11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient

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1 11.4 Korrelation Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 Korrelationskoeffizient der Zufallsgrößen X 1 und X 2. Ist cov (X 1,X 2 ) = 0 dann heißen die beiden Zufallsgrößen unkorreliert. Bem.: X 1 und X 2 unabhängig cov (X 1,X 2 ) = 0. Die Umkehrung der Aussage gilt im allgemeinen nicht. 449 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Bsp. 75 (2x2 Tafel) Y X 0(Sportler) 1(Nichtsportler) Summe 0(w) p 11 p 12 p 1. 1(m) p 21 p 22 p 2. Summe p.1 p.2 1 X Bi(1,p.2 ) Y Bi(1,p 2. ) E(X) = p.2 var(x) = p.2 (1 p.2 ) = p.2 p.1 E(Y ) = p 2. var(y ) = p 2. (1 p 2. ) = p 2. p 1. cov(x,y ) = E(X Y ) E(X)E(Y ) = p 22 p.2 p W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Korrelationskoeffizient: ρ = p 22 p.2 p 2. p.2 p 1. p 2. p.1 = p 11p 22 p 12 p 21 p.2 p 2. p 1. p.1 p 22 p 2. p.2 = p 22 (p 21 + p 22 )(p 12 + p 22 ) = p 22 (p 21 p 12 + p 22 p 12 + p 21 p 22 + p 2 22) = p 22 (1 p 12 p 21 p 22 ) p 21 p 12 = p 22 p 11 p 21 p W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Satz 33 Es seien X 1 und X 2 zwei Zufallsgrößen, für die σ X1,σ X2 > 0 ist. Dann gilt für den Korrelationskoeffizienten dieser beiden zufälligen Variablen: 1 (X 1,X 2 ) 1. Beweis: Wir definieren eine Funktion A wie folgt: A(t,u) := E[t (X 1 EX 1 ) + u (X 2 EX 2 )] W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Nun gilt für alle t,u R: A(t,u) = E(t 2 (X 1 EX 1 ) 2 + u 2 (X 2 EX 2 ) 2 ) +2tuE(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 ) = t 2 E(X 1 EX 1 ) 2 + u 2 E(X 2 EX 2 ) 2 +2tuE((X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )) = t 2 VarX t u cov (X 1,X 2 ) + u 2 VarX 2 0 Wir setzen t := σ X2, u := σ X1 und dividieren durch 453 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 σ X1 σ X2 : A(σ X2,σ X1 ) σ X1 σ X2 = σ2 X 2 σ 2 X σ X1 σ X2 cov (X 1,X 2 ) + σ 2 X 1 σ 2 X 2 σ X1 σ X2 = σ X1 σ X2 + 2 cov (X 1,X 2 ) + σ X1 σ X2 = 2 σ X1 σ X2 + 2 cov (X 1,X 2 ) 0 Also: σ X1 σ X2 + cov (X 1,X 2 ) 0. Andererseits gilt aber auch mit t := σ X2 und u := σ X1 sowie derselben Herleitung wie oben: A( σ X2,σ X1 ) σ X1 σ X2 = σ2 X 2 σ 2 X 1 2 σ X1 σ X2 cov (X 1,X 2 )+σ 2 X 1 σ 2 X 2 σ X1 σ X2 = 2 σ X1 σ X2 2 cov (X 1,X 2 ) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 Also: σ X1 σ X2 cov (X 1,X 2 ) 0. Beides zusammen ergibt σ X1 σ X2 cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2. Wir stellen etwas um und erhalten: 1 cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 = (X 1,X 2 ) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 Bem. 16 Die Ungleichung kann auch direkt aus der Cauchy-Schwarz schen Ungleichung hergeleitet werden. Satz 34 Es seien X 1 und X 2 zwei Zufallsgrößen, für die σ X1,σ X2 > 0 ist. Dann gilt (X 1,X 2 ) = 1 genau dann, wenn es Zahlen a,b R (a 0) gibt, so daß gilt: P(X 1 = a X 2 + b) = 1. Beweis: ( =) Es seien die Zahlen a,b R so gewählt, daß gilt P(X 1 = a X 2 + b) = 1. Für Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 gilt dann: EX 1 = E(a X 2 + b) = a EX 2 + b, σx 2 1 = σa X 2 2 +b = σa X 2 2 = a 2 σx 2 2. Damit gilt für den Korrelationskoeffizienten der 457 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Zufallsgrößen X 1 und X 2 : (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 = E((X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 )) a σ X2 σ X2 = E([(a X 2+b) (a EX 2 +b)] (X 2 EX 2 )) a σ 2 X 2 = a E(X 2 EX 2 ) 2 = a σ2 X 2 a σx 2 a σ 2 2 X 2 = Das bedeutet: (X 1,X 2 ) = 1. 