Einführung in die Graphentheorie. Monika König
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- Bernt Busch
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1 Einführung in die Graphentheorie Monika König
2 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe [1]). Es werden grundlegende Definitionen eingeführt, Abbildungen zwischen Graphen besprochen und einzelne Familien von Graphen näher vorgestellt. Um keine Verwirrung in den folgenden Seminarvorträgen zu stiften, werden die Definitionen analog zur Hauptquelle eingeführt. Als Übersetzungshilfe wurde eine Mitschrift von einer Vorlesung verwendet, siehe dazu [2]. Erste Definitionen und Begriffe Ein Graph X besteht aus einer Knotenmenge V (X) (vertex set) und einer Kantenmenge E(X) (edge set), wobei eine Kante ein ungeordnetes Paar von zwei verschiedenen Knoten aus V (X) ist. Im Folgenden wird eine Kante zwischen den Knoten x und y als xy bezeichnet, eine andere gängige Schreibweise wäre {x, y}. Wenn xy eine Kante ist, so sagt man, dass die Knoten x und y adjazent oder auch benachbart sind. Man schreibt: x y. Ein Knoten heißt inzident mit einer Kante, wenn diese ihn enthält, den Knoten also berührt. Graphen werden häufig verwendet, um eine binäre Beziehung zwischen Objekten in einem gewissen Bereich zu modellieren. Zum Beispiel könnte die Knotenmenge die Computer in einem Netzwerk repräsentieren und adjazente Knoten Computern entsprechen, die mittels Netzwerkkabeln physikalisch verbunden sind. Ein weiteres klassisches Beispiel ist, dass die Knoten Orte und die Kanten Straßen oder Wege zwischen den Orten darstellen. Zwei Graphen X und Y sind genau dann gleich, wenn sie dieselbe Knotenmenge und dieselbe Kantenmenge besitzen. Diese Definition ist zwar durchaus sinnvoll, jedoch ist sie für die Praxis meist zu eng gegriffen. Für die meisten Anwendungen unterscheiden sich zum Beispiel zwei Graphen nicht, wenn man den einen durch Umbenennung der Knoten des anderen erzeugt. Das motiviert die folgende Definition: Zwei Graphen X und Y sind isomorph, wenn eine Bijektion ϕ von V (X) nach V (Y ) existiert, sodass x adjazent zu y (x y) in X ist genau dann, wenn ϕ(x) adjazent zu ϕ(y)(ϕ(x) ϕ(y)) in Y ist. ϕ heißt dann Isomorphismus von X nach Y. Da ϕ eine Bijektion ist, existiert auch seine Inverse, die eine Bijektion von Y nach X ist. Wenn X und Y isomorph sind, schreibt man X = Y. Im Normalfall ist es zulässig isomorphe Graphen so zu behandeln, als wären sie gleich. Oft werden Graphen durch ein Bild veranschaulicht, weil es einfach besser für das Verständnis ist. Man stellt dabei die Knoten durch Punkte beziehungsweise Kreise dar und die Kanten durch Linien. Streng genommen definiert aber ein Bild keinen Graphen, da die Knotenmenge im Bild nicht genau spezifiziert ist. Man kann jedoch den Knoten verschiedene Zahlen zuordnen und die Kanten dann dementsprechend benennen. So entspricht das Bild bis auf 2
3 Isomorphismus einem Graphen, was fast immer reicht. Wichtig ist, sich bewusst zu sein, dass in einem Bild eines Graphen die Positionen der Punkte und der Linien willkürlich sind. Das einzige, was wichtig ist, ist, welche Knoten mit einer Kante verbunden sind. Es ist eine gute Übung sich zu überlegen, wieso die zwei Graphen in Abbildung 1 isomorph sind. Abbildung 1: diese beiden Graphen sind isomorph Ein Graph heißt vollständig, wenn jedes Knotenpaar adjazent ist, das heißt, wenn zwischen je zwei verschiedenen Knoten eine Kante existiert. Der vollständige Graph mit n Knoten wird mit K n bezeichnet. Ein Graph mit leerer Kantenmenge, aber mit mindestens einem Knoten, heißt leerer Graph. Manchmal wird der Graph mit leerer Knoten- und leerer Kantenmenge als Nullgraph bezeichnet. Abbildung 2: