Physikalische Übungen für Pharmazeuten

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1 Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik Seminar Physikalische Übungen für Pharmazeuten Ch. Wendel Max Becker Karsten Koop Dr. Christoph Wendel

2 Übersicht Inhalt des Seminars Praktikum - Vorbereitung und Durchführung Werte und Einheiten Messwerte und Messfehler Funktionale Zusammenhänge und Auswertung Fehlerbetrachtung und Fehlerrechnung Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 2

3 Übersicht Inhalt des Seminars Praktikum - Vorbereitung und Durchführung Werte und Einheiten Messwerte und Messfehler Fehlerbetrachtung und Fehlerrechnung Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 3

4 Warum Fehlerrechnung? Motivation jeder Messwert ist ungenau Messfehler / Messunsicherheit einzelne Messwerte sind meist nicht das, was einen interessiert Wie genau ist das Ergebnis einer Messreihe? Wie genau ist das Ergebnis, wenn es aus verschiedenen Messwerten errechnet wird Fehlerrechnung / Fehlerfortpflanzung Anmerkung: Begriffe teilweise unterschiedlich verwendet Messfehler, Messunsicherheit,... Grundlegende Unterscheidungen: Statistische Abweichung - Systematische Abweichung Unabhängige Fehler - Abhängige Fehler Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 4

5 Beispiel Versuch 0: Gesucht: t r, die Reaktionszeit Gegeben: s 1; s 2;... ; s 5, die Fallstrecken Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 5

6 Beispiel Versuch 0: Gesucht: t r =... ±... s Gegeben: s 1 =... ±... mm s 2 =... ±... mm s 5 =... ±... mm Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 6

7 Beispiel Versuch 0: Gesucht: t r =... ±... s Zwischenschritt: s 1 =... ±... mm s 2 =... ±... mm s 5 =... ±... mm Gemessen: s 1 start =... ±... mm; s 1 stop =... ±... mm s 2 start =... ±... mm; s 2 stop =... ±... mm s 5 start =... ±... mm; s 5 stop =... ±... mm Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 7

8 Beispiel s 1 start = 0 mm ± 1 mm s 1 stop = 80 mm ± 2 mm s = s stop s start s 1 = 80 mm 0 mm = 80 mm...! Und wie weiter? Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 8

9 Beispiel s 1 start = 0 mm ± 1 mm s 1 stop = 80 mm ± 2 mm s = s stop s start s 1 = 80 mm 0 mm = 80 mm...! Und wie weiter? Schlimmstenfalls könnte es ja folgendermaßen sein: s 1 = 82 mm ( 1) mm = 83 mm... oder s 1 = 78 mm 1 mm = 77 mm, Scheinbar ist so in etwa s 1 = 80 ± 3 mm Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 9

10 Maximalwertabschätzung des Fehlers Was haben wir gemacht? Den maximalen Fehler abgeschätzt unter der Vorraussetzung, dass die Fehler sich nicht kompensieren und die Richtung der Abweichung unbekannt ist. Mal etwas allgemeiner: s = s stop s start f (x,y) = x y Wie groß ist die Abweichung in f, wenn in x etwas ändert? (oder in y) Wie groß ist f, wenn sich x zu x + x ändert? Dafür gibt es Formeln! f (x,y,...) = f f x + y +... x y und wenn die Richtung des Fehlers unbekannt ist f (x,y,...) = f x + f y +... x y Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 10

11 Maximalwertabschätzung / Systematische Fehler f (x,y,...) = f x + f y +... x Was heißt das? y Um den Fehler in f zu berechnen, nimm deine Funktion und leite sie nach x ab f x = (x y) x = 1 und multipliziere das mit dem Fehler von x, sprich x dann das gleiche mit y usw... Das ganze wird dann addiert und gibt den Fehler in f. Übersetzt auf unsere Formel ist das dann s 1 = s 1 stop + s 1 start = 2 mm + 1 mm = 3 mm Viel Lärm für nix? Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 11

12 Wie kommt man auf t r? t = t 2 = 2 s g 2 72 mm g 2 72 mm s 2 10 m t 2 = 2 72 mm s t 2 = mm t 2 = s 2 t 2 = 0,12 s Und der Fehler? Systematische Fehler Stufe 2 Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 12

13 Wie kommt man auf t r? t = t 2 = 2 s g 2 72 mm g 2 72 mm s 2 10 m t 2 = 2 72 mm s t 2 = mm t 2 = s 2 t 2 = 0,12 s Und der Fehler? 2 s g t r = t (s,g) = t = t (s,g,...) = t s + t g s Systematische Fehler Stufe 2 g Wir ignorieren erstmal den Fehler in g (obwohl wir ihn sogar recht gut kennen, wenn man mit 10 m s rechnet ist er ca. 0,2 m s ). Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 13

14 t (s) = 2 s g Gerechne... t s =? Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 14

15 t (s) = 2 s g = ( 2 s g ) 1 2 Gerechne... t = 1 ( 2 s 1 s 2 g ) 2 2 (Kettenregel, äußere mal innere Ableitung) g t = 1 ( g ) 1 2 s g 2 s t = 1 g g s... recht unpraktisch... 2 s kann man noch zu t = 1 2 g s s vereinfachen, aber toll ist das immer noch nicht... Vielleicht einfacher, wenn man relative Fehler betrachtet? t t g = 1 g 2 s s g = 1 g 2 s s t 2 s = 1 s 2 s g Viel schöner! (Auf diese Weise wurden auch die Formeln in B.7 und B.8 berechnet) Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 15