1, falls a > 0 1, falls a < W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 (= ) Es gelte (X 1,X 2 ) = 1. Nun gilt: (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 = E((X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 )) σ X1 σ X2 = E Wir definieren zwei Zufallsgrößen: ( ) X 1 EX 1 σ X1 X2 EX 2 σ X2 X 1 := X 1 EX 1 σ X1, X 2 := X 2 EX 2 σ X2. Für die Varianz dieser Zufallsgrößen X i (i = 1, 2) gilt 459 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 dann: σ 2 X i = E (X i EX i ) 2 = E (Xi ) 2 (EXi ) 2 ( ) 2 X = E i EX i σ Xi (E ( )) 2 X i EX i σ Xi = 1 σ 2 X i (E(X i EX i ) 2 (E(X i EX i )) 2) = 1 σ 2 X i σ 2 X i EX i = 1 σ 2 X i σ 2 X i = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Wir ermitteln jetzt die Erwartungswerte (i = 1, 2): ( ) EXi X = E i EX i σ Xi = 1 σ Xi (EX i E(EX i )) = 1 σ Xi (EX i EX i ) = 0 Daraus folgt: (X 1,X 2 ) = E (X 1 X 2). Wir unterscheiden zwei Fälle: (X 1,X 2 ) = 1: Wir untersuchen die Varianz der 461 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 Zufallsgröße X 1 X 2: σ 2 X 1 X 2 = E ((X1 X2) E (X1 X2)) 2 = E ((X1 X2) EX1 + EX2) 2 = E (X1 X2) 2 = E (X1) 2 2 E (X1 X2) + E (X2) 2 Für i = 1, 2 gilt nun: E (X i ) 2 = E (X i EX i ) 2 = σ 2 X i = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Damit erhalten wir dann: σ 2 X 1 X 2 = E (X 1) 2 2 E (X 1 X 2) + E (X 2) 2 = 2 2 (X 1,X 2 ) = 0 Nun gilt aber σx 2 = 0 genau dann, wenn es ein 1 X 2 c R gibt, so daß P (X1 X2 = c) = 1 ist. Das bedeutet aber, daß gilt: E (X1 X2) = c. Wegen EX1 = EX 2 = 0 ist c = 0, woraus folgt P (X1 = X2) = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Dann gilt: 1 = P (X 1 = X 2) = P = P = P ( ) X 1 EX 1 σ X1 = X 2 EX 2 σ X2 ( ) X 1 = σ X 1 X 2 σ X1 EX 2 σ X2 + EX 1 ( ) X 1 = σ X 1 σ X2 X 2 σ X 1 σ X2 EX 2 + EX 1 Wir definieren a := σ X 1 σ X2 > 0 und b := σ X 1 σ X2 EX 2 + EX 1, und die Aussage ist für diesen Fall gezeigt. (X 1,X 2 ) = 1: Hier untersucht man die Varianz der Zufallsgröße X 1 + X 2 und zeigt, daß sie ebenfalls gleich Null ist. Danach verläuft der Beweis völlig 464 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 analog zum Fall (X 1,X 2 ) = 1. Bem. 17 Eine Zufallsgröße, deren Erwartungswert gleich Null und deren Varianz gleich Eins sind, heißt standardisierte Zufallsgröße. 465 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 Seien X,Y (0, 1). X Y = X = ρx + 1 ρ 2 Y Offenbar varx = vary = 1 cov(x, Y ) = ρ. 466 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 Seien X,Y N(0, 1), unabhängig, d.h. die gemeinsame Dichte ist f(x,y) = φ(x) φ(y) = 1 1 2π e 2 (x2 +y 2 ) X Y = X = ρx + 1 ρ 2 Y Wir suchen die gemeinsame Verteilung von (X,Y ). Transformation: g 1 (x,y) = x g 2 (x,y) = ρx + 1 ρ 2 y 467 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 Inverse Transformation: ψ 1 (x,y ) = x ψ 2 (x,y ) = y ρx 1 ρ 2 Jacobi-Determinate detj = det 1 0 ρ 1 1 ρ 2 1 ρ 2 = 1 1 ρ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 h(x,y ) = f(ψ 1 (x,y ),ψ 2 (x,y )) det(j) = f(x, y ρx ) 1 1 ρ 2 1 ρ 2 = = 1 2π 1 ρ 2e 1 2π 1 ρ 2e 1 2 (x 2 +( y ρx 1 ρ 2 )2 ) 1 2(1 ρ 2 ) (x 2 2ρx y +y 2 ) da der Exponent x 2 + ( y ρx 1 ρ 2 )2 = 1 1 ρ 2 2 ( (1 ρ 2 )x 2 + (y ρx ) 2) h(x,y ) ist Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung. 469 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 Frohe Weihnachten nächste Vorlesung: Mo.,