Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
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- Fritzi Simen
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Transkript
1 Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz
2 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft soll her auf de Vorgeheswese egegage werde. Aufgabestellug Behauptug( soll für alle N 0 gelte. Vorgeheswese der vollstädge Iduto Idutosafag - IA: De Behauptug( glt für e bestmmtes 0 oder für mehrere 0. Deses st durch Esetze ud Nachreche lecht zu überprüfe. Für obges Bespel würde ma also 0 überprüfe. Idutosvoraussetzug - IV : Mt dem IA st de Behauptug( zur Voraussetzug( für alle 0 geworde ( 0 0. Idutosbehauptug - IB: Ma behauptet u (mt der soebe geschaffee Voraussetzug, dass de Behauptug auch stets für glt. Idutosschrtt - IS: Des st der Ker des Idutosbeweses. Her muss u gezegt werde, dass ma aus der Idutosvorraussetzug auch de Idutosbehauptug folger a. Idutosschluss: Deser ethält de Schlussfolgerug ud das Idutosprzp. Glt ee Aussage für überprüfte 0, welche wr als Voraussetzug beutze öe ud öe wr zege, dass aus der Voraussetzug( stets de Behauptug( folgt glt de Behauptug( für alle N 0 ab dem Idutosafag. Bemeruge Der Idutosafag st stets fre wählbar, demach a belebg auch be 4, oder 20 agefage werde, we es de Aufgabestellug erfordert. Iduto st auch für Z möglch. Her öte ma z.b. vo 0 emal aufwärts ud emal abwärts de vollstädge Iduto awede. Ee Wetere Möglchet st es ee Folge zu wähle, de alle Elemete vo Z erfasst, we {0,,, 2, 2, 3, 3,...}, de Elemete mt a, N 0 zu dzere ud über de vollstädge Iduto azuwede. Letzteres st e scheres Mttel um sch z.b. der Mege der gerade Zahle, Prmzahle zu bewege oder aber auch für gaz adere Aweduge, de chts mt Zahle zu tu habe.
3 Eletug Pascalsches Dreec Bespel bs Defto ( 0 { ; 0 0 ; 0 ( N 0, Z ( ( Bemerug: De Erweterug für Z erlechtert de Summatosgreze be de Bewese auch ee Erweterug für Z st möglch, aber her cht otwedg. Egeschafte/Aweduge I der Stochast als Bomaloeffzete: ( Bomscher Satz: (a b ( 0 a b Symmetre: ( ( Zelesumme: ( 2 Altererede Zelesumme: { ( ( ; 0 0 ; 0 Explzte Bldugsvorschrft: (!!(! 2
4 Bewes Symmetre ( ( ; N 0 ; Z Idutosafag 0 : { ( 0 ; 0 { 0 ; 0 ( 0 ; 0 0 ; 0 Idutosvoraussetzug ( ( ; N 0, 0 ; Z Idutosschrtt Idutosschluss ( ( ( ( ( ( ( ( Da ma aus der IV für 0 stets folger a, dass se auch für glt, st dese Aussage mt dem IA ach dem Przp der vollstädge Iduto für alle N 0 gültg. 3
5 Eletug Summezeche Das Summezeche ermöglcht ee urze ud exate Notato vo Rehe. Es st verglechbar mt eer for -schlefe aus der Iformat. Uterhalb des Summezeches schrebt ma de Startbedgug für de Laufvarable z.b. 0, oberhalb das Ede z.b., es wrd mmer de Schrttwete verwedet. Schrebt ma efach ur ee Laufvarable uter das Summezeche, so bedeutet des, das alle gaze Zahle durchlaufe werde. Bespele (2 ( 2 ( ( Arbete mt Summezeche E- ud Ausgleder aus der Summe Zusammefasse bzw. Tree Idexverschebug f( g( 2 ( m (f( g( m (2 (3 (4... (( ( 2 Bemerug: alt eu, daraus folgt eu alt. Damt ergbt sch für de Start aus alt,s eu,s 2 ud für das Ede aus alt,e eu,e. 4
6 Aufgabe zum Summezeche Verefache! 0 ( 2 0 ( 2 2 ( ( 2 ( 2 ( ( 2 (( 2 0 ( ( 2 ( ( 2 ( 2 ( 2 2 ( ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 0 5
7 Bewese zur vollstädge Iduto Bomscher Satz (a b ( 0 a b a, b R N 0 Zelesumme ( 2 N 0 Erweterte Defto ( ( c ( c N 0 Z c N 0 0 c Bemerug: Iduto st her über ud c möglch. Bem Awede der IV ud der reursve Defto der Bomeloeffzete st de Awedbaret zu Prüfe, da durch 0 c cht offeschtlch. Evetuell Soderfälle betrachte. Quadratsumme ( 2 ( 2 N 0 Bemerug: Bem Bewes a aus der erweterte Defto (sehe obe geschlussfolgert werde. Iteressat st da de Frage, ob es och e Bewes mt vollstädger Iduto st. Zusatz 0 ( 2 N 0 Wetere Bewese De Schwerget besteht machmal cht ur dar de Weg m Idutosschrtt zu fde, soder auch sch ee geegete Idutosvarable zu suche Bespele gbt es scher vele, uter fdet ma ees davo. 6
Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion
Das Bewesverfahre der vollstädge Iduto Facharbet m Lestugsurs Mathemat Erarbetet vo Torbe Greulch Bewertugsote: 0 Pute Ihaltsverzechs Thema Sete. Eletug. Grudlegede Erläruge 3. Das Bewesverfahre der vollstädge
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
annehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!
