Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 6

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1 Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt November 2012 Aufgabe 17 (4 Punkte): Sei X B(n, p) eine binomial verteilte Zufallsvariable, die ein Zufallseperiment mit n unabhängigen Wiederholungen und Trefferwahrscheinlichkeit p beschreibt. Sei weiter Z die standardisierte Zufallsvariable zu X. Plotten Sie für A n = 10 und p = 0.5 B n = 10 und p = 0.1 C n = 1000 und p = 0.5 D n = 1000 und p = 0.1 die Verteilungsfunktion von Z im Bereich ( 4, 4). Zeichnen Sie noch in die vier Diagramme die Kurve der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ein. Beurteilen Sie anhand der Graphiken die Approimationsgüte des Zentralen Grenzwertsatzes und geben Sie eine Rangfolge an. Hinweis: Die Verteilungsfunktion F () = P(Z ) von Z ist eine Stufenfunktion. Bestimmen Sie zunächst die Position ihrer Unstetigkeitsstellen und dann die Höhe der Stufen. Den Plot einer Stufenfunktion erhält man mit plot und der Option type= s. Die Kurve der Standardnormalverteilung kann mit der Funktion points den schon erstellten Graphiken beigefügt werden. Lösung: A > n <- 10 > p <- 0.5

2 Die Verteilungsfunktion der standardisierten Zufallsvariable Z von X B(n, p) lautet ( ) X np F () = P(Z ) = P. np(1 p) Für k = k np, k = 0,..., n gilt np(1 p) F ( k ) = P ( X np np(1 p) k np np(1 p) ) = P(X k). Die Verteilungsfunktion für Z nimmt daher bei k = k np, k IR np(1 p) die gleichen Werte an wie die Verteilungsfunktion von X bei k. Deshalb liegen die Sprungstellen von F bei k, k = 0,..., n und die Sprunghöhen sind die gleichen wie die der zugehörigen Binomialverteilung. > <- (0:n-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) > y <- pbinom(0:n, size=n, prob=p) > plot(=,y=y, type="s", lim=c(-4,4), ylim=c(0,1), col="red") > points(=seq(-4,4,1/1000),y=pnorm(seq(-4,4,1/1000)), + type="l", col="blue") y

3 B > n <- 10 > p <- 0.1 > <- (0:n-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) > [1] [7] Da der kleinste Wert von größer als 4 ist, muss um 4 und y um 0 ergänzt werden > <- c(-4,) > y <- pbinom(0:n, size=n, prob=p) > y <- c(0,y) > plot(=,y=y, type="s", lim=c(-4,4), ylim=c(0,1), col="red") > points(=seq(-4,4,1/1000),y=pnorm(seq(-4,4,1/1000)), type="l", col="blue") y C > n < > p <- 0.5 > <- (0:n-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) > y <- pbinom(0:n, size=n, prob=p)

4 > plot(=,y=y, type="s", lim=c(-4,4), ylim=c(0,1), col="red") > points(=seq(-4,4,1/1000),y=pnorm(seq(-4,4,1/1000)), type="l", col="blue") y D > n < > p <- 0.1 > <- (0:n-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) > y <- pbinom(0:n, size=n, prob=p) > plot(=,y=y, type="s", lim=c(-4,4), ylim=c(0,1), col="red") > points(=seq(-4,4,1/1000),y=pnorm(seq(-4,4,1/1000)), type="l", col="blue")

5 y Offensichtlich lautet die Reihenfolge bezüglich der Approimationsgüte ( schlecht nach gut ): Diagramm 2, Diagramm 1, Diagramm 4 und Diagramm 3. Aufgabe 18 (4 Punkte): Seien X i, i IN unabhängige auf (0, 1) gleichverteilte Zufallsvariablen. Seien Z n die standardisierten Zufallsvariablen von n i=1 X i. Erzeugen Sie in R für A n = 1 B n = 2 C n = 5 jeweils N = Zufallszahlen, die wie Z n verteilt sind. Speichern Sie die Zufallszahlen in Vektoren Z1, Z2 und Z5. Plotten Sie die empirischen Verteilungsfunktionen für Z1, Z2 und Z5 in jeweils einem Diagramm und ergänzen Sie die Diagramme mit Kurven der Standardnormalverteilung. Hinweis: Die empirische Verteilungsfunktion F S für einen Vektor (Stichprobe) S der Länge n ist folgendermaßen definiert: F S () = {t S t }. n

6 Zeigen Sie zunächst: Sind alle Werte in S verschieden, dann ist F S () eine Stufenfunktion mit einheitlicher Stufenhöhe 1/n und die Sprungstellen liegen gerade bei den Werten von S. Lösung: Für die Berechnung der empirischen Verteilungsfunktion spielt die Reihenfolge der Werte in S keine Rolle. Wir nehmen daher an, dass S = ( 1,..., N ) aufsteigend geordnet ist. F S hat dann bei jedem k, k = 1,..., N eine Sprungstelle der Höhe 1/N und ist zwischen den Sprungstellen konstant. Da die Vektoren Z1, Z2 und Z5 Zufallszahlen einer stetigen Verteilung sind, kann angenommen werden, dass sie nur verschiedene Einträge enthalten. A Da Erwartungswert und Varianz einer auf (0, 1) gleichverteilten Zufallsvariable 1/2 bzw, 1/12 sind, erhält man durch > set.seed(2888) > N < > Z1 <- (runif(n)-1/2)/sqrt(1/12) den gewünschten Vektor. Die empirische Verteilungsfunktion hat an den Sprungstellen die Koordinaten > <- sort(z1) > y <- seq(1/n,1,1/n) > plot(=, y=y,type="s", col="red") > points(=, y=pnorm(), type="l", col="blue")

