KLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK I (LAK) Wintersemester 12/13

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1 Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin KLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK I (LAK) Wintersemester 12/13 Donnerstag, , 10:00 Uhr Name: Matrikelnummer: Ergebnis (mit Matrikelnummer) im Internet gewünscht: ja/nein Oder: Ergebnis mit Codewort statt Matrikelnummer? ja/nein (Falls ja, bitte Codewort angeben) Geburtsdatum: Unterschrift (erforderlich): Alle Lösungen auf diese Vordrucke! Zusatzblätter werden nach Bedarf verteilt. Die Klausur darf nicht mit Bleistift geschrieben werden! Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: - Größen wie z.b. π, e, 2, etc. dürfen in den Lösungen stehenbleiben. Vereinfachen Sie die Ergebnisse soweit wie möglich. 1

2 Aufgabe 0: Einfaches Wissen Hier gibt es einen halben Minuspunkt für jede nicht oder falsch beantwortete Frage! 1. Welche der folgenden Größen sind Vektoren aus R 3? (Unterstreichen reicht): Energie, Impuls, Drehimpuls, Potenzial 2. Bringen Sie auf einen Bruchstrich: 1 1+x x = 3. Ergänzen Sie die binomische Formel: (a+b) 2 = 4. Ergänzen Sie: Die Beschleunigung beschreibt die Änderung der... Maximal 2 Minuspunkte. 2

3 Aufgabe 1: Größen und Bewegungen (7 Punkte) (Die Größen sind absichtlich dimensionslos gehalten, d.h. die Einheitsgrößen F 0 und a wurden auf 1 gesetzt und spielen für die Rechnungen keine Rolle.) a.) Welche der folgenden Kräfte sind konservativ? (Unterstreichen der kons. Kräfte reicht) (1 Punkt) Federkraft, Coulombkraft, Reibungskraft, Schwerkraft b.) Geben Sie für eine der konservativen Kräfe aus a.) die mathematische Form sowie das Potenzial an: (1 Punkt) F = V = c.) Eine Masse m soll im Kraftfeld F = (x 2,xz,x+y +z) auf direktem Weg vom Punkt (1,2,0) zum Punkt (1,3,1) befördert werden. Welche Arbeit wird dabei verrichtet? (2 Punkte) d.) Jemand möchte nun die Masse aus c.) auf einem anderen Weg vom Start- zum Endpunkt befördern. Erwarten Sie, dass sich die zu verrichtende Arbeit im Vergleich zu c.) ändert (mit Begründung!)? (1 Punkt) e.) Berechnen Sie die Masse M einer Halbkugel vom Radius R in der oberen Halbebene z > 0 (Kugelmittelpunkt im Koordinatenursprung), wenn die Massendichte ρ(r,ϑ,ϕ) = ρ 0 cosϑ beträgt. (2 Punkte) 3

4 Aufgabe 2: Kepler-Problem (7 Punkte) Die Skizzen dürfen in dieser Aufgabe handschriftlich sein es wird hier nicht auf Schönheit der Kurven geachtet. Geachtet wird jedoch auf Achsenbeschriftungen, Erklärung aller selbst eingeführten Variablen, und klare Beantwortung der gestellten Fragen. Im Kepler-Problem gilt für die Bahnkurve eines Planeten oder Meteoriten im Gravitationspotenzial der Sonne k r(ϕ) = 1+ǫcosϕ mit den Konstanten k und ǫ. a.) Welche 4 Bahnkurven sind prinzipiell möglich (bitte nennen)? (1 Punkt) b.) Wie lautet die typische Bahnkurve eines Planeten? Zeichnen Sie diese in ein kartesisches Koordinatensystem. An welcher Position befindet sich die Sonne (in Worten)? Markieren Sie diesen Punkt in Ihrer Skizze. Zeichnen Sie r und ϕ für eine beliebige Position des Planeten ein. (1 Punkt) c.) In welche Richtung zeigen: (i) der Vektor v der Bahngeschwindigkeit, (ii) der Bahndrehimpuls L und (iii) der Lenz sche Vektor A des Planeten? (Sie können dies in Worten beschreiben oder (deutlich!) in die Skizze einzeichnen. (1.5 Punkte) d.) Wie lautet der Flächensatz (von Kepler)? Erklären Sie ihn (verständlich) anhand einer neuen Skizze. (1.5 Punkte) e.) Welche 3 Größen (nicht Masse!) sind bei der Bewegung des Planeten erhalten? (Vektoren zählen hier als eine einzige Größe.) (1 Punkt) f.) Berechnen Sie aus der oben angegebenen Formel den Wert für r im sonnennächsten Punkt ( Perihel ) und im sonnenfernsten Punkt ( Aphel ) des Planeten als Funktion von k und ǫ. (Die Rechnung muss erkennbar sein und in Einklang mit Ihrer Skizze sein.) (1 Punkt) 4

