2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt

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1 .3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht stehende Vektoren zu bestimmen. Hierzu benutzt man das (nur im 3-dimensionalen Raum definierte) Vektor- oder Kreuzprodukt axb zweier Vektoren a und b. Im Gegensatz zum Skalarprodukt liefert es einen Vektor, und zwar ist dieser durch die folgenden drei geometrischen Eigenschaften vollständig bestimmt: (G1) axb steht senkrecht auf a und b : (axb)a = (axb)b = 0 (G) die Länge von axb ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: axb = a b sin(a b) (G3) a, b und axb bilden ein Rechtssystem: Wird a im Uhrzeigersinn nach b gedreht, so zeigt axb in Blickrichtung. Wir zeichnen zwei Vektoren im Raum, ihre Summe, ihre Differenz, das von ihnen aufgespannte Paralleogramm, und schließlich ihr Vektorprodukt (senkrecht dazu). Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms. Beispiel 1: Tischplatte und Tischbein Bei einer von zwei Vektoren aufgespannten Platte bleibt das Vektorprodukt (Tischbein) konstant, wenn die Platte rotiert:

2 Beipiel : Uhrzeiger Wir beobachten, wie sich das Vektorprodukt zweier Uhrzeiger verändert (wenn der eine den anderen überholt, wechselt das Vorzeichen und damit die Richtung): Der Produktvektor zeigt vom Zifferblatt aus nach vorne (bzw. im Bild nach oben), wenn der Minutenzeiger sich im Uhrzeigersinn vor dem Stundenzeiger befindet; andernfalls zeigt der Produktvektor nach hinten. Merkregel für ein Rechtssystem Wird durch eine Schraubbewegung a nach b gedreht, so bewegt sich die Schraube in Richtung von axb.

3 Algebraische Beschreibung des Vektorprodukts Es läßt sich mit einigem Aufwand zeigen, daß das Vektorprodukt x die einzige Abbildung von R 3 x R 3 nach R 3 ist, die folgende drei Eigenschaften hat: (V1) axb = -bxa (Anti-Kommutativität) (V) (ra+sb)xc = r(axc) + s(bxc) (Bilinearität) (V3) ixj = k, jxk = i, kxi = j (Zyklische Vertauschung) Aus den Axiomen (V1), (V) und (V3) folgt die wichtige Koordinatendarstellung des Vektorprodukts ( a 1, a, a 3 ) x (,, ) = ( a, a 3, a 1 ) oder in Spaltenschreibweise: a 1 a a 3 x a = a 3 a 1 Denn es ist aufgrund der Bilinearität und der Antikommutativität ( a 1, a, a 3 ) x (,, ) = (a 1 i + a j + a 3 k) x ( i + j + k) = ( a )(jxk) + ( a 3 )(kxi) + ( a 1 )(ixj) und das ist wegen (V3) gleich ( a ) i + ( a 3 ) j + ( a 1 ) k. Umgekehrt läßt sich leicht nachrechnen, daß die durch die Koordinatendarstellung definierte Operation x die drei Axiome (V1), (V) und (V3) erfüllt. Aus diesen lassen sich also sämtliche für das Vektorprodukt gültigen Regeln ableiten! Einige zusätzliche Eigenschaften sieht man allerdings besser an den "geometrischen" Axiomen (G1), (G) und (G3). Lineare Abhängigkeit Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist genau dann der Nullvektor, wenn sie linear abhängig sind, d.h. wenn einer ein Vielfaches des anderen (eventuell der Nullvektor) ist. Denn in diesem (und nur in diesem Fall) ist der Flächeninhalt des Parallelogramms zwischen den beiden Vektoren gleich 0. Flächenberechnung von Polygonen Jedes Polygon läßt sich in Dreiecke zerlegen, und ein von zwei Vektoren a und b aufgespanntes Dreieck (also ein halbes Parallelogramm) hat natürlich den Flächeninhalt

4 axb / = a b sin(a b)/. Für Dreiecke in der Ebene gibt es zwar kein Vektorprodukt, aber man kann ja eine dritte Koordinate "dazu erfinden" und bekommt dann sofort für die Fläche F eines Dreiecks mit den Seiten a = ( a 1, a ) und b = (, ) : F= ( a 1, a, 0) x (,, 0) / = a 1 /. Beispiel 3: Flächeninhalt eines regulären Fünfecks mit Zentriwinkel α = π und Umkreisradius 1. 5 Die Fläche eines der fünf Teildreiecke (z.b. des linken) beträgt einerseits F 5 = sin π cos π 5 5 (halbe Grundlinie mal Höhe), andererseits nach der Sinus-Flächenformel 1 F 5 = sin π, 5 im Einklang mit der trigonometrischen Formel sin( α) = sin( α ) cos( α ). Also ist die Gesamtfläche des Fünfecks F = 5 sin π 5 cos π 5 = 5 sin π. 5 Einen von vielen interessanten Zusammenhängen zwischen dem Skalarprodukt und dem Vektorprodukt beschreibt ein abgewandelter Satz von Pythagoras Die Summe der Quadrate von Skalarprodukt und Vektorprodukt ist gleich dem Quadrat des Produktes der Beträge.

