I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE

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1 I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen. 9 ist also nicht definiert, weil der Radikand negativ ist. Mit Hilfe der Rechenregeln für Quadratwurzeln können Wurzelterme vereinfacht werden: (1) a = a () a b = ab a a () = b b Vereinfache die folgenden Terme. L9_01 L9_ a ; 1 ; ; Potenzen können auch mit rationalen Exponenten geschrieben werden. Es gilt für a 0 : Insbesondere gilt für die n-te Wurzel: Berechne und vereinfache: p p q q p q 1 a = a und a = q p n 1 n a. a = a, also z.b. 8 =, da = 8 ist. 4 ; L9_0 6, a ; 6 ; : Vereinfache die Terme unter Anwendung der Potenzgesetze. L9_ ; : ; ; ; ( 7 ) 5. Binomische Formeln: L9_05 (1) ( a + b) = a + ab+ b a b = a ab+ b () ( ) () ( a+ b) ( a b) = a b Forme mit Hilfe der binomischen Formeln um: x + 40xz+ 5z ; t t + ; a + b 8 ba s s 6. Mache den Nenner rational. 1 4 ; 5 ; ; L9_06

2 II. Satzgruppe des Pythagoras 7. Wie lautet der Kathetensatz? L9_07 8. Was besagt der Höhensatz? L9_08 9. Gib den Satz des Pythagoras wieder. L9_ Begründe, dass das Dreieck ABC mit den Längen a = 10cm, b = 8cm und c = 6cm L9_10 rechtwinklig ist. 11. Stelle eine Formel für die Diagonale d eines Quadrates auf, wenn die Seitenlänge a L9_11 gegeben ist. 1. Berechne die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. L9_1

3 III. Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen 1. Der Graph der Funktion f : x x heißt Normalparabel. Beschreibe den Verlauf des L9_1 Graphen der quadratischen Funktion g : x x + x 4 möglichst genau. 14. Beschreibe den Verlauf des Graphen der quadratischen Funktion h : x x 4 L9_14 möglichst genau. 15. Beschreibe den Verlauf des Graphen der quadratischen Funktion j : x ( x + ) L9_15 möglichst genau. 16. Quadratische Funktionen der Form g : x ax + bx + c lassen sich mittels einer L9_16 quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform g : x a( x + d ) + e bringen. Bestimme den Scheitel der Parabel g : x x + x Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f : x x x + 1 mit Hilfe L9_17 der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

4 IV. Quadratische Funktionen in Anwendungen 18. Löse das Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. (I) a+ b + c = (II ) (III ) 9a b + c = 8a 4b + c = 19. Bestimme den Funktionsterm der quadratischen Funktion f, deren Graph durch die Punkte A (1/1), B (/ 0) und C(0/ ) geht. 0. Wie bestimmt man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen? Erkläre an einem eigenen Beispiel. 1. Die Parabel ist die Menge aller Punkte P, die von einer Leitgeraden g und einem Punkt F (Brennpunkt) den gleichen Abstand haben. Zeichne die Ortslinie einer Parabel, wenn der Abstand einer Leitgerade zum Brennpunkt d (g;f) = 1cm beträgt. L9_18 L9_19 L9_0 L9_1

5 V. Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Erkläre an einem eigenen Beispiel, was man unter einem mehrstufigen Zufallsexperiment L9_ versteht. Zeichne ein Baumdiagramm.. Was besagen die erste und die zweite Pfadregel? L9_ 4. Eine Nachahmung eines Zufallsexperiments durch ein anderes Zufallsexperiment nennt L9_4 man Simulation. Wie lässt sich das Ziehen der Lottozahlen 6 aus 49 mit einem Würfel simulieren?

6 VI. Trigonometrie 5. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC, miss die Seitenlängen und erkläre die Definition der Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens von einem Winkel. 6. Berechne alle fehlenden Seitenlängen und Winkel, wenn die folgenden Größen gegeben sind: α = 0,5, γ = 90, c = 7,1cm; a= 6cm, b =,cm, γ = Für Winkel 0 α 90 lassen sich drei wichtige Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus 1 und Tangens aufstellen. Nenne diese und vereinfache anschließend den Term 1. cos α 8. Ordnet man jedem Winkel 0 α 90 eindeutig einen Punkt P(x/ y) auf dem Einheitskreis zu, so heißen die Abbildungen α sinα die Sinusfunktion, α cosα die Kosinusfunktion und α tanα die Tangensfunktion. Zusammenfassend bezeichnet man sie als trigonometrische Funktionen. Zeichne einen Einheitskreis und bestimme näherungsweise die Werte sin 0, cos0 und tan0. L9_5 L9_6 L9_7 L9_8

7 VII. Raumgeometrie 9. Beschreibe mögliche räumliche Lagebeziehungen einer Gerade g und einer Ebene E bzw. zweier Ebenen E und F. 0. Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O eines geraden Prismas mit der Höhe h = 5cm und der Grundfläche G in Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a= 6cm und b = 8cm. 1. Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O eines geraden Zylinders mit der Höhe h = 5cm und der Grundfläche G mit dem Grundkreisradius r = cm.. Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O einer geraden Pyramide mit der Höhe h = 5cm und der quadratischen Grundfläche G mit der Seitenlänge a = 4cm.. Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O eines geraden Kegels mit der Höhe h = 5cm und der Grundfläche G mit dem Grundkreisradius r = cm. L9_9 L9_0 L9_1 L9_ L9_

8 VIII. Strategien 4. Folgende Strategien zum Lösen von Problemen nicht nur mathematischer Art (fächerübergreifender Unterricht, Projekte) musst du eigenständig anwenden können: Systematisches Probieren Darstellung von Sachverhalten in Zeichnungen und Diagrammen Invarianzprinzip Gleichungen Fermi-Strategie (geschicktes Abschätzen) Betrachten geeigneter Ebenen Einzeichnen von Hilfslinien L9_4