16 Fehler in g wird wieder hinzugenommen: t = 1 s + 1 g (relativer Fehler) t 2 s 2 g t t = 1 2 ( 3 mm 72 mm + 0,2 m s 2 10 m s 2 ) = 0,031 = 3,1% t 2 = 0,12 s ± 3,1% t 2 = 0,120 s ± 0,004 s Gerechne 2 Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 16

17 Fehler in g wird wieder hinzugenommen: t = 1 s + 1 g (relativer Fehler) t 2 s 2 g t t = 1 2 ( 3 mm 72 mm + 0,2 m s 2 10 m s 2 ) = 0,031 = 3,1% t 2 = 0,12 s ± 3,1% t 2 = 0,120 s ± 0,004 s Gerechne 2 So genau ist diese eine Messung mindestens! Nicht beachtet sind aber Schwankungen in der Reaktionszeit selbst (die sind sicher viel größer) und die Möglichkeit, dass die Messfehler in Wirklichkeit statistisch sind und sich kompensieren könnten. Zurück zum Start! Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 17

18 Statistische Fehler Wenn die Fehler statistisch verteilt und unabhängig voneinander sind, verändert sich f (x,y,...) = f x + f y +... x y zu f f (x,y,...) = 2 x 2 + x f y 2 y Die einzelnen Beiträge werden quadratisch addiert. Schritt eins: Berechnung von s 1... s 5 s = s stop s start bzw. f (x,y) = x y s 1 = 1 2 (1 mm) 2 + ( 1) 2 (2 mm) 2 = 5 mm 2,2 mm Da die Formel offensichtlich nicht von den Werten von s abhängt, ist der Fehler bei allen s 1... s 5 gleich! Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 18

19 Schritt 2: Berechnung von t 1... t 5 t (s) = 2 s g = ( 2 s g ) 1 2 t = 1 ( 2 s 1 s 2 g ) 2 2 g t = 1 ( 2 s 1 g 2 g ) 2 2 s g 2 Statistische Fehlerfortpflanzung... das gibt das gleiche wie oben, sieht so recht doof aus, aber man kann es wieder als relative Fehler schreiben: t = ( 1 s t 2 s )2 + ( 1 g 2 g )2 t 2 t 2 = ( 1 2,2 mm 2 0,01 78 mm )2 + ( 1 2 9,81 )2 = 0,014 = 1,4% (2,4% wenn man mit den alten Werten für g rechnet, vgl. mit 3,1% ) t 2 = 0,120 s ± 0,002 s Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 19

20 Zusammenfassung 1 Maximalwertabschätzung Bei systematischen Fehlern, deren Richtung nicht bekannt ist Bei statistischen Fehlern nur zur Abschätzung nach oben Für einfache Grundrechenarten anhand von B.7 und B.8 Addition/Subtraktion: Addition der absoluten Fehler Multiplikation/Divison: Addition der relativen Fehler z.b. Mittelwert ist eine Mischung aus Addition und Divison! Fehlerfortpflanzung bei statistischen Fehlern Bei statistischen Fehlern, die nicht voneinander abhängen Für einfache Grundrechenarten wie vor B.11 Addition/Subtraktion: Quadratische Addition der absoluten Fehler Multiplikation/Divison: Quadratische Addition der relativen Fehler Beide Rechenverfahren über die partiellen Ableitungen gehen immer, für die Grundrechenarten gibt es nur schon vorgerechnete Abkürzungen Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 20

21 Statistik Wenn die einzelnen Messwerte so genau sind, Warum streuen die Messungen so? Wie breit ist diese Streuung? Wie genau kann man den Mittelwert berechnen? Es wurden 10 Messwerte zur Reaktionszeit aufgenommen 0,12 s 0,10 s 0,14 s 0,11 s 0,12 s 0,11 s 0,09 s 0,11 s 0,12 s 0,12 s Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 21

22 Streuung Schritt 1: Mittelwert berechnen! t r = 1 n n i=1 t i = t 1+t t = 0,114 s Wie genau ist der Mittelwert? So genau wie die Einzelmessungen? Genauer? Warum streut es dann so? Wie breit streut es denn? Standardabweichung! σ = 1 n 1 i=1 n (t i t) 2 t 1 = 0,12 s t 1 t = +0,006 s t 2 = 0,10 s t 2 t = 0,014 s t 3 = 0,12 s t 3 t = +0,006 s σ t = (0,006 s) 2 +(0,014 s) 2 + +(0,006 s) 2 9 = 0,013 s Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 22

23 Auswertung Was heißt das? Das heißt, dass bei ca. 2 alle Messungen die Reaktionszeit im Bereich von 3 0,114 ± 0,013 s liegt. Die Streuung ist ca. ±10%!!! Die Reaktionszeit eines Menschen streut stark von Messung zu Messung und / oder es wurden weitere Fehlerquellen vergessen Wie genau ist der Mittelwert bekannt? Fehler des Mittelwerts δt = σt n = 0, = 0,004 s Die gemessene Reaktionszeit beträgt t r = 0,114 ± 0,004 s mit einer Streuung von σ t = 0,013 s Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 23

24 Auswertung 2 Was wird durch mehr Messungen besser? Mehr Messungen verbessern die Genauigkeit von t, d.h. man nähert sich der wahren mittleren Reaktionszeit immer besser an. Mehr Messungen verbessern die Genauogkeit von σ t, d.h. die Breite der Verteilung wird immer besser bekannt. Die Breite der Verteilung selbst bleibt dabei konstant! Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 24

25 statistische und systematische Fehler Ch. Wendel: Seminar - Physikalische Übungen für Pharmazeuten page 25