5 Aufgabe 3: Gekoppelte Schwingungen (8 Punkte + 1) Zwei Massen m 1 = 2m, m 2 = 4m seien mit einer Feder k 1 = 3k miteinander, jedoch nicht mit den Wänden verbunden (z. B. im schwerefreien Raum oder reibungsfrei auf der Tischplatte). Die Ausrichtung der Feder sei entlang der x-richtung. a.) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf (wahlweise nach Newton oder nach Lagrange). Beide Massen sollen sich nur in x-richtung bewegen können. (2 Punkte) b.) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen dieses gekoppelten Schwingungsproblems. (2 Punkte) c.) Berechnen Sie die Verhältnisse der Amplituden für alle Eigenfrequenzen. (1 Punkt) d.) Beschreiben Sie anschaulich und verständlich das Schwingungsverhalten der beiden Massen während jeder der berechneten Eigenschwingungen: Schwingen die Massen miteinander/gegeneinander? Was lässt sich sonst aussagen? (Eine Skizze kann hilfreich sein.) (2 Punkte) e.) Wie sehen die Bewegungsgleichungen aus, wenn jetzt zusätzlich auf jede der beiden Massen die gleiche konstante Kraft F = F 0 e x wirken soll? [Lösung ist hier nicht verlangt!] (1 Punkt) (1 Zusatzpunkt, falls Sie abgesehen von kleineren Flüchtigkeitsfehlern alles von a.) - e.) richtig haben.) 5

6 Aufgabe 4: Lagrange-Formalismus (7 Punkte + 1) Ein Massenpunkt m rutscht reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer Halbkugelschale von Radius R. a.) Geben Sie die Zahl der unabhängigen Koordinaten an und stellen Sie die Lagrangefunktion in passenden Koordinaten auf. Erstellen Sie eine Skizze aus der alle Längen, Achsen und selbst eingeführten Symbole eindeutig hervorgehen. Markieren Sie Ihren gewählten Potenzialnullpunkt! (2 Punkte) b.) Finden Sie eventuelle zyklische Koordinaten sowie ihre zugehörigen Erhaltungsgröße(n) und die zugehörige(n) Symmetrieeigenschaft(en). (2 Punkte) Hinweis: In kartesischen Koordinaten ist diese Frage nicht lösbar! c.) Finden Sie die Bewegungsgleichung(en) dieses Problems. (3 Punkte) [Ersatz: Sollten Sie die Lagrangefunktion in a.) nicht gefunden haben, so finden Sie ersatzweise die zwei Bewegungsgleichungen für L(x,α) = m 2 ẋ2 sin 2 α + x α 2 cos(α) (ebenfalls 3 Punkte!). Diese Funktion hat aber nichts mit dem tatsächlich gestellten Problem zu tun! ] (1 Zusatzpunkt, falls Sie ohne den Ersatz richtig rechnen.) 6

7 FORMELSAMMLUNG (darf abgerissen werden) Zylinderkoordinaten: x = ρcosϕ, y = ρsinϕ z = z e ρ = (cosϕ,sinϕ,0), e ϕ = ( sinϕ,cosϕ,0), e z = (0,0,1). v 2 = ρ 2 +ρ 2 ϕ 2 +ż 2 Kugelkoordinaten: x = rsinϑcosϕ, y = rsinϑsinϕ z = rcosϑ e r = (sinϑcosϕ,sinϑsinϕ,cosϑ), e ϕ = ( sinϕ,cosϕ,0), e ϑ = (cosϑcosϕ,cosϑsinϕ, sinϑ). v 2 = ṙ 2 +r 2 ϑ2 +r 2 ϕ 2 sin 2 ϑ Kreisewegung: v rot = ω r, ei = ω e i. Reibungskräfte: Haftreibung FH,max = µ H F F F, Gleitreibung: F G = µ G F v v, Viskose Reibung: Stokes sche Reibung: FR Newton sche Reibung: FR = f v v = f v v v. Eulersche Formeln: exp[±iλt] = cos[λt] ± i sin[λt] ω = 2πν, ν = 1/T, Oszillator: ω 2 0 = k/m, Pendel: ω2 0 = g/l Komplexe Zahlen: χ = χ exp[iϕ], χ = χχ, Reχ = 1 2 (χ+χ ), Imχ = 1 Imχ (χ χ ), tanϕ = 2 Reχ r2 r Arbeit: W 21 = F d r. Potenzial: V( r) = F d r r 1 r 0 V = x F x dx+f(y,z), V = y F y dy +f(x,z), V = z F z dz +f(x,y). 7

8 F = d dt p, N = s F, L m( r r) = r p, N = d dt L Beschleunigte Koordinatensysteme: m d2 r dt 2 = F 2m ω v I,I m ω ( ω r) = F + F Coriolis + F Zentrifugal. I,I, Analytische Mechanik: p i = L q i, q i = H p i, ṗ i = H q i Hilfen zum Trägheitstensor: I xx = i m i (y 2 i +z2 i ), I xy = i m i x i y i (Andere Elemente + Tensor bei kont. Massenvert. lassen sich daraus erschliessen.) T rot = 1 3 Ω α Ω β Î α,β, L = ÎΩ. 2 α,β=1 8