Kapitel 4. Lorentz-Tensoren

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1 Kapitel 4 Lorentz-Tensoren Nach Möglichkeit versucht man, die Gesetze der Physik so aufzustellen, dass sie in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben, also forminvariant unter Translationen und Rotationen im Raum, unter Translationen der Zeit und unter Lorentz- Transformationen sind. Wir nennen solche Gesetze forminvariant oder, wenn die Forminvarianz leicht zu erkennen ist, auch offenkundig oder explizit forminvariant. Ein Beispiel für eine forminvariante aber nicht explizit forminvariante Formulierung sind die Maxwell-Gleichungen für elektrische und magnetische Felder, denen man nicht sofort ansieht, dass sie auch in einem bewegten Bezugssystem die gleiche Form haben. Später werden wir eine offenkundig forminvariante Version der Maxwell-Gleichungen kennenlernen. Geeignete mathematische Objekte für offenkundig forminvariante Formulierungen sind die sogenannten Tensoren. Hierbei handelt es sich um multilineare Abbildungen, die wir beispielsweise durch ein n-dimensionales Feld von Zahlen darstellen können, wobei die Dimension n der Stufe des Tensors entspricht. Der einfachste Fall ist ein Tensor der Stufe 0 der durch eine einzige Zahl, einen Skalar also, repräsentiert wird. Tensoren höherer Stufen lassen sich durch Vektoren (n = 1) und Matrizen (n = 2) darstellen. Natürlich repräsentiert nicht jedes n-dimensionale Zahlenfeld einen Tensor. Die Tensoreigenschaft ergibt sich aus einem im Einzelnen noch zu definierendem Verhalten bei Koordinatentransformationen. Gehört zu diesen auch die Lorentz- Transformation sprechen wir von Lorentz-Tensoren. Besonders einfach lässt sich das Verhalten von Lorentz-Tensoren der Stufe 0 beschreiben: diese sind invariant unter einer Lorentz-Transformation, ändern ihren Wert also nicht. Ein Beispiel für solche Tensoren, die wir auch Lorentz-Skalare nennen, ist das Quadrat des raumzeitlichen Abstands, s 2, im Minkowski-Raum. Sozusagen per definitionem Lorentzskalare sind die Größen Eigenzeit (τ), Ruhelänge (l 0 ) und Ruhemasse (m 0 ), denn diese beziehen sich ausdrücklich auf ein bestimmtes Bezugssystem, das Ruhesystem des betrachteten Gegenstands. Wir gehen davon aus, dass auch die elektrische Ladung ein Lorentz-Skalar ist. Entgegen der Anschauung und anders als bei der Galilei-Transformation sind die Länge eines Gegenstands oder der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen keine Lorentz-Skalare. 29

2 F = q(e + v B) ρ, j, E, B E = ρ ɛ 0 E + B t = 0 B 1 E c 2 t = µ 0 j B = 0 j µ, A µ V = qu µ A µ ν ν A µ = µ 0 j µ Während Lorentz-Tensoren nullter Stufe meist anschauliche Größen repräsentieren, die in unseren alltäglichen Erfahrungen vorkommen, entziehen sich die im folgenden Abschnitt vorgestellten Lorentz-Tensoren erster Stufe, die Vierervektoren, unserer Anschauung. Es stellt sich unvermeidlich die Frage, ob die Einführung dieser abstrakten mathematischen Objekte überhaupt nennenswerte Vorteile bietet. Die Nachteile zumindest sind gewiss: diese neuen Objekte sind zunächst unvertraut und unverständlich und die durch sie ausgedrückten Beziehungen auf den ersten Blick nichtssagend. Nach einiger Übung können diese Nachteile aber mehr als aufgewogen werden, denn die mit Lorentz-Tensoren formulierten Gleichungen sind oft wesentlich kompakter in der Darstellung (und damit leichter zu merken) und lassen sich leichter ineinander umformen. Das obenstehende Schema für die Maxwell-Gleichungen und die Lorentz-Kraft in konventioneller und in explizit kovarianter Schreibweise soll diese Behauptung beispielhaft belegen. Die folgenden Kapitel versuchen zu beweisen, dass der Weg von Ladungs- und Stromdichte sowie elektrischen und magnetischen Feldern zur Lorentz-Kraft und zu den Maxwell-Gleichungen in der explizit kovarianten Form einfacher und übersichtlicher ist als in der konventionellen Form, so dass sich der Umweg über die kovarianten Formulierungen auch dann lohnt, wenn wir am Ende wieder Ausdrücke für das elektrische und magnetische Feld benötigen. 30

