Grundlagen der Mathematik

Transkript

1 Frederick H.Young Grundlagen der Mathematik Eine Einführung in die mathematischen Methoden Verlag Chemie John Wiley& Sons

2 Inhalt 1. Die historische Entwicklung Die Anfänge Die antike Geometrie Die Kalender Die Papyri der Ägypter Die Ruine von Stonehenge Übungsaufgaben Die klassische Geometrie Der Satz des Pythagoras Die Irrationalität von -Jl Die Umkehrung des Pythagoräischen Lehrsatzes Die Größten: Euklid, Archimedes und Apollonius Das Parallelenaxiom Übungsaufgaben Die Winkeldreiteilung Die Koordinatengeometrie Die Topologie Berühmte Probleme der Antike Übungsaufgaben Der Beginn der Arithmetik Die Zahlzeichen Die römischen Ziffern Multiplikationssysteme Positionssysteme Übungsaufgaben Das Rechnen Der falsche Ansatz Die Multiplikation der Ägypter Die Quadratwurzel Tafeln Übungsaufgaben Zahlenspielereien, Zahlentheorie Vollkommene, unvollkommene und befreundete Zahlen Diophantos Fermat Übungsaufgaben Zahlen und Zahlensysteme Die natürlichen Zahlen Die Peanoschen Postulate Das Induktionspostulat Übungsaufgaben Die vollständige Induktion «-Fakultät Die Exponenten Eine Ungleichung Geometrische Reihen Übungsaufgaben Algebraische Eigenschaften Ordnung Übungsaufgaben Die ganzen Zahlen Subtraktion Übungsaufgaben Die rationalen Zahlen Die algebraische Umformung Übungsaufgaben Der Körper Null als ein Produkt Untersuchung von Körpereigenschaften Ein unvollständiger Körper Übungsaufgaben Die reellen Zahlen Obere Schranken und kleinste obere Schranken Vollständigkeit und die reellen Zahlen Übungsaufgaben Dichtheit Rationale Approximation Übungsaufgaben Mengenlehre und Logik Vom Konkreten zum Abstrakten und wieder zurück 79

3 X Inhalt 3.2. Die Mengen Die Gleichheit bei Mengen Vereinigung Übungsaufgaben Der Durchschnitt Die Distributivgesetze Übungsaufgaben Das Komplement Das Enthaltensein von Mengen Übungsaufgaben Die Dualität Übungsaufgaben Die Abstraktion Definitionen ßoo/esche Algebra: Die Huntington- Postulate Übungsaufgaben Weitere Theoreme Übungsaufgaben Teilweise Ordnung Vorausgehen Kommentar Übungsaufgaben Die zweiwertige Boolesche Algebra Schaltkreise Übungsaufgaben Äquivalenztabellen Die teilweise Ordnung in Schaltkreisen Übungsaufgaben Die Algebra der Logik Disjunktion, Konjunktion und Negation Aussagenvariablen Äquivalenz und Logik als eine Boolesche Algebra Übungsaufgaben Die Negation Übungsaufgaben Die Implikation Übungsaufgaben Richtige Schlußfolgerungen Tautologien Anwendungen Übungsaufgaben Teilbarkeit Einführung Bezeichnungsweise Kongruenz modulo m Gleichheit und Addition modulo m Übungsaufgaben Die Multiplikation modulo m Das Distributivgesetz Übungsaufgaben Grundlegende Theoreme Die Teilbarkeit Größte gemeinsame Teiler Die Lösung von Kongruenzen Übungsaufgaben Verfahren zur Lösung von Kongruenzen Übungsaufgaben Simultane Kongruenzen Simultane Kongruenzen in mehr als einer Variablen Übungsaufgaben Über Geheimschriften Übungsaufgaben Analytische Geometrie Einleitung Das kartesische Koordinatensystem Die Gleichung einer Geraden Steigung und Achsenabschnitt Übungsaufgaben Parallele Geraden Senkrechte Geraden Übungsaufgaben Der Abstand zweier Punkte Senkrechte Halbierungslinien von Geradenabschnitten Der Kreis Übungsaufgaben Die Parabel Die physikalischen Eigenschaften der Parabel Übungsaufgaben Die Ellipse Weg vom Ursprung Die physikalischen Eigenschaften der Ellipse 190