5 Mit anderen Worten: Ein Dreieck mit den Seitenlängen ab, axb und a b ist stets rechtwinklig! Diese Tatsache folgt unmittelbar aus den Gleichungen ab = a b cos(a b) axb = a b sin(a b) cos( γ) + sin( γ) = 1. Das Spatprodukt Drei Ortsvektoren a,b,c im Raum...

6 ... und der von ihnen aufgespannte Spat Wir machen den Spat durchsichtig und zeichnen nur den Boden und die Kanten: Dann bilden wir das Vektorprodukt der beiden Basisvektoren a und b :

7 Projektion von c auf axb : c[axb] = r(axb), r = (axb)c/(axb)(axb) r = ( a ) c 1 + ( a 3 ) c + ( a 1 ) c 3 ( a ) + ( a 3 ) + ( a 1 ) Spatvolumen Das Volumen des ursprünglichen Spats ist gleich dem Volumen des Prismas über der gleichen Grundfläche und mit der gleichen Höhe: Ergebnis: Volumen des Spats = Grundfläche mal Höhe axb c[axb] = (axb)c

8 Das Spatprodukt abc := (axb)c ist das orientierte Volumen des Vektorentripels (a,b,c) (Reihenfolge beachten!) Vertauschungsregel abc = bca = cab = -cba = -acb = -bac Vorzeichenregel abc > 0 <==> (a,b,c) ist ein Rechtssystem abc < 0 <==> (a,b,c) ist ein Linkssystem abc = 0 <==> (a,b,c) ist ein linear abhängiges System. Lineare Abhängigkeit Ein System von drei Vektoren a,b,c heißt linear abhängig, wenn sie in einer Ebene durch 0 liegen. Algebraisch bedeutet das: Es gibt reelle Zahlen r,s,t, nicht alle drei gleich 0, mit ra+sb+tc = 0. Zum Beispiel bilden die kanonischen Einheitsvektoren i, j, k in der Reihenfolge (i,j,k) ein Rechtssystem, wohingegen (j,i,k) und (-i,j,k) Linkssysteme sind. Aus der Koordinatendarstellung von Skalar- und Vektorprodukt gewinnt man unmittelbar die Koordinatendarstellung des Spatprodukts

9 abc = ( a ) c 1 + ( a 3 ) c + ( a 1 ) c 3 In diesem Aggregat tritt jedes Produkt a i b j c k mit { i, j, k} = { 1,, 3} genau einmal auf. Das Vorzeichen bestimmt man aus dem untenstehenden Schema (steigend =positiv, fallend =negativ). Das ist die sogenannte Regel von Sarrus a 1 c 1 a 1 a c a a 3 c 3 a 3 Normierte Vektoren Ein Vektor der Länge 1 heißt normiert oder Einheitsvekor. Oft ist es praktisch, einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor b zu normieren, d.h. einen Einheitsvektor gleicher Richtung (und mit Länge 1) zu bestimmen. Dies ist offenbar der Vektor mit b* := b/ b b = + in der Ebene bzw. b = + + im Raum. Orthonormalbasen a := [ 1, -, ] Sind a und b zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren, so ist auch axb ein Einheitsvektor, und die Vektoren a,b,a b spannen einen Würfel mit Volumen 1 auf. Man nennt drei solche Vektoren eine Orthonormalbasis. Beispiel: 1 a = (,, ), b = (, 1 3 3, 3 ), c = axb = (, 3 3, 1 ), abc = ab = 0, axb =,,, abc =

10 Zusammenfassung Gegeben seien zwei Vektoren a,b im dreidimensionalen Raum. (1) Das Skalarprodukt von a und b ist ab = a b cos(a b) = + + a 1 a a 3 und die Projektion von a auf b (nicht 0) ist a[b] = a[b*] = (ab*) b* = (ab)b/(bb). () Das Vektor- oder Kreuzprodukt von a und b ist a b = a b sin(a b) n = ( a, a 3, a 1 ) wobei n derjenige auf a und b senkrecht stehende Einheitsvektor ist, für den (a,b,n) ein Rechtssystem wird. Der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist a b = a b sin(a b) = ( a ) + ( a 3 ) + ( a 1 ). (3) Das Spatprodukt oder orientierte Volumen des von a,b,c aufgespannten Spats ist abc = (a b)c = a 1 c 3 + a c 1 + a 3 c c c 3 c 1. Bei Wahl des von a und b aufgespannten Parallelogramms als Grundfläche ist die Höhe (also der Abstand des Punktes c von der Ebene durch a und b) gegeben durch h =(abc)/ axb und der zugehörige Höhenvektor durch c[axb] = h (axb)*.