3 4.1 Vierervektoren Der Prototyp eines Lorentz-Tensors erster Stufe ist der raumzeitliche Vierervektor im Minkowski-Raum, x = (ct, x, y, z) = ( x 0, x 1, x 2, x 3), (4.1) der die zeitliche und die drei räumlichen Koordinaten in einem einzigen Vektor zusammenfasst. Im Folgenden werden wir die einzelnen Komponenten eines Vierervektors meist durch einen hochgestellten Index kennzeichnen. Zur besseren Unterscheidung verwenden wir lateinische Indizes für die Komponenten eines Vektors des dreidimensionalen Raumes und griechische Indizes für die Komponenten eines Vierervektors. Die Lorentz-Transformation für Vierervektoren lässt sich, da sie linear ist, durch eine 4 4-Matrix darstellen, die wir mit Λ bezeichnen. Wir können die Lorentz-Transformation dann als Vektorgleichung in der Form und in Komponentenschreibweise in der Form x = Λx (4.2) x µ = 3 Λ µ νx ν (4.3) ν=0 schreiben. Statt des Summenzeichens in Gleichung (4.3) verwenden wir, der Literatur folgend, im Weiteren die Einsteinsche Summenkonvention, nach der Produktterme, die gleichlautende griechische oder lateinische Indizes einmal tief- und einmal hochgestellt enthalten, aufsummiert werden, mit dem gleichlautenden Index als Laufindex. Unter Verwendung dieser Konvention schreiben wir Gleichung (4.3) dann in der kürzeren Form x µ = Λ µ νx ν. (4.4) Die Komponenten Λ 0 0 = Λ 1 1 = γ und Λ 1 0 = Λ 0 1 = γβ gewinnen wir aus Gleichung (2.8), unter Verwendung der dimensionslosen Relativgeschwindigkeit β = v/c, die übrigen Komponenten betrachten wir in Abschnitt??. Allgemein wird jeder Vektor (a 0, a 1, a 2, a 3 ), dessen Lorentz-transformierter Vektor durch a µ = Λ µ νa ν. (4.5) gegeben ist, als Lorentz-Tensor erster Stufe oder als Vierervektor bezeichnet. Beispiele für Vierervektoren, die wir in den folgenden Abschnitten kennenlernen werden, sind die Vierergeschwindigkeit, der Viererimpuls, die Viererkraft und das Viererpotential. 31

4 4.2 Metrischer Tensor Schon weiter oben hatten wir festgestellt, dass wir im Minkowski-Raum nicht die euklidische Metrik des dreidimensionalen Raums verwenden können. Stattdessen hatten wir das raumzeitliche Abstandsquadrat (3.1) definiert, das eine pseudoeuklidische Metrik, die sogenannte Minkowski-Metrik einführt. Diese Metrik lässt sich kompakt formulieren, wenn man neben Vierervektoren einen Tensor zweiter Stufe, den sogenannten metrischen Tensor g einführt Metrik im Raum In einem dreidimensionalen Raum mit kartesischen Koordinaten liefert die euklidische Metrik für einen infinitesimalen Abstand ds die Beziehung ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. (4.6) Dieser Abstand kann auch durch den metrischen Tensor g ik = δ ik (4.7) dargestellt werden, wenn wir die drei Komponenten des Vektors (x, y, z) = ( x 1, x 2, x 3) (4.8) mit lateinischen Indizes nummerieren. Wir machen hier Gebrauch von dem Kronecker-Symbol δ ik, das durch δ ik = { 1 für i = k 0 sonst (4.9) definiert wird. Unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention lautet das Abstandsquadrat dann ds 2 = g ik dx i dx k. (4.10) In diesem besonders einfachen Fall lässt sich der metrische Tensor durch eine dreidimensionale Einheitsmatrix darstellen, und es wird nicht klar welchen Vorteil der Aufwand für den metrischen Tensor bringt. Dies ändert sich, wenn wir von kartesischen zu krummlinigen Koordinaten übergehen. Der Einfachheit halber beschränken wir uns zunächst auf die zweidimensionale xy-ebene, die wir statt durch die kartesische Koordinaten x und y auch durch die Polarkoordinaten r und φ beschreiben können, die über die Gleichungen x = r cos φ und y = r sin φ (4.11) 32

