Endliche Automaten. Im Hauptseminar Neuronale Netze LMU München, WS 2016/17

Transkript

1 Endliche Automaten Im Hauptseminar Neuronale Netze LMU München, WS 2016/17

2 RS- Flipflop

3 RS-Flipflop Ausgangszustand Set Reset neuer Zustand

4 Was ist ein endlicher Automat? Ein endlicher Automat ist ein Gerät, das eine Folge von Eingaben einlesen, die darin enthaltene Information verarbeiten und ggf. auch eine Ausgabe erzeugen kann.

5 Was ist ein endlicher Automat? Ein endlicher Automat besitzt eine endliche Anzahl von möglichen internen Konfigurationen oder Zuständen und keinen zusätzlichen Speicher. Der Zustand enthält alle Informationen, die benötigt werden um festzulegen, wie der Automat auf eine gegebene Folge von Eingaben reagiert.

6 Was ist ein endlicher Automat? Endliche Automaten und Turing- Maschinen sind grundlegende Konzepte der theoretischen Informatik Sie dienen als Modelle zur Beschreibung von Informationsverarbeitungsprozessen in digitalen Rechenanlagen.

7 Einige Beispiele

8 Die wichtigsten Komponenten Jeder endliche Automat besitzt eine Eingabeeinheit bestehend aus einem Eingabeband (Arbeitsspeicher) und einem Lesekopf eine Steuereinheit mit einem endlichen Zustandsalphabet einen ausgezeichneten Startzustand und eine Menge von mögl. Endzuständen

9 Die Funktionsweise Das Verhalten des Automaten wird durch ein geeignetes Programm gesteuert. Das Programm legt fest, wie der Automat auf mögliche Eingaben reagiert. Eingabesymbole werden sequentiell verarbeitet.

10 Die Funktionsweise Jedem Ausgangszustand wird in Abhängigkeit von der jeweiligen Eingabe ein entsprechender Nachfolgezustand zugeordnet. Der Nachfolgezustand ist eindeutig durch den Ausgangszustand und das aktuelle Eingabesymbol festgelegt ( deterministischer Automat).

11 Beispiel: RS-Flipflop Ausgangszustand Set Reset neuer Zustand

12 Überführungsfunktion Mathematisch lässt sich das Verhalten eines endlichen Automaten durch eine sog. Überführungsfunktion beschreiben: f : Q Q Eingabealphabet Zustandsalphabet.

13 Was ist ein endlicher Automat? Ein endlicher Automat ist ein 5-tupel M = <, Q, S, F, f > mit folgenden Eigenschaften: (1) und Q sind endliche Mengen (2) S und F (3) f : Q Q

14 Die Steuereinheit eines Fahrstuhls Fahrstuhl in einem Fernsehturm 2 Haltepunkte: Boden und Aussichtsplattform Mögliche Zustände: B: Boden; A: Aussicht; O: auf dem Weg nach oben; U: auf dem Weg nach unten. B: Startzustand und Endzustand

15 Die Steuereinheit eines Fahrstuhls Der Fahrgast kann zwei Wünsche mitteilen: Ich will hoch und ich will runter Kommt der Fahrstuhl oben oder unten an, wird ein Stopp-Signal ausgelöst Dies ergibt folgendes Eingabealphabet: = h, r, s

16 Die Steuereinheit eines Fahrstuhls Die Steuerung geht als Reaktion auf eie Eingabe, von einem in einen anderen Zustand über Überführungsfunktion : Q Q Beschreibung der Überführungsfunktion in einer Matrix/Tabelle B Boden A Aussicht O Hochfahren U h Hoch O r runter U s stopp A B Runterfahren

17 Die Steuereinheit eines Fahrstuhls Wenn der Aufzug z.b. auf dem Weg nach oben ist, soll er nicht umkehren, bevor er oben angekommen ist Den Automaten dazu befähigen, Eingaben zu ignorieren B b Boden Boden A a Aussicht O o U u Hochfahren Runterfahren h H r R s S hoch Hoch runter stopp O B B A U u A o O O A a U U B b

18 Grafische Darstellung h,r Start h O s B A r,s s U r h,s h,r

19 Logikschaltkreise Jeder Logikschaltkreis kann als endlicher Automat dargestellt werden (hier XOR) 11, 00 S 10, 01 E

20 Logikschaltkreise

21 Sprachverarbeitung Endliche Automaten können als Geräte zur Sprachverarbeitung bzw. Spracherkennung genutzt werden. Jede Folge von Eingabesymbolen wird als ein mögliches Eingabewort bezeichnet. Beispiel: Wenn das Eingabealphabet nur aus den Symbolen 0 und 1 besteht, dann sind 00, 1010, mögliche Eingabeworte