7 y B Für n = 2 hat die Summe von zwei unabhängigen und auf (0, 1) gleichverteilten Zufallsvariablen den Erwartungswert 1 und die Varianz 1/6. > S <- runif(n)+runif(n) > Z2 <- (S-1)/sqrt(1/6) > <- sort(z2) > y <- seq(1/n,1,1/n) > plot(=, y=y,type="s", col="red") > points(=, y=pnorm(), type="l", col="blue")

8 y C > S <- runif(n)+runif(n)+runif(n)+runif(n)+runif(n) > Z5 <- (S-5/2)/sqrt(5/12) > <- sort(z5) > y <- seq(1/n,1,1/n) > plot(=, y=y,type="s", col="red") > points(=, y=pnorm(), type="l", col="blue")

9 y Aufgabe 19 (5 Punkte): A Seien X 1 und X 2 unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert λ 1 bzw. λ 2. Zeigen Sie, dass Y = X 1 + X 2 poissonverteilt mit Erwartungswert λ 1 + λ 2 ist. Hinweis: Für beliebiges k IN 0 gilt P(Y = k) = P(X 1 = 0 X 2 = k X 1 = 1 X 2 = k 1 X 1 = k X 2 = 0) = P(X 1 = 0 X 2 = k) + P(X 1 = 0 X 2 = k) + + P(X 1 = k X 2 = 0) = p(λ 1, 0)p(λ 2, k) + p(λ 1, 1)p(λ 2, k 1) + + p(λ 1, k)p(λ 2, 0) Das letzte Gleichheitszeichen folgt aus der Unabhängigkeit von X 1 und X 2. Die Symbole und bezeichne das logische und bzw. oder und λ λk p(λ, k) = e sind die Elementarwahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung. Zur Lösung der Aufgabe werden Sie die allgemeine Binomische k! Formel n ( ) n (a + b) n = a i b n i i benötigen. i=0

10 B C Begründen Sie mit Teilaufgabe A und dem Zentralen Grenzwertsatz, dass die Possonverteilung mit großem Erwartungswert λ durch eine Normalverteilung angenähert werden darf. Die jährliche Inzidenzrate (=Anteil der Neuerkrankungen) für Lungenkrebs liegt bei 0.05 %. Sei Y die Zufallsvariable, die die Anzahl der Neuerkrankungen in einer Population von n = Individuen während eines bestimmten Jahres angibt. Welche Verteilungsannahme ist für Y sinnvoll? Begründen Sie Ihre Wahl. Welchen Erwartungswert und Varianz hat Y unter dieser Annahme? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Y um mehr als 0.1% von ihrem Erwartungswert abweicht. Rechnen Sie in R einmal eakt und vergleichen Sie dann die eakte Lösung mit der Näherungslösung des Zentralen Grenzwertsatzes. Lösung: A (2 P) Mit dem Hinweis folgt: P(Y = k) = = = k p(λ 1, i)p(λ 2, k i) = i=0 k i=0 e λ 1 λi 1 = e (λ 1+λ 2 ) 1 k! λ k i i! e λ 2 2 (k i)! = k i=0 k! i!(k i)! λi 1λ k 1 2 = = e (λ 1+λ 2 ) (λ 1 + λ 2 ) k k! Das letzte Gleichheitszeichen folgt aus der Binomischen Formel. Damit ist P(Y = k) = p(λ 1 +λ 2, k) nachgewiesen. Da das für beliebiges k IN 0 gilt, ist Y poissonverteilt mit Erwartungswert λ 1 + λ 2. B (1 P) Eine poissonverteilte Zufallsvariable Y mit großem Erwartungswert λ kann wegen A als Summe von n unabhängigen poissonverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert λ/n geschrieben werden: n Y = i=1 mit E(X i ) = λ/n, i = 1,..., n. Wählt man n = [λ] (größte ganze Zahl λ), dann ist E(X i ) 1 und n ist groß, wenn λ groß ist. Aus dem Zentralen Grenzwertsatz folgt dann, dass Y näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz λ ist. X i

11 C (2 P) Die Wahrscheinlichkeit, für jedes der Individuen in einem bestimmten Jahr an Lungenkrebs zu erkranken, ist klein (p=0.0005). Da anderseits die Anzahl der unabhängigen Wiederholungen mit n = groß ist, kann Y als poissonverteilt mit Erwartungswert λ = pn = angenommen werden. 0.1% Abweichung von bedeutet Y < oder Y > 40040, d.h. mit eakter Rechnung erhält man > ppois(39959,40000) + (1-ppois(40040,40000)) [1] und mit der Approimation des Zentralen Grenzwertsatzes > pnorm(( )/sqrt(40000)) + (1-pnorm(( )/sqrt(40000))) [1] Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den direkt an Ihre(n) Tutor(in): franzime@zedat.fu-berlin.de (Franziska Metge). s.richter.fu@gm.de (Stina Richter) r3p10id0@zedat.fu-berlin.de (Ivo Parchero)