5 mit den kartesischen Koordinaten zusammenhängen. Durch partielle Ableitung von x nach r und φ erhalten wir dx = x r x dr + dφ = cos φ dr r sin φ dφ (4.12) φ für den Zusammenhang zwischen den unabhängig gewählten Differentialen dr und dφ und der resultierenden infinitesimalen Änderung dx. Auf die gleiche Weise bekommen wir dy = sin φ dr + r cos φ dφ. (4.13) Quadrieren und Aufsummieren ergibt schließlich ds 2 = dr 2 + r 2 dφ 2, (4.14) wobei wir die Beziehung sin 2 α + cos 2 α = 1 verwendet haben. Wenn wir die Polarkoordinaten durch (r, φ) = ( x 1, x 2) (4.15) mit nummerierten Vektorkomponenten gleichsetzen, können wir das Quadrat des infinitesimalen Abstands wieder wie in Gleichung (4.10) in der Form g ik dx i dx k schreiben. Allerdings lässt sich der metrische Tensor wegen der krummlinigen Koordinaten nicht mehr durch eine Einheitsmatrix darstellen, sondern muss durch die Matrix ( ) 1 0 g = 0 r 2 (4.16) dargestellt werden, wie man durch Einsetzen von (4.15) und (4.16) in Gleichung (4.10) überprüfen kann. Ein ähnliches Ergebnis erhält man, wenn man im dreidimensionalen Raum von den kartesischen Koordinaten x, y und z zu den Kugelkoordinaten r, θ und φ übergeht, die implizit durch x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ und z = r sin θ (4.17) definiert sind. Das infinitesimale Abstandsquadrat ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 (4.18) können wir mit und wieder in der Form schreiben. (r, θ, φ) = ( x 1, x 2, x 3) (4.19) g = r r 2 sin 2 θ (4.20) ds 2 = g ik dx i dx k (4.21) 33

6 4.2.2 Metrik in der Raumzeit Um den raumzeitlichen Abstand (3.1) einfacher zu schreiben, definieren wir durch g = (4.22) den sogenannten Maßtensor oder Minkowski-Tensor g. 1 In der Allgemeine Relativitätstheorie, die auch gekrümmte Räume behandelt, die nicht mehr durch die euklidische Geometrie beschrieben werden können, wird der Tensor g ortsabhängig und hat dann eine kompliziertere Form als in Gleichung (4.22). Wir verwenden die Bezeichnung metrischer Tensor auch, wenn wir den euklidischen (auch flach genannten) Raum der Speziellen Relativitätstheorie beschreiben. Wir benennen die Komponenten des metrischen Tensors durch tiefgestellte griechische Indizes und können die Definition (4.22) dann mit Hilfe des in Gleichung (4.9) definierten Kronecker-Symbols auch in der Form g µν = δ µν (2δ 0ν 1) (4.23) schreiben. Der raumzeitliche Abstand (3.1) läßt sich mit Hilfe des metrischen Tensors in der Form s 2 = g µν x µ x ν (4.24) schreiben. Der metrische Tensor g gehört zu der Gruppe der Lorentz-Tensoren zweiter Stufe, die allgemein aus 4 4 Komponenten a 00, a 01, a 02,... a 32, a 33 bestehen, die sich unter einer Lorentz-Transformation gemäß a µν = Λ µ αλ ν λa αλ (4.25) transformieren. Den Beweis dafür, dass sich der metrische Tensor tatsächlich entsprechend Gleichung (4.25) transformiert, müssen wir im folgenden Kapitel erst noch erbringen. Einige zusätzliche Bemerkungen zu Lorentz-Transformationen zweiter und höherer Stufe finden sich im Anhang Formen Um die Schreibweise des raumzeitlichen Abstands und vieler anderer Tensorprodukte zu vereinfachen, definiert man eine zu x µ gehörige 1-Form x ν = g µν x µ (4.26) 1 Der Minkowski-Tensor wird in der Literatur häufig auch mit dem Symbol η bezeichnet. Neben den hier verwendeten Vorzeichen, Signatur ( ), sind auch die entgegengesetzten Vorzeichen, Signatur ( ), gebräuchlich. 34