Die vollständigen Graphen K 4 und K 5 Graphen, wie sie hier definiert wurden, werden auch als einfache Graphen bezeichnet. Es gibt noch viele andere Arten von Graphen, zum Beispiel gerichtete Graphen. Ein gerichteter Graph besteht aus einer Knotenmenge V (X) und aus einer Menge von gerichteten Kanten A(X) (arc set), wobei eine gerichtete Kante (oder auch Bogen) ein geordnetes Paar von zwei verschiedenen Knoten ist. Man schreibt (x, y) für eine Kante die von x nach y geht. Oft wird die Menge der gerichteten Kanten statt mit A(X) auch mit E(X) analog zu 3
4 den ungerichteten Kanten bezeichnet. In einer Zeichnung eines gerichteten Graphen wird die Richtung einer Kante mit einem Pfeil am Ende der Kante deutlich gemacht. In vielen Anwendungen kann ein einfacher Graph als gerichteter Graph gesehen werden, unter der Bedingung, dass wenn (x, y) eine Kante ist, auch (y, x) eine Kante ist. Abbildung 3: Beispiel für einen gerichteten Graphen Im weiteren wird explizit gesagt, wenn ein gerichteter Graph gemeint ist. Mit Graph ist im Allgemeinen ein einfacher Graph gemeint. Zudem ließe unsere Definition eines Graphen eine unendliche Knotenmenge zu, wir werden auf diesen Fall aber nicht eingehen und im Folgenden immer von einer endlichen Knotenmenge ausgehen. Teilgraphen Ein Teilgraph (oder manchmal auch Subgraph) eines Graphen X ist ein Graph Y, für den gilt, dass V (Y ) V (X), E(Y ) E(X). Wegen der Forderung, dass Y ein Graph ist, können natürlich nur Kanten in E(Y ) sein, deren inzidente Knoten in V (Y ) enthalten sind. Wenn V (Y ) = V (X) (Y also alle Knoten des Ausgangsgraphen enthält), so nennt man Y einen spannenden Teilgraph. Jeden spannenden Teilgraphen von X kann man einfach dadurch erhalten, dass man gewisse Kanten aus X rauswirft. Die Anzahl aller möglichen spannenden Teilgraphen von X ist gleich der Anzahl der Teilmengen von E(X). 4
5 Abbildung 4: Beispiel für einen Teilgraphen und einen spannenden Teilgraphen Ein Teilgraph Y von X heißt induzierter Teilgraph, wenn zwei Knoten aus V (Y ) immer genau dann in Y adjazent (also durch eine Kante verbunden) sind, wenn sie in X adjazent sind. Jeden induzierten Teilgraphen von X kann man dadurch generieren, dass man Knoten von X weglässt und auch jene Kanten, die die weggelassenen Knoten enthalten. Deshalb ist ein induzierter Teilgraph durch seine Knotenmenge festgelegt. Man spricht deshalb auch vom Teilgraphen von X, der von seiner Knotenmenge (also die, des Teilgraphen) induziert wird. Die Anzahl der induzierten Teilgraphen von X ist gleich der Anzahl der Teilmengen von V (X). Abbildung 5: Beispiel für einen induzierten Teilgraphen Manche Typen von Teilgraphen sind so häufig, dass sie einer Erwähnung hier wert sind. Eine Clique ist ein Teilgraph, der vollständig ist. Damit ist er notwendigerweise ein induzierter Teilgraph. Eine Menge von Knoten, die einen leeren Teilgraphen induziert, nennt man eine unabhängige Knotenmenge. Die Größe der größten Clique (also die Anzahl der Knoten der größten Clique) wird mit ω(x) bezeichnet, die Größe der größten unabhängigen Knotenmenge mit α(x). Später wird man sehen, dass sowohl ω(x) als auch α(x) wichtige Parameter eines Graphen sind. Im nachfolgenden Beispiel in Abbildung?? ist ω(x) = 4 und α(x) = 3. 5
