Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

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1 Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt. Außerdem definiert man: M N M N M N ist gleichbedeutend mit N M ist gleichbedeutend mit M N und M N ist gleichbedeutend mit N M Das Symbol steht für die leere Menge, die überhaupt keine Objekte enthält. Die Schreibweise M gibt die Anzahl (oder Mächtigkeit ) der Elemente einer Mengen an. (z.b. {2, 3, 4} = 3, N = ) Mit Hilfe von Mengenoperationen können aus gegebenen Mengen neue gebildet werden.

2 Vereinigung A B = {x x A oder x B} Beispiel: {1, 3} {2, 4} = {1, 2, 3, 4} Durchschnitt A B = {x x A und x B} Beispiel: {1, 3, 4, 5} {3, 4, 7} = {3, 4} Differenz A \ B = {x x A und x / B} Beispiel: {1, 3, 4, 5} \ {3, 4} = {1, 5} A A A B B B

3 Das kartesisches Produkt zweier Mengen A, B ist die Menge aller Paare A B = {(a, b) a A, b B} Beispiel: {1, 3} {4, 5, 6} = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} wichtig: Es gilt {4, 5} = {5, 4}, aber (4, 5) (5, 4). Man definiert A 2 = A A, A 3 = A A A und allgemein A n = } A A {{... A }. n-mal Beispiel: R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) x i R für 1 i 3}

4 Die Potenzmenge Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A, also P(A) = {B B A}. Beispiel: Potenzmenge von A = {1, 2, 3} P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Für jede Menge A gilt, A P(A). Die Beispiele zeigt, dass Mengen selbst wieder Elemente von Mengen sein können. wichtig: Für Mengen A, B ist A B nicht gleichbedeutend mit A B! Die sprachliche Formulierung A liegt in B ist ungenau und kann beides bedeuten. Für die Menge A = {1, 2, 3} gilt beispielsweise {1} P(A), aber nicht {1} P(A), denn 1 ist kein Element von P(A).

5 Abzählverfahren In vielen Situationen ist es hilfreich, einfache Formeln für die Anzahl der Elemente einer Menge zur Verfügung zu haben. Dies ist besonders für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten hilfreich. (1) Anzahl der Elemente in kartesischen Produkten Sind A und B endliche Mengen, dann gilt A B = A B. Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, erst mit einem 6-er-Würfel eine 5 und anschließend mit einem 20-er-Würfel eines 7 zu würfeln? Jede Wurfkombination entspricht einem Element der Menge A B mit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und B = {1, 2,..., 20}.

6 Es gilt also A B = A B = 6 20 = 120. Unter der Annahme, dass jede einzelne Wurfkombination in A B gleich wahrscheinlich ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Element also Insbesondere liegt die Wahrscheinlichkeit für die Kombination (5, 7) also bei , 83%.

7 (2) Anzahl der Elemente von P(A) für eine Menge A Ist A = n mit n N 0, dann gilt P(A) = 2 n. Begründung: Sei A = {x 1,..., x n } und B A eine Teilmenge. Für jedes einzelne x k gibt es die beiden Möglichkeiten x k B und x k / B. Für die Elemente x 1,..., x n gibt es also insgesamt }{{} n-mal = 2 n verschiedene Möglichkeiten, also 2 n verschiedene Teilmengen von B. (Für einen formalen Beweis verwendet man vollständige Induktion.) Beispiel: A = {1, 2, 3} P(A) = 2 3 = 8

8 Anwendungsbeispiel: Wie wahrscheinlich ist es, dass bei 6 Münzwürfen beim zweiten und dritten Mal ein Wappen geworfen wird, ansonsten nur Zahl? Sei A = {1, 2,..., 6}. Jede Wurfkombination entspricht einer Teilmenge B A, wobei B jeweils angibt, bei welchen Würfen Wappen geworfen wird. Insbesondere bedeutet B =, dass nur Zahlen geworfen werden B = A, dass nur Wappen geworfen werden B = {2, 3}, dass genau beim zweite und dritten Wurf Wappen fällt, ansonsten nur Zahl

