Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem. Gerold Jäger

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1 Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem Gerold Jäger (Zusammenarbeit mit Jop Sibeyn, Boris Goldengorin) Institut für Informatik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg jaegerg Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

2 Travelling Salesman Problem Gegeben: Ungerichteter Graph G = (V, E), V = n mit Gewichtsfunktion g : E R. Gesucht: Kürzester geschlossener Weg, der jeden Knoten genau 1-mal durchläuft. Theoretische Resultate Christofides: Approximationsfaktor 1, 5 für TSP mit Dreiecksungleichung. Arora: Approximationsschema für euklidisches TSP. Praktische Resultate Triviale Methode: (n 1)!/2 Schritte (schon für n 20 zu groß). Datenbank (TSPLIB) mit Problemen von 14 bis Knoten (meistens reale Städteprobleme). Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 1

3 Historische Entwicklung des TSP anhand von TSPLIB Jahr Forschungsteam Anzahl Knoten/Städte 1954 Dantzig, Fulkerson, Johnson Held, Karp Camerini, Fratta, Maffioli Grötschel Crowder, Padberg Padberg, Rinaldi Grötschel, Holland Padberg, Rinaldi Applegate, Bixby, Chvátal, Cook Applegate, Bixby, Chvátal, Cook (USA-Tour) 2001 Applegate, Bixby, Chvátal, Cook (Deutschland-Tour) 2004 Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, Helsgaun (Schweden-Tour) Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 2

4 Algorithmus von Dantzig, Fulkerson, Johnson Formulierung als lineares Programm. Definiere x R n(n 1)/2 durch x i,j := 1, falls die Kante (i, j) in der Tour vorkommt 0, sonst Eine untere Schranke für das TSP ist dann min x g(i, j)x i,j unter 0 x i<j 1, i,j i<j x i,j = n Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 3

5 Falls: Lösung dieses Problems ist eine Tour Fertig. Sonst: Wiederhole die folgenden zwei Schritte, bis die Lösung eine Tour ist. Ergänzen einer Ungleichung, die der Lösungsvektor nicht erfüllt, aber eine Tour erfüllen muß. Lösen des erweiterten Problems. Die Ungleichungen sind zum Beispiel: Jede Stadt wird genau 2-mal erreicht. Jede Menge von Städten wird mindestens 2-mal erreicht! Der derzeit führende Algorithmus von Applegate, Bixby, Chvátal, Cook ist eine Weiterentwicklung bzw. effizientere Implementation dieses Algorithmus. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 4

6 Lin-Kernighan-Heuristik 1.Teil: Tourkonstruktion a) Starte an einem beliebigen Knoten. b) Gehe zum nächstliegenden noch nicht besuchten Knoten. c) Wiederhole b), bis alle Knoten erreicht sind. Nachteil: Am Ende des Algorithmus werden die Gewichte der Tourkanten immer größer. 2.Teil: Tourverbesserung (k-opt) a) Entferne k Kanten aus der bisherigen Tour. b) Baue k neue Kanten ein, so daß eine neue Tour entsteht, die Länge der neuen Tour möglichst klein wird. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 5

7 Beispiel: 2-OPT Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 6

8 Algorithmus von Helsgaun Effiziente Implementation der Lin-Kernighan-Heuristik für k 5. Ausdünnung des Graphen: Zu jedem Knoten werden nur die 5 vielversprechendsten Kanten betrachtet. Löst fast alle Probleme aus TSPLIB. Kann Optimalität nicht nachweisen. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 7

9 Definition der Toleranz Gegeben: Ungerichteter Graph G = (V, E), V = n mit g : E R. Problem mit Lösungsmenge L(g) E. Sei e E beliebig und g konstant bis auf die Stelle e. Ist g(e) hinreichend klein, dann ist e L(g). Ist g(e) hinreichend groß, dann ist e / L(g). Obere Toleranz: Sei e L(g). Die obere Toleranz ot(e) ist die Zahl, um die man g(e) mindestens erhöhen muß, damit e / L(g). Untere Toleranz: Sei e / L(g). Die untere Toleranz ut(e) ist die Zahl, um die man g(e) mindestens verringern muß, damit e L(g). Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 8

10 Anwendung 1: Travelling Salesman Problem Sei eine Kante e in der minimalen Tour. Die obere Toleranz ot(e) ist die Zahl, um die man das Gewicht von e erhöhen muß, damit e nicht mehr in der minimalen Tour ist. Sei eine Kante e nicht in der minimalen Tour. Die untere Toleranz ut(e) ist die Zahl, um die man das Gewicht von e verringern muß, damit e in der minimalen Tour ist. Toleranzberechnung ist schwieriger als gesamtes TSP. Nicht sinnvoll. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 9

11 Anwendung 2: Minimaler 1-Baum Definitionen: Spannender Baum: Zusammenhängender kreisfreier Graph mit n 1 Kanten. Minimaler 1-Baum: Minimal spannender Baum + zweitkleinste Kante eines Knoten von Grad Minimaler 1-Baum ist in Polynomialzeit berechenbar. Minimale TSP-Tour ist 1-Baum! Länge des minimalen 1-Baums ist untere Schranke für minimale TSP-Tour. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 10

12 Gegeben: Anwendung 3: Lineares Zuordnungsproblem Ungerichteter Graph G = (V, E), V = n mit Gewichtsfunktion g : E R. Gesucht: Zuordnungsfunktion f : V V mit Die Zuordnungsfunktion ist bijektiv. f(v) v für alle v V. Die Summe der Gewichte der Zuordnungskanten ist minimal Lineares Zuordnungsproblem ist in Polynomialzeit lösbar. Minimale TSP-Tour ist lineare Zuordnung! Länge einer minimalen Zuordnung ist untere Schranke für minimale TSP-Tour. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 11

13 Anwendung 4: 2-OPT Betrachte eine gute, aber nicht minimale TSP-Tour T. Die folgende Toleranz ist ein lokales Kriterium, hängt also von T ab. L(g) besteht aus den zwei Kanten außerhalb von T, die zu dem besten aktuellen 2 -OPT-Schritt führen. Die für die Lösungsmenge L in Frage kommenden Kanten sind alle Kanten außerhalb von T. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 12

14 Die untere Toleranz einer Kante außerhalb von T gibt an, wieviel schlechter der beste 2 -OPT-Schritt dieser Kante im Vergleich zum optimalen 2 -OPT-Schritt ist Die obere Toleranz definiert man analog. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 13

15 Toleranzbasierte TSP-Algorithmen Verbesserte Tourkonstruktion. Nicht gewichtsbasiert, sondern toleranzbasiert. Qualitativ bessere Ausdünnung des Graphen. (Helsgaun benutzt die Toleranz des 1-Baumes, ohne den Begriff Toleranz zu verwenden.) Toleranzbasierte Branch and Bound-Algorithmen. Allerdings: Der Nutzen der Toleranzen hängt davon ab, ob sie effizient berechnet werden können. Gerold Jäger, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 14