DKA und dkfs (mit Übungen)

Transkript

1 DKA und dkfs (mit Übungen) Prof.Dr.Christian Wagenknecht mit Beiträgen von Herrn Dr.Michael Hielscher Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 1/15

2 kurz DKA Analog zu endlichen Automaten (DEA und NEA) gibt es auch für Kellerautomaten einen deterministischen Typ, den DKA. Spricht man allgemein von Kellerautomat, meint man aber den NKA. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 2/15

3 kurz DKA Analog zu endlichen Automaten (DEA und NEA) gibt es auch für Kellerautomaten einen deterministischen Typ, den DKA. Spricht man allgemein von Kellerautomat, meint man aber den NKA. Die nachfolgenden Situationen sind für einen DKA unzulässig: qj q j (A,a):... (A,a):... qi q i (A,a):... (A, ε):... qm q m Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 2/15

4 kurz DKA Definition Ein DKA ist wie ein NKA definiert. Allerdings gibt es drei Abweichungen: 1 δ : Q (Σ {ε}) Γ Q Γ, anstelle von endlich (Q Γ ) auf der rechten Seite bei NKA. Die Funktionswerte sind also Paare und keine Mengen. 2 Wenn δ(q, ε, A) definiert ist, dann ist für alle a Σ der Funktionswert δ(q, a, A) undefiniert oder umgekehrt. Dies ist notwendig, um eine deterministische Arbeitsweise zu garantieren. 3 Es gibt eine Menge von Endzuständen E Q, d.h. es wird immer die NKA-Definitionsform als 7-Tupel M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, k 0, E) zugrunde gelegt. Eine 6-Tupel-Definition darf für DKA nicht verwendet werden. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 3/15

5 kurz DKA Definition Ein DKA ist wie ein NKA definiert. Allerdings gibt es drei Abweichungen: 1 δ : Q (Σ {ε}) Γ Q Γ, anstelle von endlich (Q Γ ) auf der rechten Seite bei NKA. Die Funktionswerte sind also Paare und keine Mengen. 2 Wenn δ(q, ε, A) definiert ist, dann ist für alle a Σ der Funktionswert δ(q, a, A) undefiniert oder umgekehrt. Dies ist notwendig, um eine deterministische Arbeitsweise zu garantieren. 3 Es gibt eine Menge von Endzuständen E Q, d.h. es wird immer die NKA-Definitionsform als 7-Tupel M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, k 0, E) zugrunde gelegt. Eine 6-Tupel-Definition darf für DKA nicht verwendet werden. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 3/15

6 kurz DKA Definition Ein DKA ist wie ein NKA definiert. Allerdings gibt es drei Abweichungen: 1 δ : Q (Σ {ε}) Γ Q Γ, anstelle von endlich (Q Γ ) auf der rechten Seite bei NKA. Die Funktionswerte sind also Paare und keine Mengen. 2 Wenn δ(q, ε, A) definiert ist, dann ist für alle a Σ der Funktionswert δ(q, a, A) undefiniert oder umgekehrt. Dies ist notwendig, um eine deterministische Arbeitsweise zu garantieren. 3 Es gibt eine Menge von Endzuständen E Q, d.h. es wird immer die NKA-Definitionsform als 7-Tupel M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, k 0, E) zugrunde gelegt. Eine 6-Tupel-Definition darf für DKA nicht verwendet werden. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 3/15

7 Sprache L(M) L(M) Die von einem DKA akzeptierte Sprache ist L(M) = {w Σ (q 0, w, k 0 ) (q e, ε, K), K Γ, q e E}. Ist das Eingabewort vollständig abgetastet, stoppt der Automat und der DKA befindet sich im Zustand q x. Ist vom Zustand q x ein weiterer spontaner Übergang zu q z möglich, so wird dieser in jedem Fall ausgeführt und der Automat stoppt in q z. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 4/15

8 Beispiel DKA Übungsaufgabe Für die kfs L = {a n b n n 1} kann ein DKA M wie folgt angegeben werden. Geben Sie M an. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 5/15

9 Beispiel Beispiel DKA Für die kfs L = {a n b n n 1} kann ein DKA wie folgt angegeben werden. M DKA = ({s 0, s 1, s 2 }, {a, b}, {a, $}, δ, s 0, $, {s 2 }) mit folgendem δ: δ(s 0, a, $) = (s 0, a$) δ(s 0, a, a) = (s 0, aa) δ(s 0, b, a) = (s 1, ε) δ(s 1, b, a) = (s 1, ε) δ(s 1, ε, $) = (s 2, $) ($,a):a$ (a,a):aa (a,b): ε Start s 0 (a,b): ε s 1 ($, ε):$ s 2 Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 6/15

