Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
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- Hinrich Reuter
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1 Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken und Anwendungen 8. Bipartite Graphen /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
2 Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung des Kapitels a) Motivation und Vorüberlegungen b) Ein generischer Lösungsansatz c) Das Verfahren von Kruskal d) Das Verfahren von Prim e) /, Folie 2 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
3 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Algorithmische Fragestellung gegeben: gesucht: ein zusammenhängender Graph G = (V,E) eine Gewichtsfunktion w(.) für G eine Kantenmenge E E, so dass G = (V,E ) ein minimaler spannender Baum für G ist... der Graph G habe genau n Knoten (/* der Einfachheit halber sei V = {,...,n } */) und m Kanten /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
4 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Anmerkung das im Folgenden vorgestellte Verfahren von Boruvka hat gewisse Ähnlichkeiten mit dem Verfahren von Kruskal es werden sukzessive sichere Kanten aufgenommen, welche Zusammenhangskomponenten im Teilgraphen G = (V,E ) verbinden statt in jedem Schritt nur eine Zusammenhangskomponente mit einer neuen, sicheren Kante zu versorgen, werden im Verfahren von Boruvka alle Zusammenhangskomponenten parallel mit neuen, sicheren Kanten versorgt /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
5 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Beispiel (/* Verfahren von Kruskal */) G 0 = (V,E 0 ) rot... Zusammenhangskomponenten G = (V,E ) rot... Zusammenhangskomponenten 0 /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
6 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Beispiel (/* Verfahren von Boruvka */) G 0 = (V,E 0 ) rot... Zusammenhangskomponenten G = (V,E ) rot... 2 Zusammenhangskomponenten jede rote Kante ist eine sichere Kante für mindestens eine Zusammenhangskomponente im Graphen G 0 = (V,E 0 ) /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
7 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Beispiel (/* Verfahren von Boruvka */) G = (V,E ) rot... 2 Zusammenhangskomponenten G 2 = (V,E 2 ) rot... Zusammenhangskomponente die neue rote Kante {2,} ist eine sichere Kante für die beiden Zusammenhangskomponenten im Graphen G = (V,E ) /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
8 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Algorithmische Idee ) setze E = 2) solange E < n - bestimme alle Zusammenhangskomponenten V,...,V k des Teilgraphen G = (V,E ) bestimme für jedes i =,...,k eine leichte Kante e i = { u i,v i }, die nur eine Ecke in V i hat setze E = E { e,...,e k }... Anmerkung über die Korrektheit dieses Verfahrens müssen wir fast nicht reden, da sicher gestellt ist, dass die ausgewählten Kanten e i immer sichere Kanten sind... problematisch wird es nur, wenn zwei leichte Kanten e i und e j verschieden sind und die selben Zusammengehörigkeitskomponenten verbinden (/* d.h. beide haben eine Ecke in V i und eine Ecke in V j */) /, Folie 8 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
9 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Beispiel G = (V,E ) rot... 2 Zusammenhangskomponenten G 2 = (V,E 2 ) rot... Zusammenhangskomponente... aber zu viele Kanten die neuen roten Kanten {2,} und {,2} sind sichere Kanten für jeweils eine Zusammenhangskomponente im Graphen G = (V,E ) /, Folie 9 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
10 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Umgang mit dem identifizierten Problem es seien G = (V,E) der gegebene ungerichtete, zusammenhängende Graph und w(.) die zugehörige Gewichtsfunktion um die leichten Kanten aus einer Teilmenge E E auszuzeichnen, benutzen wir statt der üblichen -Relation die wie folgt definierte <* -Relation es seien e = {u,v} und e = {u v } Kanten in E dann setzen wir e <* e, falls a) oder b) gilt a) w(e) < w(e ) b) w(e) = w(e ) und min {u,v} < min {u,v } c) w(e) = w(e ) und min {u,v} = min {u,v } und max {u,v} < max {u,v }... da wir nur einfache Graphen betrachten, gibt es damit in jeder Teilmenge E genau eine leichte Kante /, Folie 0 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
11 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Realisierung des Verfahrens von Boruvka ) setze E = 2) solange E < n - ist bestimme die Zusammengehörigkeitskomponenten V,...V k des Teilgraphen (V,E ) for i =,...,k do bestimme die leichteste Kante e i = { u i,v i } mit u i V i und v i V i bzgl. der <* -Relation setze E = E { e i }... Schritt 2) wird O(log(n)) oft ausgeführt (/* in jedem Schritt wird die Anzahl der Zusammengehörigkeitskomponenten mindestens halbiert *)... es genügen O(n+m) viele Operationen je Schritt 2)... das Verfahren von Boruvka benötigt O((n+m)*log(n)) viele Rechenschritte /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
12 Kapitel : Minimale spannende Bäume u Beispiel (/* für den worst case */) /, Folie 2 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung
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