6 Abbildung 6: Beispiel für eine Clique und zwei unabhängige Knotenmengen Ein Pfad oder Weg der Länge r von x nach y in einem Graphen ist eine Folge von r + 1 verschiedenen Knoten, die bei x startet und bei y endet und wo alle aufeinanderfolgenden Knoten benachbart sind. Wenn zwischen je zwei Knoten eines Graphen ein Pfad existiert, dann heißt der Graph zusammenhängend, sonst unzusammenhängend. Anders gesagt ist ein Graph dann unzusammenhängend, wenn man seine Knoten in zwei nichtleere Mengen, zum Beispiel die Mengen R und S, aufteilen kann, sodass kein Knoten aus R mit einem Knoten aus S benachbart ist. In diesem Fall sagt man dann, dass der Graph X eine disjunkte Vereinigung der zwei Teilgraphen, die von R und S induziert werden, ist. Einen zusammenhängenden, induzierten Teilgraphen von X, der maximal ist, nennt man eine Zusammenhangskomponente von X. Ein Kreis oder Zyklus ist ein zusammenhängender Graph, in dem jeder Knoten genau zwei Nachbarn hat. Der kleinste solche Graph ist der vollständige Graph K 3. Einen Teilgraphen von X, der ein Kreis ist, nennt man einen Kreis in einem Graphen. Es gibt noch andere Möglichkeiten einen Kreis zu definieren. Eine weitere ist zum Beispiel: ein Kreis ist ein Pfad, dessen Anfangs- und Endknoten ident sind. Diese Definition ist um einiges anschaulicher, obwohl sie mit der hier verwendeten Definition von Pfad nicht korrekt ist, da die Knoten verschieden sein müssen. 6
7 Abbildung 7: Beispiel für Kreise in einem Graphen Der Beweis, dass ein Graph, in dem jeder Knoten mindestens zwei Nachbarn besitzt, mindestens einen Kreis enthalten muss, ist ein klassisches Beispiel am Anfang der Graphentheorie. Ein kreisfreier oder azyklischer Graph ist ein Graph, der keinen Kreis enthält. Es gibt auch noch weitere, bildlichere Bezeichnungen für azyklische Graphen: einen zusammenhängenden, kreisfreien Graphen nennt man einen Baum und einen kreisfreien Graphen nennt man deshalb auch einen Wald, da ja jede Zusammenhangskomponente Baum genannt wird. Ein spannender Teilgraph, der keine Kreise besitzt, heißt spannender Baum oder auch Spannbaum. Man kann zeigen, dass ein Graph genau dann einen spannenden Baum besitzt, wenn er zusammenhängend ist. Ein maximaler spannender Wald in X ist ein spannender Teilgraph, in dem jede Zusammenhangskomponente ein spannender Baum ist. Abbildung 8: Beispiel für einen Wald mit zwei Bäumen Automorphismen Ein Isomorphismus von einem Graphen X auf sich selbst nennt man einen Automorphismus von X (von gr. αυτoς = selbst und µoρϕη = die Gestalt). Anders gesagt: ein 7
8 Automorphismus eines Graphen X ist eine bijektive Abbildung ϕ : V (X) V (X), sodass {x, y} E(X) {ϕ(x), ϕ(y)} E(X) für alle x, y V (X). Ein Automorphismus ist deshalb eine Permutation der Knoten von X, die Kanten zu Kanten und Nichtkanten zu Nichtkanten abbildet. Wir betrachten nun die Menge aller Automorphismen des Graphen X. Natürlich ist die Identität, welche wir mit e bezeichnen, ein Automorphismus. Wenn g ein Automorphismus von X ist, dann auch seine Inverse und wenn h ein zweiter Automorphismus von X ist, dann ist auch das Produkt (also die Hintereinanderausführung) gh ein Automorphismus. Aufgrund dessen bilden die Automorphismen von X ein Gruppe, die die Gruppe der Automorphismen von X genannt wird und mit Aut(X) abgekürzt wird. Die symmetrische Gruppe Sym(V ) ist die Gruppe aller Permutationen einer Menge V. Daher ist die Gruppe der Automorphismen von X eine Untergruppe von Sym(V (X)). Wenn der Graph X n Knoten besitzt, werden wir einfach Sym(n) für Sym(V (X)) schreiben. Im Allgemeinen ist es nicht trivial zu entscheiden, ob zwei Graphen isomorph sind oder ob ein gegebener Graph einen Automorphismus besitzt, der nicht gleich der Identität ist. Trotzdem gibt es Fälle, wo dies ganz einfach möglich ist. Zum Beispiel ist jede Permutation der Knoten des vollständigen Graphen K n ein Automorphismus, also ist Aut(K n ) = Sym(n). Das Bild eines Knotens v V unter der Permutation g Sym(V ) wird bezeichnet mit v g. Wenn g Aut(X) und Y ein Teilgraph von X ist, dann sei Y g der Graph mit und V (Y g ) = {x g : x V (Y )} E(Y g ) = {{x g, y g } : {x, y} E(Y ).} Man kann sofort sehen, dass Y g zu Y isomorph ist und auch ein Teilgraph von X ist. Der Grad oder manchmal auch Valenz eines Knotens x ist die Anzahl seiner Nachbarn und der maximale beziehungsweise minimale Grad eines Graphen X ist der maximale beziehungsweise minimale Wert, wenn man die Grade aller Knoten von X betrachtet. In Abbildung 9 wurde zu jedem Knoten des Beispielgraphen der entsprechende Grad dazugeschrieben. 8