10 Beispiel Beispiel DKA Akzeptanz des Eingabewortes aabb: ($,a):a$ (a,a):aa (a,b): ε Start s 0 (a,b): ε s 1 ($, ε):$ s 2 Zustand Eingabe Keller s 0 aabb $ zugehörige Konfigurationenfolge: (s 0, aabb, $). Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 7/15

11 Beispiel Beispiel DKA Akzeptanz des Eingabewortes aabb: ($,a):a$ (a,a):aa (a,b): ε Start s 0 (a,b): ε s 1 ($, ε):$ s 2 Zustand Eingabe Keller s 0 aabb $ s 0 abb a$ zugehörige Konfigurationenfolge: (s 0, aabb, $) (s 0, abb, a$). Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 7/15

12 Beispiel Beispiel DKA Akzeptanz des Eingabewortes aabb: ($,a):a$ (a,a):aa (a,b): ε Start s 0 (a,b): ε s 1 ($, ε):$ s 2 Zustand Eingabe Keller s 0 aabb $ s 0 abb a$ s 0 bb aa$ zugehörige Konfigurationenfolge: (s 0, aabb, $) (s 0, abb, a$) (s 0, bb, aa$). Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 7/15

13 Beispiel Beispiel DKA Akzeptanz des Eingabewortes aabb: ($,a):a$ (a,a):aa (a,b): ε Start s 0 (a,b): ε s 1 ($, ε):$ s 2 Zustand Eingabe Keller s 0 aabb $ s 0 abb a$ s 0 bb aa$ s 1 b a$ zugehörige Konfigurationenfolge: (s 0, aabb, $) (s 0, abb, a$) (s 0, bb, aa$) (s 1, b, a$). Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 7/15

14 Beispiel Beispiel DKA Akzeptanz des Eingabewortes aabb: ($,a):a$ (a,a):aa (a,b): ε Start s 0 (a,b): ε s 1 ($, ε):$ s 2 Zustand Eingabe Keller s 0 aabb $ s 0 abb a$ s 0 bb aa$ s 1 b a$ s 1 ε $ zugehörige Konfigurationenfolge: (s 0, aabb, $) (s 0, abb, a$) (s 0, bb, aa$) (s 1, b, a$) (s 1, ε, $). Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 7/15

15 Beispiel Beispiel DKA Akzeptanz des Eingabewortes aabb: Zustand Eingabe Keller s 0 aabb $ s 0 abb a$ s 0 bb aa$ s 1 b a$ s 1 ε $ s 2 ε $ zugehörige Konfigurationenfolge: (s 0, aabb, $) (s 0, abb, a$) (s 0, bb, aa$) (s 1, b, a$) (s 1, ε, $) (s 2, ε, $). Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 7/15

16 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Deterministisch kontextfreie Sprachen Welche Leistungsfähigkeit hat nun das Beschreibungsmittel DKA? Bei endlichen Automaten galt: L DEA = L NEA. Eine Analogie für kfg und kfs gibt es jedoch nicht. Hier gilt L DKA L NKA. Für manche kfs kann sehr wohl ein NKA, jedoch kein entsprechender DKA angegeben werden. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 8/15

17 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel Gegeben sei die Sprache der Palindrome L = {w {a, b} w = umkehr(w)} Die Funktion umkehr dreht dabei ein Wort beliebiger Länge um: umkehr(abb) = bba. Die Sprache L akzeptiert genau die Wörter, bei denen umkehr wieder das Ausgangswort liefert (etwa aba oder b). Die erste Hälfte von w muss vollständig gekellert werden um anschließend die zweite Hälfte mit dem Kellerinhalt zu vergleichen. Problem: Ein DKA verfügt über keine Mittel, um festzustellen, ob die Wortmitte erreicht ist. Was aber die Voraussetzung ist, um den Vorgang des Kellerns zu beenden und auf Entkellern umzuschalten. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 9/15

18 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Übungsaufgabe Geben Sie einen NKA (7-Tupel-Definition) für L = {w {a, b} w = umkehr(w)} an. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 10/15

