Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) kann als 5-Touple dargestellt werden:

Transkript

1 Sprachen und Automaten 1 Deterministische endliche Automaten (DFA) Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) kann als 5-Touple dargestellt werden: M = (Z,3,*,qo,E) Z = Die Menge der Zustände 3 = Eingabealphabet * = die Überführungsfunktionen (Z x 3! Z) qo = der Startzustand E = die Menge der Endzustände Ein DFA zeichnet sich dadurch aus, daß jeder Arbeitsschritt genau nachvollziehbar ist. In jedem Zustand kann für jedes Zeichen aus dem Eingabealphabet genau gesagt werden, in welchen Zustand der Automat überführt wird. Eine Sprache L wird von einem DFA akzeptiert oder erkannt, wenn der Automat nach Abarbeiten eines jeden Wortes aus dieser Sprache in einem seiner Endzustände ist. Für alle Wörter, die nicht in der Sprache liegen darf der DFA nach deren Abarbeitung nicht in einem Endzustand sein. Die Sprachen, welche durch einen DFA erkannt werden heißen reguläre Sprachen. Eigenschaften regulärer Sprachen Sind und L2 reguläre Sprachen, dann sind folgende Sprachen ebenfalls regulär:, L2, L2, L 2, L * Beweise: zu : Ist M = (Z 1,3,*,qo,E 1 ) ein DFA, der erkennt, dann ist N = (Z 1,3,*,qo,Z 1 \E 1 ) der Automat, welcher erkennt. L2 zu : Ist M 1 = (Z 1,3,* 1,qo,E 1 ) ein DFA, der erkennt und ist M 2 = (Z 2,3,* 2,qo,E 2 ) ein DFA, der L2 erkennt, dann erkennt N = (Z 1 x Z 2,3,*,qo,E 1 x E 2 ) mit *((q,p),a) = (* 1 (q,a),* 2 (pa)) die Sprache. L2

2 Anschaulich (wenn auch etwas unübersichtlich): Der Automat M1 erkennt die Sprache aller Wörter, die mindestens 2 a s hintereinander enthalten. Der Automat M2 erkennt die Sprache aller Wörter die mindestens 2 Buchstaben lang sind, ein a enthalten und entweder auf eine Folge von a s oder auf ab endet, wobei direkt vor ab kein a stehen darf. Die Schnittmenge dieser Sprachen ist die Sprache aller Wörter, die mindestens 2 a s hintereinander enthalten, mindestens 2 Buchstaben lang sind und entweder auf eine Folge von a s oder auf ab endet, wobei direkt vor ab kein a stehen darf. Der Automat wurde nach der obigen Vorschrift gebaut und erkennt die beschriebene Schnittmenge. (Die Zustände 15 und 24 von N könnten gestrichen werden.) L2 zu : L2 = L2 Es gilt Da die Aussage für die Negation und den Schnitt bereits bewiesen wurde, muß sie auch für die Vereinigung gelten.

3 L 2, L * Für ist die Aussage nicht ohne weiteres zu beweisen. Für L2 könnte man die Automaten M1 und M2 einfach miteinander verketten, sie also nacheinander abarbeiten. Bei diesem Vorgehen besteht das Problem, daß man nicht weiß wann das Wort aus zu ende ist und man mit dem Abarbeiten im M2 beginnen muß. Um diesen Problem zu umgehen bedient man sich eines NFA s und zeigt später die Äquivalents zwischen NFA s und DFA s. Nichtdeterministische endliche Automaten (NFA s): Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NFA) kann ebenfalls als 5-Touple dargestellt werden: M = (Z,3,*,Qo,E) Z = Die Menge der Zustände 3 = Eingabealphabet * = die Überführungsfunktionen (Z x 3! P(Z)) P = Potenzmenge Qo = die Menge der Startzustände E = die Menge der Endzustände Die wesentlichen Unterschiede zum NFA: Qo ist eine Menge von möglichen Startzuständen und nicht ein einzelner Startzustand Die Überführungsfunktionen können von einem Zustand beim lesen eines Zeichens auf verschiedene Zielzustände abbilden. Das heißt, der Automat könnte in der gleichen Situation verschiedene Wege gehen (ist also nicht deterministisch). Der Automat erkennt eine Sprache, wenn es für jedes Wort der Sprache möglich ist, daß er sich nach abarbeiten des Wortes in einem Endzustand befindet. Für alle anderen Wörter muß dies unmöglich sein. Die letzte Eigenschaft ermöglicht es, zu raten welche Überführungsfunktion genommen werden muß. Bei dem Problem der Erkennung von L2 muß geraten werden, wann zu ende ist. Wir können das Problem also mit einem NFA lösen. Gleiches gilt für das Erkennen von *. Äquivlaenz zwischen NFA s und DFA s: Es sind zwei Richtungen zu betrachten: 1) Zu jedem DFA kann ein NFA gefunden werden, der das gleiche tut. Das ist trivial, da jeder DFA ein spezieller NFA ist. 2) Zu jedem NFA kann ein DFA gefunden werden, der das gleiche tut. Es gibt eine Verfahrensvorschrift, die jeden NFA in einen DFA umwandelt: Ist N = (Z,3,*,Qo,E) ein NFA, dann tut der DAF M = (P(Z),3,*,Qo,E ) das gleiche wenn folgendes gilt:

4 An einem Beispiel soll das Vorgehen bei der Konstruktion erläutert werden: Der folgende NFA soll in eine DFA umgewandelt werden. Die Zustandsmenge des gesuchten DFA s ist die Potenzmenge der Zustände das NFA s. Der Startzustand ist die Menge, die alle Startzustände das NFA s enthält. Alle Mengen, die einen der Endzustände des NFA s enthalten sind Endzustände. Man erhält: Nun guckt man für die einzelnen Mengen, wohin man von den Zuständen die sie enthalten mit einem bestimmten Zeichen überführt werden kann und faßt die Zielzustände in eine Menge zusammen. So erhält man eine Überführung für ein Zeichen von der betrachteten Menge in die Menge der Zielzustände. Ist von einem Zustand des NFA für ein Zeichen aus dem Eingabealphabet keine Überführung vorhanden, kommt die einer Überführung in die leere Menge gleich. Man erhält also den Folgenden DFA. (Die Zustände {2,3} und {1,2,3} sind überflüssig, da sie vom Startzustand aus nicht erreicht werden können. Ebenso könnte auf den Zustand {2} verzichtet werden.)

5 Reguläre Ausdrücke: Reguläre Ausdrücke dienen zum beschreiben von Regulären Sprachen. Eine Sprache, die nur aus einem Wort besteht ist trivialer Weiser regulär. Es wurde gezeigt, daß man die Sternhülle, das Komplement, die Vereinigung und den Schnitt auf reguläre Sprachen anwenden kann, ohne aus dieser Sprachklasse heraus zu führen. Es läßt sich sogar zeigen, daß auf diese Art und weise alle regulären Sprachen erzeugt werden können. Verzichtet man auf den Durchschnitt und das Komplement, so kann man abgesehen von der leeren Menge (nicht mit dem leeren Wort zu verwechseln) immer noch alle regulären Sprachen bilden. Auf dieser Erkenntnis bauen die regulären Ausdrücke auf, indem sie der Verkettung, der Sternhülle und der Vereinigung eine Schreibweise zuordnen. Schreibweisen: Sprachen aus einem Wort: Ist a ein Zeichen aus dem Alphabet, dann beschreibt a die Sprache, die nur aus dem Wort a besteht Verkettung: Sind a und b Zeichen aus dem Alphabet, dann beschreibt ab die Sprache, die nur aus dem Wort ab besteht Vereinigung: Sind a und b Zeichen aus dem Alphabet, dann beschreibt a b die Sprache, die entweder aus dem Wort a oder dem Wort b besteht. Sternhülle: Ist A eine Sprache, dann ist A* die Sprache, die durch bilden der Sternhülle dieser Sprache entsteht. Zusätze: 1) Um die Prioritäten zu verdeutlichen können Klammern verwendet werden. 2) Damit auch die Leere Menge und das leere Wort dargestellt werden können, wird als Symbol für die leeren Menge und g für die Darstellung des leeren Wortes benutzt. Das Pumping Lemma: Das pumping Lemma wird verwendet, um zu widerlegen, daß eine Sprache regulär ist, denn es muß für alle regulären Sprachen gelten. Die Umkehrung der Aussage, also daß wenn eine Sprache pumping Lemma erfüllt diese regulär sein muß, gilt jedoch nicht. Dieses Lemma ist also für den Nachweis einer regulären Sprache ungeeignet. Aussagen das pumping Lemmas: Zu jeder regulären Sprache L gibt es eine Zahl l, so daß sich alle Wörter x 0 L mit x $ l in x = uvw zerlegen lassen mit 1. v g 2. uv # l 3. uv i w 0 L für alle i $ 0. Die kleinste solche Zahl l wird Pumping-Zahl von L genannt.

6 Veranschaulichung des pumping Lemmas: Jeder Automat hat endlich viele Zustände. Nennen wir die Zahl der Zustände l (was für ein Zufall). Wenn nun ein Wort länger als l ist, dann muß der Automat mindestens einen Zustand zweimal benutzt haben um es zu erkennen. Wenn wir das betrachtete Wort in uvw zerteilen, dann könnte man sich die Überführungen wie folgt veranschaulichen: Das erste Teilstück des Graphen, stellt die Überführungen dar, welche der Automat beim lesen des Teilwortes u durchläuft. Dann kommt er zu dem Zustand, welcher zweimal benutzt wird. Von dort aus geraten wir in die Schleife, welche beim Lesen von v gemacht wird. Abschließend wird w gelesen. (Dies entspricht den letzten beiden Überführungen). Wer sagt aber, daß die Schleife für v nur einmal durchlaufen werden darf? Niemand! Wenn der Automat das Wort uvw erkennt muß er also auch uvvw und uvvvw bzw. uv i w erkennen und uv i w muß demnach auch in der Sprache liegen. Wir müssen also über v pumpen können (uv i w für beliebige i rechnen können), ohne aus der Sprache zu gelangen.