispiel: Man sagt, dass ein Automat eine Eingabefolge akzeptiert, wenn die zur Eingabefolge gehörige Zustandsfolge vom Anfangszustand in einen der Endzustände führt. Ein Automat filtert somit aus der Menge aller beliebigen Eingabefolgen diejenigen heraus, die korrekt gebildet sind. Die Menge aller Eingabefolgen, die von einem Automaten akzeptiert werden, nennt man Sprache des Automaten. Sie wird beschrieben durch: T (A) = {w Σ * / δ (s 0, w) F. Σ * =Menge aller endlichen Symbolfolgen über Σ, das ist die Menge aller Worte über dem Alphabet Σ einschließlich des leeren Wortes ε. Die Sprache eines endlichen Automaten wird durch reguläre Ausdrücke spezifiziert.

4 Erweiterung des Automaten Zahl: Der obige Automat soll nun so erweitert werden, dass er auch Zahlen mit Vorzeichen erkennt. a) Entwickle die Erweiterung anhand eines Graphen. b) Gib den Automat vollständig an. c) Realisiere nun den Automaten in JAVA. Schreibe eine Methode, die erkennt, ob Symbolfolgen von dem Automat akzeptiert wer den oder nicht.

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6 Reguläre Ausdrücke sind Namen zur Bezeichnung von bestimmte Mengen von Worten über. Ist α ein regulärer Ausdruck, dann ist L (α) die von α bezeichnete Sprache. ε = regulärer Ausdruck mit L (ε) = ε a, a = regulärer Ausdruck und L (a) = {a Sind α, β reguläre Ausdrücke, dann ist α * = regulärer Ausdruck und L (α * ) = L (α) * αβ = regulärer Ausdruck und L (αβ) = L (α)l (β) (Verkettung) α β = regulärer Ausdruck und L (α β) = L (α) L (β) Beispiele: 1. = {0,1, α = 0 (0 1) *, L (α) = Menge aller Bitfolgen, die mit 0 beginnen. 2. = {0,1,2,3,4,5,6,7, α = ( ) ( ) * L (α) = Menge aller natürlichen Zahlen in der Oktaldarstellung. 3. = {0,1, α = (0 1) * 0 (0 1) (0 1), L (α) = Menge aller Bitfolgen, die als drittletztes Symbol eine 0 haben. Es gilt: Zu jedem DEA kann man einen regulären Ausdruck α angeben mit T (DEA) = L (α).

7 Übungen 1. Gegeben sei folgender DEA: s 2 A,...,Z A,...,Z s 0 s 1 0,...,9 A,...,Z Sei A := A,...,Z und 0 := 0,...,9. Gib einen regulären Ausdruck an, der die Sprache des obigen Automaten beschreibt. 0,...,9 s 2 0,...,9 2. Gib einen regulären Ausdruck an, der folgende Menge beschreibt: a) Menge aller Bitfolgen mit einer geraden Anzahl von Nullen. b) Menge aller Bitfolgen mit einer geraden Anzahl von Nullen oder einer geraden An zahl von Einsen. c) Menge aller Bitfolgen mit einer Eins an der 4. Stelle von hinten (rechts) d) Menge aller Bitfolgen, die mit 01 enden. e) Menge aller Bitfolgen, die nicht mit 01 enden. 3. Gegeben sei = { a, b und α = (a b) * b (a a b). Gib 11 Wörter w der Sprache L (α) an mit w < Gegeben sei = {0,1 und α = ((0 1)( 0 1) * ) * 0 0 (0 1). Beschreibe die Sprache L (α). Beschreibe α kürzer bzw. einfacher. 5. Gegeben sei = { a, b und die Sprache { n m L = a b : n 4, m 4. Finde einen entsprechenden regulären Ausdruck. 6. Gegeben sei = { a, b und die Sprache L = { a, aa, aaa,..., b, ab, aab, aaab,.... Finde einen entsprechenden regulären Ausdruck.