22 Sprachverarbeitung Ein Eingabewort wird akzeptiert, wenn der Automat nach Einlesen aller Symbole in einen Endzustand übergeht. Jedem endlichen Automaten entspricht eine formale Sprache. Reguläre Sprachen

23 Beispiel: Dezimalzahlen Eingabealphabet: Ziffern, Vorzeichen, Komma. Regeln: Symbolfolge kann, muss aber nicht mit einem Vorzeichen (+ oder -) beginnen Auf das Vorzeichen folgt mindestens eine Ziffer, evtl. auch mehrere Danach kann ein Komma stehen. In diesem Fall muss mindestens noch eine Ziffer folgen.

24 Übergangsdiagramm 0,,9 0,,9, 0,,9 A B C D E 0,,9

25 Nicht-deterministische Automaten 0, 1 0, A D E 1 B 1 C 0,1

26 Nicht-deterministische Automaten Ein Eingabewort wird akzeptiert, wenn es mindestens eine mögliche Folge von Zustandsübergängen gibt, die zu einem Endzustand führt. Beispiel: A 1 A 0 D 0 E

27 Nicht-deterministische Automaten Zu jedem nicht-deterministischen Automaten kann man einen äquivalenten deterministischen Automaten konstruieren Deterministische und nichtdeterministische Automaten sind äquivalent in Bezug auf ihre logische und mathematische Leistungsfähigkeit

28 Vergleich DEA - NEA 0 1 { } { } { } {{ qa 0 } { qa, 0, B q 1 } { qa 0 } { qb 1 } { } { qc 2 } *{ qc 2 } { } { } { { qa, 0, qb 1 } { qa, 0, B q 1 } { qa, 0, C q 2 } *{ *{ qa, 0, qc 2 } { qa, 0, B q 1 } { qa 0 } *{ *{ qb, 1, qc 2 } { } { qc 2 } *{q 0 A,, qb, 1, qc 2 } { qa, 0, B q 1 } { qa, 0, C q 2 } 0, A B C Hat ein NEA N Zustände, so kann man 2 N Zustände für den äquivalenten DEA konstruieren Nicht vom Start erreichbare Zustände kann man jedoch eliminieren

29 Vergleich DEA - NEA 0 1 { q 0 } { q 0, q 1 } { q 0 } { q 0, q 1 } { q 0, q 1 } { q 0, q 2 } *{ q 0, q 2 } { q 0, q 1 } { q 0 } NEA DEA

30 Endliche Automaten und reguläre Sprachen Endliche Automaten können feststellen, ob eine Eingabe grammatikalisch korrekt ist oder nicht, sofern die Grammatik nicht zu komplex ist! Die Überprüfung von Symbolfolgen auf grammatikalische Korrektheit ist eine wichtige Voraussetzung für intelligente Sprachverarbeitung.

31 Moore- und Mealy Automaten Moore- und Mealy-Automaten haben die Fähigkeit eine Ausgabe zu erzeugen Zu den 5 Komponenten kommen also noch ein Ausgabealphabet Ω und eine Ausgabfunktion λ Moore-Automat: Ausgabe hängt ausschließlich vom Zustand ab λ: Q Ω Mealy-Automat: Ausgabe hängt von Zustand und Eingabe ab λ: Q x Σ Ω

32 Moore Automat Q Eingabe Ω 0 1 q 0 q 2 q 1 GG q 1 q 3 q 0 GU q 2 q 0 q 3 UG q 3 q 1 q 2 UU Die Ausgabefunktion wird durch λ: Q Ω beschrieben Der Wert der Ausgabe hängt nur vom Zustand Q ab

33 Mealy-Automat Q Eingabe 0 1 q 0 q 2 / UG q1 / GU q 1 q3 / UU q0 / GG q 2 q0 / GG q3 / UU q 3 q 1 / GU q 2 / UG

34 Vergleich Moore- und Mealy- Automat Zu jedem Moore-Automat gibt es einen äquivalenten Mealy Automaten. Zu jedem Mealy-Automat gibt es auch einen äquivalenten Moore-Automaten. Moore- und Mealy-Automaten sind also gleichwertig.

35 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!!!

36 Literaturangaben