9 Unter der Annahme, dass alle 2 6 = 64 Wurfkombinationen gleich wahrscheinlich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kombination B also Insbesondere beträgt die Wahrscheinlichkeit für B = {2, 3} also , 56 %

10 (3) Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge Seien k, n N 0 und A eine n-elementige Menge. Dann gibt es genau ( ) n k-elementige Teilmengen von A. k Beispiele: In M n = {1,..., n} gibt es genau eine null-elementige Teilmenge (nämlich ),eine n-elementige (nämlich M n ) und genau n einelementige Teilmengen (nämlich {k} mit 1 k n). In Übereinstimmung damit gilt ( ) n 0 = 1, ( ) n 1 = n, ( ) n = 1. n

11 Die Menge M 4 hat genau sechs zweielementige Teilmengen, nämlich {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}. Es gilt ( ) 4 2 = 4! 2!2! = = 6. Die Menge M 5 hat genau 10 dreielementige Teilmengen, nämlich {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}. Ein Beweis für die allgemeine Aussage erfolgt durch vollständige Induktion, ( unter Verwendung der Rekursionsformel n ( k) = n 1 ) ( k 1 + n 1 ) k.

12 Anwendungsbeispiel 1: Wie wahrscheinlich ist es, dass man bei sechsmaligem Werfen einer Münze genau dreimal ein Wappen (und dreimal eine Zahl) wirft? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens dreimal Wappen zu werfen? Wie beim letzten Mal entspricht jede Wurfkombination einer Teilmenge B von A = {1,..., 6}, wobei k B bedeutet, dass der k-te Wurf ein Wappen ist (1 k 6). Genau dreimaliges Werfen des Wappens bedeutet also B = 3. Die Anzahl der dreielementigen Teilmengen von A beträgt ( ) 6 6! = = = !3! 3! Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also ( 6 3) = 20 = 31, 25 %. P(A) 64

13 Mindestens dreimaliges Werfen des Wappens bedeutet B {3, 4, 5, 6}. Es gilt ( ) ( ) ( ) ! = = = !4! = 5 6 2! = 15, außerdem ( 6 5) = ( 6 1) = 6 und ( 6 6) = 1. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt hier ( 6 ) ( ) ( ) ( ) P(A) = = , 63 %. = 42 64

14 Anwendungsbeispiel 2: (der Klassiker der Wahrscheinlichkeitsrechnung) Wie groß ist die Chance auf einen Sechser im Lotto? Jede Ziehung der Lottozahlen entspricht der Auswahl einer 6-elementigen Teilmenge aus M 49 = {1,..., 49}. Die Gesamtzahl möglicher Ziehungen beträgt also ( ) 49 6 = 1 6! 49 k=44 k = = Die Chance, eine zufällig gewählte 6-elementige Teilmenge (zum Beispiel {1, 4, 8, 9, 17, 43}) zu treffen, liegt also bei , %.

15 Teil II. Analysis 1. Abbildungen und Funktionen Definition Seien D und Y Mengen. Eine Abbildung f : D Y ist eine Vorschrift, die jedem Element x D ein Element f (x) Y zuordnet. Das Element f (x) ist der Wert der Abbildung an der Stelle x. Die Menge D heißt Definitionsbereich, die Menge Y Wertebereich der Abbildung. Eine Abbildung f : D R mit D R nennt man eine reellwertige Funktion in einer Variablen. Häufig werden Abbildungen in der Form f : D Y, x f (x) angegeben.

16 Definitionsbereiche reeller Funktionen sind häufig Intervalle. Seien a, b R mit a < b. Es gibt offene Intervalle ]a, b[ = {x R a < x < b} abgeschlossene Intervalle [a, b] = {x R a x b} halboffene Intervalle der Form [a, b[ = {x R a x < b} oder ]a, b] = {x R a < x b} Die Zahlen a, b werden Grenzen des Intervalls genannt. Gelegentlich betrachtet man auch unendliche Intervalle, zum Beispiel ], 1[ = {x R x < 1} oder [0, + [ = {x R x 0}

17 Beispiele für Abbildungen und Funktionen R R, x 2x 1 (Gerade) R R, x x 2 (Standardparabel) R \ {0} R, x 1 x (Standardhyperbel) N 0 N, n n! (Fakultätsfunktion) N 0 N 0 N, (n, k) ( n k) (Binomialkoeffizienten) P({1, 2, 3}) N 0, A A (Mächtigkeit)