Aufgabe ud Lösuge. Rude 0 Über Kommetare ud Ergäzuge zu dese Lösugsbespele freue wr us!» KORREKTURKOMMISSION VORSITZENDER KARL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MATHEMATIK Kortrjer Straße, 577 Bo Postfach 0 0 0,
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap.5: Kombinatorik. Referenzen zum Nacharbeiten:
FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole Dsrete athemat Sebasta Iwaows FH Wedel ap.5: ombator Refereze zum Nacharbete: Lag 5. 5. 7. (Bsp. 4) Beutelspacher 4 (außer Fxpute vo Permutatoe) eel 8 Hacheberger
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten
Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Eplzte Defto Reursve Defto 4. Gleder eer vorher deferte Folge bereche E Gled Mehrere Gleder 6 4 5 4.3 Ee Folge defere ud ege hrer
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Reihen n. Man benutzt letztere Schreibweise aber häufig auch zur Bezeichnung der Partialsummenfolge. konvergiert, die geometrische Reihe.
Deftoe ud Aussge über Rehe Bchräume ud Hlberträume E vollstädger ormerter Vektorrum (sehe Bemerkuge zur Alyss) heßt Bchrum Stmmt de Norm vo eem Sklrprodukt v = , so sprcht m vo eem Hlbertrum ZB sd
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
Kombator Problemstellug Ausgagsput be ombatorsche Fragestelluge st mmer ee edlche Mege M, aus dere Elemete ma edlche Zusammestelluge vo Elemete aus M bldet Formal gesproche bedeutet das: Ist M a,, a ee
Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik
Budeswettbewerb Mathemat Wsseschaftszetrum Postfach 0 4 48 5344 Bo Fo: 08-5 5-0 Fax: 08-5 5- e-mal: fo@budeswettbewerb-mathemat.de www.budeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsso Karl Fegert Aufgabe ud
5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 7, Wintersemester vom 21. Januar 2006
Prof. E.-W. Zk Isttut für Matheatk Huboldt-Uverstät zu Berl Eleete der Algebra ud Zahletheore Musterlösug, Sere 7, Wterseester 2005-06 vo 21. Jauar 2006 1. Se = 2 p 1 Mersee-Zahl, d.h. p P 1. a) Zege:
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion
AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff
Rekurrenz. Algorithmen rufen sich selbst (rekursiv) auf.
Rekurrez Rekurso: Algorthme rue sch selst rekursv u. Rekurrez: Ds Luzetverhlte zw. der Specherpltzedr vo rekursve Algorthme k der Regel durch ee Rekursosormel recurrece, RF eschree werde. Rekurrez Bespel:
KOMBINATORIK. Doina Logofătu Hochschule München, FK und 15 April 2008
KOMINORIK Doa Logofătu Hochschule Müche, FK 7 4 ud prl 8 Was st Kombator? espele für Frage ud ufgabe aus der Kombator. Was mache wr heute? (Dsusso). Przp der Iluso ud Eluso. Schubfachprzp. Permutatoe 4.
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Ein paar einfache q-analoga des binomischen Lehrsatzes
E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
Prof. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: )
Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: grabows@htw-saarlad.de Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:...
Hochschule Darmstadt Fachbereich MK Prof. Dr. Fritz Bierbaum Mathematik I Wintersemester 2017 / 2018 Kapitel 1, Übungen, Seite 1/7
Hohshule Darmstadt Fahbereh K Prof Dr Frtz Berbaum athematk I Wtersemester 0 / 08 Kaptel, Übuge, Sete / Aufgabe We es x Lter auf de Quadratmeter reget, we hoh steht da das Wasser m Aufgabe Gegebe sd utershedlhe
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Definitionen und Aussagen zu Ringen
Deftoe ud Aussage zu Rge Mchael Hortma, 1142002 Währed wr es be Gruppe mt ur eer Operato zu tu habe, kee wr zb vo de gaze Zahle das Zusammespel zweer Operatoe, Addto ud Multplkato, wobe charakterstsch
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
Seminar aus reiner Mathematik
KARL FRANZENS UNIVERSITÄT RAZ Semar aus reer Mathemat E Lob der Uglechuge Tscherutter Dael 4. November 03 INHALTSVERZEICHNIS Eletug 3 Bewese der Uglechuge 4. Cauchy-Schwarz-Uglechug.............................