9 Abbildung 9: Graph, in dem bei jedem Knoten sein Grad steht Lemma 1. Sei x ein Knoten des Graphen X und g ein Automorphismus von X. Dann hat der Knoten y = x g den gleichen Grad wie der Knoten x. Beweis. Sei N(x) der Teilgraph von X, der von den Nachbarn von x in X induziert wird. Dann gilt N(x) g = N(x g ) = N(y) und deshalb sind N(x) und N(y) isomorphe Teilgraphen von X. Daraus folgt, dass sie die gleiche Anzahl von Knoten haben und somit haben x und y den gleichen Grad. Das zeigt, dass die Gruppe der Automorphismen eines Graphen immer die Knoten mit gleichem Grad (unter sich selbst) permutiert. Ein Graph, in dem jeder Knoten den Grad k hat, heißt regulär vom Grad k oder k - regulär. Einen 3 - regulären Graph nennt man auch kubisch und ein 4-regulärer Graph wird manchmal auch quartisch genannt. Der Abstand d X (x, y) zwischen zwei Knoten x und y in einem Graphen X ist die Länge des kürzesten Pfades von x nach y. Wenn aus dem Zusammenhang heraus klar ist, welcher Graph gemeint ist, kann man auch d(x, y) schreiben. Lemma 2. Seien x und y Knoten von X und g Aut(X). Dann gilt d(x, y) = d(x g, y g ). Beweis. Wenn man den Teilgraphen von X betrachtet, der durch alle Pfade (bzw. deren Knoten) von x nach y induziert wird, dann folgt aus dem vorigen Lemma, dass der Teilgraph unter dem Automorphismus erhalten bleibt. Der komplementäre Graph X eines Graphen X hat dieselbe Knotenmenge wie X und x und y sind genau dann benachbart, wenn sie in X nicht benachbart sind. 9
10 Abbildung 10: ein Graph und sein komplementärer Graph Lemma 3. Die Gruppe der Automorphismen eines Graphen ist gleich der Gruppe der Automorphismen seines Komplements. Beweis. Dies folgt aus der Definition eines komplementären Graphen, da ja ein Automorphismus Kanten auf Kanten und Nichtkanten auf Nichtkanten abbildet. Wenn X ein gerichteter Graph ist, dann ist ein Automorphismus eine Permutation der Knoten, die gerichtete Kanten auf gerichtete Kanten abbildet, das heißt, dass die Richtungen der Kanten erhalten werden. 10
11 Anhang Englisch acyclic adjacent arc automorphism automorphism group clique complete connected (connected) component cubic cycle directed edge directed graph disconnected disjoint union distance edge set empty forest graph incident independent set induced subgraph isomorphic neighbour of null graph path quartic regular of valency k simple graph spanning forest spanning subgraph spanning tree subgraph symmetric group tree valency vertex set Deutsch azyklisch, kreisfrei adjazent gerichtete Kante, Bogen Automorphismus Gruppe der Automorphismen Clique vollständig zusammenhängend Zusammenhangskomponente kubisch Kreis, Zyklus gerichtete Kante gerichteter Graph unzusammenhängend disjunkte Vereinigung Abstand Kantenmenge leer Wald Graph inzident unabhängige Knotenmenge induzierter Teilgraph isomorph Nachbar von, benachbart Nullgraph Pfad, Weg quartisch regulär vom Grad k einfacher Graph Spannwald, spannender Wald spannender Teilgraph spannender Baum, Spannbaum Teilgraph, Subgraph symmetrische Gruppe Baum Grad, Valenz Knotenmenge 11
12 Literatur [1] Godsil Chris, Royle Gordon: Algebraic Graph Theory. Springer, [2] Frei Christopher: Skriptum zur Vorlesung Diskrete Mathematik, nach den Vorlesungsunterlagen von Sophie Frisch. SS
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