19 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel Einen NKA für L können wir hingegen problemlos angeben: M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {$, a, b}, δ, q 0, $, {q 2 }), mit folgender Überführungsfunktion δ. δ(q 0, a, $) = {(q 0, a$), (q 1, $)} δ(q 0, b, $) = {(q 0, b$), (q 1, $)} δ(q 0, a, a) = {(q 0, aa), (q 1, a)} δ(q 0, b, a) = {(q 0, ba), (q 1, a)} δ(q 0, a, b) = {(q 0, ab), (q 1, b)} δ(q 1, b, b) = {(q 1, ε)} δ(q 0, b, b) = {(q 0, bb), (q 1, b)} δ(q 0, ε, $) = {(q 1, $)} δ(q 0, ε, a) = {(q 1, a)} δ(q 0, ε, b) = {(q 1, b)} δ(q 1, a, a) = {(q 1, ε)} δ(q 1, ε, $) = {(q 2, $)} Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 11/15

20 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel Einen NKA für L können wir hingegen problemlos angeben: M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {$, a, b}, δ, q 0, $, {q 2 }), mit folgender Überführungsfunktion δ. ($,a):a$ (a,a):aa (b,a):ab ($,b):b$ (a,b):ba (b,b):bb ($, ε):$ (a, ε):a (b, ε):b ($,a):$ (a,a):a (b,a):b ($,b):$ (a,b):a (b,b):b (a,a): ε (b,b): ε Start q0 q1 ($, ε):$ q2 Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 11/15

21 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel Einen NKA für L können wir hingegen problemlos angeben: M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {$, a, b}, δ, q 0, $, {q 2 }), mit folgender Überführungsfunktion δ. ($,a):a$ (a,a):aa (b,a):ab ($,b):b$ (a,b):ba (b,b):bb ($, ε):$ (a, ε):a (b, ε):b ($,a):$ (a,a):a (b,a):b ($,b):$ (a,b):a (b,b):b (a,a): ε (b,b): ε Start q0 q1 ($, ε):$ q2 Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 11/15

22 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel: Alternative Lsung (Florian Haje) NKA: M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {0, A, B}, δ, q 0, 0, {q 2 }), mit folgender Überführungsfunktion δ: (0,a):A0 (A,a):AA (B,a):AB (0,b):B0 (A,a): ε (A,b):BA (B,b): ε (B,b):BB (0, ε):0 (A, ε): ε Start q0 (B, ε): ε (A,a): ε (B,b): ε q1 (0, ε): ε q2 Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 12/15

23 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Wir verändern nun die Sprache ganz leicht und betrachten die Sprache der Palindrome mit markierter Wortmitte. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 13/15

24 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel 2 L = {w w = v!v und v = umkehr(v), mit v {a, b} }. Können wir für diese Sprachen einen DKA angeben? Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 14/15

25 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel 2 L = {w w = v!v und v = umkehr(v), mit v {a, b} }. Für diese Sprachen können wir auch einen DKA angeben: M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b,!}, {$, a, b}, δ, q 0, $, {q 2 }) mit δ(q 0, a, $) = (q 0, a$) δ(q 0, a, a) = (q 0, aa) δ(q 0, a, b) = (q 0, ab) δ(q 0, b, $) = (q 0, b$) δ(q 0, b, a) = (q 0, ba) δ(q 0, b, b) = (q 0, bb) δ(q 0,!, $) = (q 1, $) δ(q 0,!, a) = (q 1, a) δ(q 0,!, b) = (q 1, b) δ(q 1, a, a) = (q 1, ε) δ(q 1, b, b) = (q 1, ε) δ(q 1, ε, $) = (q 2, $) Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 14/15

26 Deterministisch kontextfreie Sprachen Leistungsfähigkeit von DKA Beispiel 2 L = {w w = v!v und v = umkehr(v), mit v {a, b} }. ($,a):a$ (a,a):aa (b,a):ab ($,b):b$ (a,b):ba (b,b):bb (a,a): ε (b,b): ε ($,!):$ Start q0 (a,!):a q1 ($, ε):$ q2 (b,!):b Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 14/15

27 Deterministisch kontextfreie Sprachen Zusammenfassung Zusammenfassung Die Sprachen, die durch DKA beschrieben werden können, heißen deterministisch kontextfreie Sprachen(dkfS). Sie bilden die für die Programmiersprachen wichtigste Sprachklasse und stimmen mit den sog. LR(k)-Sprachen überein. Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 15/15