6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

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1 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl der Ecken geraden Grades stets gerade, ungerade oder kann man keine Aussage machen? (b) Zeigen Sie: Haben alle Ecken Grad, dann ist die Anzahl der Ecken gerade (c) Zeigen Sie: Ist G bipartit, dann gilt 4m n (n 1)(n ) (d) Zeigen Sie: Gilt m >, dann ist G zusammenhängend (n 1)(n ) Gibt es Graphen mit m =, die nicht zusammenhängend sind? Geben Sie gegebenenfalls ein Beispiel an! Zeigen Sie den Eulerschen Polyedersatz für Graphen: Zerlegt ein ebener zusammenhängender Graph mit e Ecken und k Kanten die Ebene in s Länder, dann gilt e k + s = Ein schlichter ebener Graph mit Eckenmenge V und Kantenmenge E heißt maximal eben, wenn es keinen ebenen Graph mit gleicher Eckenmenge und größerer Kantenmenge gibt Zeigen Sie: (a) Hat ein maximal ebener Graph mindestens Ecken, dann ist jedes Land ein Dreieck (b) Hat ein maximal ebener Graph e Ecken, dann der Graph k = e 6 Kanten (c) Ist G ein schlichter ebener Graph mit e Ecken und k Kanten, dann gilt k e 6 Gibt es kein Land mit Seiten, dann gilt sogar k e 4 (d) Der vollständige Fünfergraph und der vollständige bipartite Graph G, sind nicht als ebener Graph darstellbar 4 (a) Sei G ein Graph Man zeige, daß G genau dann einen geschlossenen Kantenzug enthält, wenn er einen Kreis enthält (b) Sei T = (V, E) ein Baum Man zeige, daß es ein v V gibt, das zu genau einer Ecke u V benachbart ist 5 Sei G = (V, E) ein Graph mit V = n und E = m Man zeige, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) G ist ein Baum (b) G ist zusammenhängend und hat n 1 Kanten (c) G ist zusammenhängend und m < n (d) G enthält keinen Kreis und hat n 1 Kanten (e) G enthält keinen Kreis, aber wenn eine beliebige Kante hinzugefügt wird, entsteht genau ein Kreis Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 46, vor der Übung

2 7 Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Sei N = (s, t, V, E, c u, c o ) ein Netzwerk und f ein Fluß in N Zeigen Sie: f = f(u, t) f(t, u) (u,t) E (t,u) E 7 Gegeben sei der folgende gerichtete Graph mit den angegebenen Entfernungen Bestimmen Sie (a) mit Hilfe der linearen Optimierung (b) mit Dijkstras Algorithmus den Abstand von v zu g v a b 1 c d 4 1 e f g 8 Einem Wegeplan mit n Ecken werde eine (n, n)-matrix W = ((w ij )) zugeordnet Dabei sei 0 für i = j w ij = Länge der Kante zwischen i-ter und j-ter Ecke, falls eine solche Kante existiert, falls keine Verbindungskante zwischen i-ter und j-ter Ecke existiert W heißt zugehörige Wegematrix und ist symmetrisch, dh es gilt w ij = w ji, 1 i, j n Weiter sei zwei (n, n)-matrizen A = ((a ij )) und B = ((b ij )) mit Elementen aus IN 0 { } die Matrix C = ((c ij )) durch folgende Verknüpfung zugeordnet: C := A B mit c ik = min{a ij + b jk ; 1 j n} (a) Zeigen Sie: Die Verknüpfung ist assoziativ (b) Geben Sie die Bedeutung der Elemente von W W, W W W usw an! (c) Zeigen Sie: W W, W W W usw sind symmetrisch (d) Zeigen Sie: Es gibt ein m IN mit W} {{ W} = W} {{ W} m m+1 (e) Zeigen Sie: Für alle l IN, l > m gilt W} {{ W} = W} {{ W} l m 9 Sei G = (V, E) ein gerichteter gewichteter Graph Zeigen Sie: Existiert in G ein geschlossener Kantenzug negativer Länge, dann existiert in G ein Kreis negativer Länge Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 116, vor der Übung