Rekurrente Markovketten
Rekurrete Markovkette Im vorge Vortrag wurde der Begrff der Rekurrez eer Markovkette egeführt. Dese woe wr jetzt geauer utersuche. Im Fogede se mmer {X N 0 } ee homogee Markovkette. Defto. () Ee Zufasvarabe
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
Vorkurs, Teil 1. (3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap )
Vorkurs, Tel Lehrbuch: Sydsaeter / Hammod, Mathematk für Wrtschaftswsseschaftler, Pearso Studum, ISBN 978-3-873-73-9 Skrpt vo Sevtap Kestel Ihalt () Eführug: Zahle, Fuktoe Potezfukto, Expoetalfukto (Lehrbuch
Die Methode des 2.Moments
De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, 2004 1 Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X
Multiple Regression (1) - Einführung I -
Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen
.. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt
Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,...,
Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung
8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
$Id: reihen.tex,v /12/11 13:20:28 hk Exp $
Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag 11.12 $Id: rehe.tex,v 1.36 2017/12/11 13:20:28 h Exp $ 5 Rehe 5.2 Grudegeschafte vo Rehe Wr wolle desem Abschtt och ee letzte allgemee Aussage festhalte. Wr wsse
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung
Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
6.Hashing. Vorlesung Algorithmen (RN/MK/AZ) WSI für Informatik, Universität Tübingen 1
6.Hashg Hash-Tafel ( Streutafel ) dee zur Ipleeterug vo Wörterbücher (Dctoares) ud solle daher de Operatoe Zugrff, Efüge ud Streche uterstütze. Ausgagslage: Uversu U [... N-], S U st de zu verwaltede Mege.
Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen
IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass
Kapitel III. Lagemaße. die beobachteten Werte eines Merkmals X mit Ausprägungen a 1
aptel III Lagemaße D (Artmetsces Mttel) See,,, de beobactete Werte ees Merkmals X mt Auspräguge a, a,, a k Als artmetsces Mttel (für ctgrupperte Date) bezecet ma: = = (efaces) k = a H ( a ) (gewogees)
Kapitel 6: Regression
udwg-maxmlas-uverstät Müche Isttut für Iformatk ehr- ud Forschugsehet für Datebaksysteme Skrpt zur Vorlesug Kowledge Dscovery Databases m Sommersemester 05 Kaptel 6: Regresso Vorlesug: PD Dr. Arthur Zmek
1 Elementare Finanzmathematik
Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput
Ausarbeitung UNENDLICHKEIT DER PRIMZAHLEN
Phls-Uverstät Marburg Isttut für Mathemat SE: Klasssche Probleme Letug: Bejam Schwarz Referet: Ies Davd WS 09/0 Ausarbetug UEDLICHKEIT DER PRIMZAHLE Ihaltsverzechs EILEITUG... BEWEIS VO EUKLID... 3 BEWEIS
Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig
Üerscht üer essuscherhetserechuge vo der Darstellug der Ehet des Drehmometes üer de Wetergae s h zur Aedug ud Bespel eer Ope-ource-Aedug dafür Drk Röske Physkalsch-Techsche Budesastalt, Brauscheg Darstellug
Einführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
Interpolationspolynome
Iterpolatospolyome Ac Gegebe sd +1 Stützstelle x 0 bs x zusamme mt hre Stützwerte y 0 bs y. Durch de Pukte ( x / y ) soll e Polyom p(x) -te Grades gelegt werde : p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + + a x = Das
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
Programmierung und Angewandte Mathematik
Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk C++ /Sclb Progrmmerug ud Eführug ds Kozept der objektoreterte Aweduge zu wsseschftlche Reches SS Ihlt Folge Rehe Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Taylor-Entwicklung der exakten Lösung und Verfahrensfehler
Lösug ud Verfaresfeler Ngaleu Poutceu Paul Fracs Fracsc@upb.de 8.6.4 Semar Numerk 1 Lösug ud Verfaresfeler Beobactug, Defto ud Notato Beobactug Notato Taylor-Etwcklug Defto ud Bespele Satz ud Bewes Verfaresfeler
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr
5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =
(0) = 0 mit Mittelwert μi
Semarvortrag vo Xaotog Guo am 26. Ma 29 5. Da dvduelle Romodell 5. Eletug Geamtchadeumme (olletve Romodell) - N : de Azahl Ezelchde,ZV N S = X - X : de Schadehhe,ZV X t detch vertelt - N, X, X,... tochatch
die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.
( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen
Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese
Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft
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Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt
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Lösungen. Lösung zu d):
Löuge Löug zu a De Date chee ch äherugwee etlag eer Gerade potoert zu e. Da lät cho recht gut vermute, da e learer Zuammehag vorhade e köte. Löug zu b We e Ateg/ee Abahme der Deutche Bak Akte auch zu eem
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
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