12. Flächenmomente. Umwelt-Campus Birkenfeld Technische Mechanik II

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1 Technische Mechanik 1. Flächenmomente Prof. Dr.-ng. T. Preußler Flächenmomente werden in der tatik ur Berechnung von pannungen infolge Biegung, chub und Torsion sowie bei tabilitätsuntersuchungen (Knicken, Beulen) benötigt. Fächenmomente sind rein geometrischen Größen und hängen ausschließlich vom Querschnitt des Profils ab. Flächenmomente ergeben sich, wenn die Flächenelemente eines Querschnitts mit ihrem bstand um Koordinatenursprung multipliiert und die Produkte über der Gesamtfläche aufsummiert werden. Je nachdem, ob der bstand r linear oder quadratisch eingeht unterscheidet man wischen Flächenmomente 1. und. Ordnung. 1 0 r d

2 Technische Mechanik 1.1 tatisches Moment Die statischen Momente (Flächenmoment 1. Ordnung) in der Form = d Prof. Dr.-ng. T. Preußler traten schon bei der Bestimmung von Flächenschwerpunkten auf und besitt die Einheit [m 3, cm 3 bw. mm 3 ]. Der ndex beieht sich dabei auf die chse, um die das statische Moment wirkt. Die chwerpunktskoordinaten ergeben sich damit aus 1 1 s = d = s = d = Für ein Koordinatensstem, dessen chsen mit den chwereachsen der Fläche usammenfallen, gilt = = 0 = 0 = = 0 = 0 s Das statische Moment beüglich chwerpunktskoordinaten ist null. = s d

3 Technische Mechanik 1. Flächenträgheitsmoment Prof. Dr.-ng. T. Preußler Flächenträgheitsmomente (Momente. Ordnung) sind ein Maß für den Widerstand eines Querschnitts gegen Verformung infolge von Momenten. ie werden in den Einheiten [m 4, cm 4 bw. mm 4 ] angegeben. Der Name leitet sich aus den in der Kinetik bekannten Massenträgheitsmomenten ab. Man unterscheidet: a) xiales (äquatoriales) Flächenträgheitsmoment Die axialen Flächenträgheitsmomente ergeben sich aus dem Quadrat des bstandes eines Flächenelements d von der Beugsachse integriert über der Gesamtfläche. = d = d xiale Flächenträgheitsmomente sind immer positiv 3 0 d

4 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler b) Gemischtes (deviatorisches) Flächenträgheitsmoment Das gemischte Flächenträgheitsmoment ist das Produkt der bstände eines Flächenelements d von den Beugsachsen integriert über der Gesamtfläche. = p d Das gemischte Flächenträgheitsmoment kann sowohl positiv als auch negativ sein. Für Querschnitte mit mindestens einer mmetrieachse wird es Null. c) Polares Flächenträgheitsmoment Das polare Flächenträgheitsmoment ist das Quadrat des bstandes eines Flächenelements d vom Koordinatenursprung integriert über der Gesamtfläche. = r d = + ( ) d = + Die umme der axialen Flächenträgheitsmomente ergibt das polare Flächenträgheitsmoment. Es ist ebenfalls immer positiv. 4 0 r d

5 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler 1..1 Berechnung durch ntegration Liegen die Begrenungslinien der Flächen als Funktionen vor, lassen sich die Flächenträgheitsmomente durch Doppelintegration ermitteln. Beispiel: xiale Flächenträgheitsmomente beüglich des chwerpunktes b h 5

6 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Beispiel: Kreis R dr dϕ r d=r dϕ dr lternative Berechnung in Polarkoordinaten 6

7 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Übung: Flächenträgheitsmomente eines Rechtecks beüglich des Randes 0 b h Man erkennt, dass die axialen Flächenträgheitsmomente beüglich der Ränder viermal so groß sind wie die auf den chwerpunkt beogenen Flächenträgheitsmomente und dass das gemischte Flächenträgheitsmoment ungleich Null ist. 7

8 Technische Mechanik 1.3 Zusammengesette Flächen Prof. Dr.-ng. T. Preußler Bisher wurden nur einfache Flächen betrachtet, deren Flächenträgheitsmomente in Tabellen usammen gefasst sind. Für Querschnitte mit unstetigem oder gekrümmten Rand ist die ntegration aufwendig. Diese lässt sich oftmals umgehen, indem kompliierte Querschnitte aus einfachen Flächen usammen gesett werden. 1 1, 1, 1 1 1,,,,, Dau müssen die Flächenträgheitsmomente der Teilflächen auf ein gemeinsames Koordinatensstem beogen werden, was eine Parallelverschiebung und ggf. eine Drehung der Flächenträgheitsmomente erforderlich macht. 8