18 Ist der Definitionsbereich D einer Abbildung f : D Y endlich, dann kann f durch eine Wertetabelle beschrieben werden. Beispiel 1: f : {1,..., 5} R, n 3n 2 x f (x) Beispiel 2: g : P({1, 2, 3}) N 0, A A A {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} g(a)

19 Ist D unendlich, dann können die Werte der Abbildung natürlich nur teilweise angegeben werden. Beispiel 3: f : R R, x x x f (x) Beispiel 4: g : N 0 N, n n! n g(n)

20 Definition Sei f : D Y eine Abbildung. Die Menge Γ(f ) = {(x, y) D Y y = f (x)} wird der Graph der Funktion genannt. Ist f eine reelle Funktion in einer Variablen, dann ist Γ(f ) eine Teilmenge von R 2. Diese kann graphisch in einem Koordinatensystem dargestellt werden.

21 Graph der Funktion x x 1 y x

22 Graph der Standardparabel x x 2 y x

23 Graph der Standardhyperbel x 1/x y x

24 Eine Teilmenge Γ D Y ist genau dann der Graph Γ(f ) einer Abbildung f : D Y, wenn es für jedes x D genau ein y Y mit (x, y) Γ existiert. Ob dies der Fall ist, lässt sich an der graphischen Darstellung der Menge Γ erkennen. Beispiel 1: Γ = {(x, y) R 2 y = x 2 } ist Graph einer Funktion y x Zu jedem x-wert gibt es genau einen zugehörigen y-wert!

25 Beispiel 1: Γ = {(x, y) R 2 y 2 = x} ist kein Graph einer Funktion f : R R y x 1 2 Zu einigen x-werten gibt es zwei zugehörige y-werte!

26 Wichtige Eigenschaften reeller Funktionen Eine Funktion f : D R auf einer Teilmenge D R heißt monoton wachsend, wenn für alle a, b D aus a b jeweils f (a) f (b) folgt streng monoton wachsend, wenn für alle a, b D aus a < b jeweils f (a) < f (b) folgt monoton fallend, wenn für alle a, b D aus a b jeweils f (a) f (b) folgt streng monoton fallend, wenn für alle a, b D aus a < b jeweils f (a) > f (b) folgt

27 streng monoton wachsende Funktion y monoton, aber nicht streng monoton wachsende Funktion y 2 2 x 2 2 x R R, x 1 20 x3 (Funktion konstant auf dem Intervall [ 2, 2])

28 Eine Funktion f : R R heißt gerade, wenn f (x) = f ( x) für alle x R gilt ungerade, wenn f (x) = f ( x) für alle x R gilt periodisch mit Periode p, wenn f (x + p) = f (x) für alle x R gilt

29 ungerade Funktion y gerade Funktion y 2 2 x 2 2 x

30 Sinus- und Kosinusfunktion sind periodische Funktionen mit Periode p = 2π (Kreiszahl π ) y y x x

31 Eine Funktion f : D R auf einer Teilmenge D R heißt nach oben beschränkt, wenn ein c R mit f (x) c für alle x D existiert, nach unten beschränkt, wenn ein c R mit f (x) c für alle x D existiert, beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Beispielsweise sind Sinus- und Kosinusfunktion beschränkt (nach unten durch den Wert 1, nach oben durch den Wert 1).

32 Eine Abbildung f : D R auf einer Teilmenge D R 2 nennt man reellwertige Funktion in zwei Variablen. Hier wird also jedem Paar (x, y) D reeller Zahlen ein Funktionswert zugeordnet. Beispiel: f : R 2 R, (x, y) xy + 1 (x, y) ( 1, 1) ( 1, 0) ( 1, 1) (0, 0) (0, 1) (1, 3) f (x, y)

33 Der Graph Γ(f ) einer zweidimensionalen Funktion f hat die Form Γ(f ) = {(x, y, z) R 3 z = f (x, y)}. Da Γ(f ) R 3 gilt, ist auch die graphische Darstellung solcher Funktionen dreidimensional.