3 8 Übung zur Linearen Optimierung SS08 10 Bestimmen Sie mit Hilfe des Floyd-Warshall-Algorithmus eine Tabelle der kürzesten Entfernungen und der zugehörigen Wege zwischen je zwei Punkten des Graphen, der durch die Abstandsmatrix D = (d ij ) gegeben ist D = , Falls es Kreise negativer Länge gibt, so gebe man diese an 11 Gegeben sei ein gerichteter gewichteter Graph G = (V, E) mit Gewichtsfunktion c Für einen Kantenzug w = (v 1,,v k ) sei l(w) = min{c(v i, v i+1 ) 1 i k 1} die Länge von w Geben Sie einen Algorithmus an, der für jedes Paar (s, t) von Knoten aus V, für die ein verbindender Weg existiert, einen Weg maximaler Länge bezüglich l findet (Hinweis: Verwenden Sie den Floyd-Warshall-Algorithmus mit einer geeignet modifizierten Dreiecksoperation) 1 Sei V = {v 1,, v n } eine Punktmenge in der Ebene, d ij der euklidische Abstand der Punkte v i und v j und G = (V, E) der vollständige Graph bzgl V Sei C MST die Länge eines kürzesten spannenden Baumes und C TSP die Länge einer kürzesten Tour Man zeige C TSP C MST 1 Gegeben sei ein zusammenhängender gewichteter Graph G = (V, E) und ein minimal spannender Baum B = (V, T) Durch Hinzufügen einer Kante e / T entsteht ein (eindeutiger) Kreis K in T + e Man zeige, daß für jede Kante e K, e e gilt: d(e ) d(e) 14 Sei G ein zusammenhängender gewichteter Graph, dessen Kanten alle verschiedene Gewichte haben Man zeige, daß G einen eindeutig bestimmten kürzesten spannenden Baum hat Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 186, vor der Übung

4 9 Übung zur Linearen Optimierung SS08 15 Man bestimme den MST für folgenden Graphen mit den beiden Algorithmen der Vorlesung v 1 v v 6 v v v 8 v 9 6 v 10 v Sei V = {v 1,,v n } eine Punktmenge in der Ebene und sei d ij der euklidische Abstand der Punkte v i und v j Man zeige, daß beim MST des zugehörigen vollständigen Graphen sich verschiedene Strecken nie im Inneren schneiden v v 4 17 Entwerfen Sie einen Algorithmus für das folgende Problem: Gegeben ist ein kantenbewerteter zusammenhängender ungerichteter Graph G und eine feste Kante e von G Man bestimme unter allen spannenden Bäumen von G, die die Kante e enthalten, einen mit geringsten Kosten Zeigen Sie, dass Ihr Algorithmus zu dem gewünschten Ergebnis führt, und führen Sie den Algorithmus für folgendes Beispiel mit der Kante e = (v 1, v 7 ) durch! v v v v v 6 v v 4 18 Mit Hilfe des Ford Fulkerson Algorithmus löse man das folgende MFP: a e s 1 b d f t c g Ferner gebe man einen minimalen Schnitt an Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 56, vor der Übung

5 10 Übung zur Linearen Optimierung SS08 19 Man führe folgende Probleme auf gewöhnliche Maximalflußprobleme zurück: (a) Gegeben sei ein Netzwerk N = (s 1,,s q, t 1,,t p, V, E, c o ) mit mehreren Quellen und Zielen, und es gebe keine Kanten (v, s j ), 1 j q bzw (t j, v), 1 j p q Gesucht ist ein Fluß mit maximalem Wert f(s j, u) j=1 (s j,u) E (b) Gegeben sei ein Netzwerk N = (s, t, V, E, c o ), in dem auch die Ecken Kapazitätsbeschränkungen unterliegen: Es sei also eine Abbildung d : V IR + 0 gegeben und die Flüsse f werden der weiteren Beschränkung f(v, u) d(u) für alle u (v,u) E V \{s, t} unterworfen Gesucht ist ein Fluß, der diesen Zusatzbedingungen genügt, und maximalen Wert hat 0 In einem Netzwerk sei f ein maximaler Fluß mit f > 0 (a) Kann eine Kante e existieren mit f(e) > f? (b) Zeigen Sie: Es gibt eine Kante e, so daß jeder Fluß in dem Netzwerk mit E = E\{e} Wert < f hat 1 Sei N = (s, t, V, E, c o ) ein Netzwerk Weiter sei H die Menge der Kanten, die s als Endoder t als Anfangsecke haben, und N das Netzwerk, das entsteht, wenn man aus N die Kanten von H entfernt Zeigen Sie: Die Werte maximaler Flüsse auf N bzw N stimmen überein Hinweis: Konstruktion der Fluß-Folge wie im Algorithmus von Edmonds-Karp Eine Menge von Kanten in einem ungerichteten Graphen heißt Korrespondenz, falls keine zwei von ihnen einen Endpunkt gemeinsam haben Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph Zeigen Sie: Das Problem der Bestimmung einer Korrespondenz maximaler Mächtigkeit in G ist äquivalent der Bestimmung eines maximalen Flusses auf einem geeigneten Netzwerk Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 7, vor der Übung