4 Inhalt XI Übungsaufgaben Die Hyperbel Weg vom Ursprung Die Kegelschnitte Übungsaufgaben Algebra und Geometrie Ein geometrischer Lehrsatz Übungsaufgaben Funktionen Relationen und Funktionen Die Relationen Übungsaufgaben Die Funktionen Bezeichnungsweise Graphische Darstellung einer Funktion Die Funktion als Abbildung Die Umkehrfunktion Übungsaufgaben Zusammengesetzte Funktionen Weitere graphische Darstellungen von Relationen und Funktionen Simultane, lineare Ungleichungen Übungsaufgaben Spezielle Funktionen Das größte Ganze Der Absolutbetrag Eine Alternative Der Absolutbetrag als Abstand Übungsaufgaben Differential- und Integralrechnung Einleitung Grenzwerte Übungsaufgaben Tangenten Die Ableitung Übungsaufgaben Techniken des Differenzierens Das Differenzieren von Polynomen Rationale algebraische Funktionen Übungsaufgaben Zunehmende und abnehmende Funktionen Maxima und Minima Lokale Maxima und Minima Graphische Darstellungen Endpunkte Anwendungen Übungsaufgaben Die Änderungsrate Die Momentangeschwindigkeit Übungsaufgaben Die Umkehrung der Ableitung Fallende Körper Übungsaufgaben Die Fläche Übungsaufgaben Das Integral Die Fläche Anmerkungen Anwendungen Übungsaufgaben Näherungen Vektoren und Matrizen 275 Punkte zu Zahlen 275 Geordnete «-Tupel 276 Vektoren und Vektormultiplikation 276 Die algebraische Struktur der Vektormultiplikation 277 Die Multiplikation mit einem Skalar 278 Das Addieren von Vektoren 279 Übungsaufgaben 279 Die algebraische Struktur der Vektoraddition 281 Die Matrizen 282 Bezeichnungsweise 283 Übungsaufgaben 284 Quadratische Matrizen 285 Simultane Gleichungen 285 Das Multiplizieren von Matrizen 286 Übungsaufgaben 288 Das neutrale Element der Multiplikation , Weitere multiplikative Eigenschaften der Matrizen Inverse Elemente Algebraische Eigenschaften der Matrizenmultiplikation 293

5 XII Inhalt Eine Anmerkung zur Lösung simultaner Gleichungen Übungsaufgaben Addition von Matrizen Die Multiplikation mit einem Skalar Algebraische Eigenschaften der Matrizenaddition Das Summenzeichen Das distributive Gesetz Ringe Übungsaufgaben Elementare Umformungen Ein kürzerer Weg Übungsaufgaben Elementare Matrizen Matrizeninversion Übungsaufgaben Die Determinanten Eigenschaften von Determinanten Übungsaufgaben Anwendungen der Determinanten Übungsaufgaben Computer Die Geschichte mechanischer Rechenhilfen Die Rechenmaschine Das Speichern von Zahlen Binäre Arithmetik Zahlenumwandlung Übungsaufgaben Fortlaufende Binäraddition Fortlaufende Binärsubtraktion Übungsaufgaben Begrenzte Zahlenlänge Die Darstellung von negativen Zahlen Binäre Brüche Übungsaufgaben Das Gleitkomma Übungsaufgaben Flip-Flops Schalter Logische Schaltkreise Übungsaufgaben Ein Binäraddierer Subtraktion Der Bit-Zähler Übungsaufgaben Speicheranlagen Befehle für eine Rechenmaschine Ein Programm Compiler Übungsaufgaben 355 Anhang; Lösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben 357 Register 401