7 mit deren Hilfe der raumzeitliche Abstand kürzer geschrieben werden kann: s 2 = x ν x ν. (4.27) Gleichung (4.27) wird auch so verstanden, dass der Tensor erster Stufe, x ν, durch die Produktbildung mit seiner 1-Form x ν zu einem Tensor 0. Stufe verjüngt wird. Grundsätzlich ist eine 1-Form eine Lineare Abbildung, die einen Vektor auf einen Skalar oder einen Tensor zweiter Stufe auf einen Tensor erster Stufe abbildet. Statt als 1-Form wird x ν, insbesondere in der älteren Literatur, auch als kovarianter Vektor bezeichnet. 2 In dieser Sprechweise ist x ν ein kontravarianter Vektor. 3 Wertet man Gleichung (4.26) komponentenweise aus, wird deutlich, dass sich der Vierervektor x ν = ( x 0, x 1, x 2, x 3) (4.28) und seine 1-Form x ν = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = ( x 0, x 1, x 2, x 3) (4.29) in den Vorzeichen der räumlichen Komponenten unterscheiden. Die rein formale Wirkung des Metrischen Tensors können wir auch als Senken des Indexes bezeichen. Man kann sich jetzt die Frage stellen, ob es einen Tensor gibt, der den Index hebt, der also eine 1-Form auf den zugehörigen Vierervektor abbildet. Wir versuchen die Antwort durch die Annahme eines zu g µν inversen Tensors zu finden, für den g αµ g µν = δ α ν (4.30) gelten muss (für das Kronecker-Symbol spielt die Stellung der Indizes keine Rolle, wir erhalten stets 1 wenn die Indizes gleich sind und sonst 0). Multiplizieren wir Gleichung (4.30) auf beiden Seiten mit x ν, g αµ g µν x ν = δ α ν x ν, (4.31) folgt nach Anwendung der Einsteinschen Summenkonvention, also der Verjüngung des Tensorproduktes, die gesuchte Beziehung g αµ x µ = x α, (4.32) die zeigt, dass der zu g µν inverse Tensor g αµ tatsächlich den Index einer 1-Form hebt. Ein Blick auf Gleichung (4.23) oder auf die Matrixdarstellung (4.22) zeigt uns, dass g µν bis auf die Indexstellung identisch zu g αµ ist. Dies ist allerdings eine spezielle Eigenschaft des (flachen) Minkowski-Raums. In Räumen mit krummlinigen Koordinaten, wie Polar- oder Kugelkoordinaten, oder im gekrümmten Raum der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt dies nicht. 2 Die Bezeichnung kovariant hat hier eine zweite, vom Begriff forminvariant verschiedene Bedeutung. 3 Die Bezeichnungen ko- und kontravariant rühren vom Transformationsverhalten der Vektoren her, die sich entgegengesetzt zu den Koordinatenachsen transformieren: Dreht man die x- und y-achsen im mathematisch positiven Sinn um die z-achse, müssen wir einen Vektor in diesem gedrehten Koordinatensystem in die entgegengesetzte Richtung drehen, damit dieser dasselbe physikalische Objekt wie vor der Drehung beschreibt. 35

8 4.3 Zusammenfassung Lorentz-Tensoren sind mathematische Objekte, deren Verhalten unter einer Lorentz-Transformationen genau bestimmt ist. Solche Tensoren sind daher gut geeignet, um physikalische Gesetze in einer offenkundig forminvarianten Weise zu formulieren. Lorentz-Tensoren der Stufe Null sind Skalare, die unter Lorentz- Transformationen invariant bleiben. Hierzu gehören der raumzeitliche Abstand, die Eigenzeit, die Ruhelänge, die Ruhemasse und die Ladung, nicht aber allgemeine zeitliche oder räumliche Abstände. Lorentz-Tensoren erster Stufe bezeichnen wir als Vierervektoren. Hierzu gehört der raumzeitliche Vierervektor (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (ct, x, y, z) des Minkowski-Raumes ebenso, wie die Vierergeschwindigkeit, die Viererkraft, der Viererimpuls und das Viererpotential, die erst später vorgestellt werden. Mit Hilfe des metrischen Tensors g µν wird im Minkowski-Raum eine pseudo-euklidische Metrik eingeführt, wobei die Bezeichnung Metrik nicht im mathematischen Sinne zu verstehen ist. Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die zu x µ gehörige 1-Form x µ = g µν x ν definiert, wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird, nach der in Produkttermen über solche gleichlautende Indizes summiert wird, die einmal hoch- und einmal tiefgestellt sind. Auf diese Weise lässt sich das Quadrat des raumzeitlichen Abstands in der Form s 2 = x µ x µ schreiben. 36