9 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Flächenmomente bei Parallelverschiebung Geht man von einem Koordinatensstem auf ein dau parallel verschobenes Beugssstem über, müssen die Werte der Flächenträgheitsmomente entsprechend umgerechnet werden. d, chwereachsen, parallel verschobene chsen, chwerpunktsabstand 0 9

10 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Für das axiale Flächenträgheitsmoment (Flächenmoment. Ordnung) gilt = d = = 0 = Damit folgt für das Flächenträgheitsmoment beüglich der chse der at von Hugens-teiner = + = + ) ( d = und analog für das Trägheitsmoment um die chse d + d + d = + Das Flächenträgheitsmoment um chsen, die um chwerpunktskoordinatensstem parallel verschoben sind, ist gleich der umme des Trägheitsmoments beogen auf den chwerpunkt und dem Produkt aus der Fläche und dem Quadrat des bstandes der chsen um chwerpunkt. 10

11 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Das Produkt aus der Fläche und dem Quadrat des bstandes der chwerpunktskoordinaten ist stets positiv. chwerpunkt-trägheitsmomente sind daher minimal gegenüber Flächenträgheitsmomenten beüglich parallel verschobener chsen. Für das gemischte Flächenträgheitsmoment (Deviationsmoment) ergibt sich und damit = d + = d = ( + )( + ) d d + = = 0 = 0 = d + d = + Bei der nwendung des teiner-ates auf das gemischte Flächenträgheitsmoment sind die chwerpunktabstände mit ihrem Voreichen einutragen. 11

12 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler ett sich ein Querschnitt aus mehreren Teilflächen usammen, gilt n = i= 1 n = i= 1 n = i= 1 ( ( ( i i i + + i i + i ) i i ) i ) i,, i, i, i i, i n - Trägheitsmomente der Gesamtfläche - Trägheitsmomente der Teilflächen i - bstände der chwerpunkte - nahl der Teilflächen ussparungen oder Löcher in Querschnittsflächen werden berücksichtigt, wenn die ugehörigen Trägheitsmomente und Flächen im teiner-nsat negativ eingetragen werden. llgemein ist u beachten, dass der at von teiner nur den Zusammenhang wischen den Flächenträgheitsmomenten beüglich der chwereachsen und den dau parallel verschobenen Koordinatenachsen angibt, nicht jedoch für wei beliebige Beugsssteme gilt. 1

13 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Beispiel: Zusammengesettes L-Profil Gesucht: chwerpunkt, Flächenträgheitsmomente

14 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler... Fortsetung: Zusammengesettes L-Profil alternative Berechnung als Differen weier Rechtecke

15 Technische Mechanik Übung: Zusammengesettes -Profil Gesucht: xiale Flächenträgheitsmomente Prof. Dr.-ng. T. Preußler

16 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler 1.3. Flächenmomente bei Koordinatendrehung Flächenträgheitsmomente unterliegen bei Koordinatendrehung den gleichen tensoriellen Gesetmäßigkeiten, wie sie für pannungen und Dehnungen gelten. ind die Flächenträgheitsmomente, und für ein gegebenes Koordinatensstem gegeben, lassen sich die Flächenträgheitsmomente ζ, η und ζη für ein um den Winkel α gedrehten Koordinatensstem analog u den bekannten Transformationsgleichungen berechnen: + ζ = + cosα sin α + η = cosα + sin α ηζ = sin α + cosα = m Vergleich u den Transformationsgleichungen für pannung und Dehnung ist auf die teilweise davon abweichenden Voreichen der Terme u achten! ζη 16 ζ 0 d α η

17 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Die Richtung der Hauptträgheitsmomente ergeben sich entsprechend mit tan α H = p + = + = 1 + = const. = η ζ + 1, = ± ( ) + und die ugehörigen Hauptträgheitsmomente erhält man aus mit den nvarianten Hauptträgheitsmomente wirken in Richtung der Hauptträgheitsachsen, für die das gemischte Flächenträgheitsmoment verschwindet. Für mmetrielinien ist das gemischte Flächenmoment immer Null, d. h. jede mmetrielinie ist gleicheitig eine Hauptträgheitsachse. Zwei ueinander senkrechte chwerpunktachsen, von denen eine mmetrielinie ist, sind stets Hauptträgheitsachsen. 17

18 Technische Mechanik Prof. Dr.-ng. T. Preußler Beispiel: L-Profil Gegeben: = 0833 mm 4, = 1300 mm 4 und = 9375 mm 4 Gesucht: Hauptträgheitsachsen, Hauptträgheitsmomente 1 α H 18