Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

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1 Brückenkurs Mathematik Dienstag Freitag Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch

2 Mengen Natürliche Zahlen Summenzeichen Vollständige Induktion Teiler, Primfaktorzerlegung Ganze Zahlen Rationale Zahlen Produktzeichen, Fakultät Binomialkoeffizienten, Binomischer Lehrsatz Reelle Zahlen Potenzen mit Rechenregeln Wurzel Ordnungseigenschaften in IR Intervalle Betrag, Abstand Aussage, Aussagenlogik Junktoren, Wahrheitstafeln Aussageformen, Quantoren Beweismethoden

3 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 1 Mengen (nach Cantor) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmter wohl unterscheidbarer Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung. Die Objekte m in einer Menge M heißen Elemente. Man schreibt: m M, wenn m Element von M ist, m M, wenn m kein Element von M ist. M := {m 1, m 2, m 3 aufzählende Form M := { m A(m) } beschreibende Form := {} leere Menge := bedeutet wird festgelegt als oder auch wird definiert als. Beispiele M 1 := {a, b, c, d}, aufzählend M 2 := {2, 4, 6, 8, 10}, aufzählend M 3 := {Alle Buchstaben im Alphabet von a bis f}, beschreibend M 4 := { m IN } m ist gerade, beschreibend.

4 2 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Beziehungen zwischen Mengen A = B, Gleichheit: A und B besitzen die gleichen Elemente A B, Teilmenge: die Elemente von A sind in B enthalten B A, Obermenge: B enthält die Elemente von A x A B, Vereinigungsmenge: x gehört zu A oder zu B x A B, Schnittmenge: x gehört zu A und zu B x A \ B, Differenzmenge: x gehört zu A und nicht zu B Gilt A B =, dann heißen A und B disjunkt. Beispiele 1. {a, d, f} {a, b, c, d} = {a, d}. 2. {a, d, f} {a, b, c, d} = {a, b, c, d, f}. 3. {1, 4, 7} \ { n IN n ist gerade } = {1, 7}.

5 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 3 Natürliche Zahlen Ein Axiom im klassischen Sinne (Euklid/Aristoteles) ist ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip, welches nicht beweisbar ist. Die natürlichen Zahlen IN sind durch die folgenden Axiome eindeutig charakterisiert: 1 ist eine natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl n besitzt genau einen Nachfolger n + 1. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist. Jede natürliche Zahl (außer 1) ist der Nachfolger genau einer anderen natürlichen Zahl. Diese Axiome formalisieren die intuitive Vorstellung des Zählens mit Hilfe der natürlichen Zahlen: IN = {1, 2, 3, 4, 5,... }. Bemerkung: Für IN vereinigt mit der Zahl Null, schreibt man IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... }.

6 4 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Für die Rechenoperationen + und und k, n, m IN 0 gelten: Kommutativgesetze n + m = m + n und n m = m n Assoziativgesetze (k+n)+m = k+(n+m) und (k n) m = k (n m) Distributivgesetz k (n + m) = k n + k m 0 ist neutrales Element für + n + 0 = n 1 ist neutrales Element für n 1 = n Es gibt keine inversen Elemente für + und in IN, d.h. es gibt kein n IN, mit beispielsweise 5 + n = 0 oder 5 n = 1.

7 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 5 Das Summenzeichen Gegeben seien n Zahlen die mit dem Index k = 1, 2, 3,..., n durchnumeriert werden, also Beispiel: a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n. a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16, a 5 = 25 a 6 = 36, a 7 = 49, a 8 = 64, a 9 = 81, a 10 = 100 a 11 = 121, a 12 = 144, a 13 = 169, a 14 = 196, a 15 = 225 a 16 = 256, a 17 = 289, a 18 = 324, a 19 = 361, a 20 = 400 a 21 = 441, a 22 = 484, a 23 = 529, a 24 = 576, a 25 = 625 Kurzschreibweise: a k = k 2 mit k = 1, 2, 3, 4,..., 25 Die Summe der Zahlen a 1 bis a n wird abkürzend mit dem Summenzeichen geschrieben: Beispiel: a 1 + a a n =: n a k. k=1 25 k=1 k 2 =

8 6 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Vollständige Induktion Eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0 kann mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden. Das Beweisprinzip Induktionsanfang: Hier muss gezeigt werden, dass A(n 0 ) richtig ist. Induktionsschritt: Hier muss für ein n n 0 Folgendes bewiesen werden: aus A(n) folgt A(n + 1) A(n) heißt Induktionsannahme und wird als richtig für ein n n 0 angenommen. Diese Annahme ist nicht unbegründet, wie der Induktionsanfang zeigt. A(n + 1) heißt Induktionsbehauptung A(n 0) A(n 0 + 1) A(n 0 + 2) A(n) A(n + 1)

9 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 7 Beispiel Kurzschreibweise: n = Zeige: Für alle n IN gilt die Aussage n n(n + 1) A(n) : k =. 2 k=1 n k k=1 Beweis: Induktionsanfang: n = 1: A(1) : 1 k = 1 = k=1 Induktionsschritt: n n + 1: (Induktionsannahme = IA): Die Aussage sei wahr für ein n 1. n+1 k=1 k = = ( n ) k + (n + 1) IA = k=1 n(n + 1) + 2(n + 1) 2 = n(n + 1) 2 + (n + 1) (n + 1)(n + 2) 2 Damit ist die Aussage für alle n 1 gezeigt.

10 8 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Die natürliche Zahl n IN heißt Teiler von m IN, falls eine natürliche Zahl k IN existiert, so dass m = k n gilt. m ist dann ein Vielfaches von n. Jede natürliche Zahl m besitzt die Teiler 1 und m. Die natürliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sie nur die zwei (verschiedenen) Teiler 1 und p besitzt. Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl kann man als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen. kgv(m, n): kleinstes gemeinsames Vielfaches von m und n ggt(m, n): größter gemeinsamer Teiler von m und n

11 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 9 Beispiel Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Primfaktorzerlegung: 100 = = , 70 = 2 5 7, 121 = = kgv(100, 70) = = 700, ggt(100, 70) = 2 5 = 10, ggt(121, 100) = 1 teilerfremd, kgv(121, 100) =

12 10 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Ganze Zahlen Erweitert man IN 0, also die natürlichen Zahlen mit Null, indem man jeder natürlichen Zahl n ein eindeutiges inverses Element der Addition n zuordnet, so erhält man die ganzen Zahlen Z := {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Addition + und Multiplikation, Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz und neutrale Elemente lassen sich auf natürliche Weise auf die ganzen Zahlen übertragen.

13 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 11 Rationale Zahlen Erweitert man Z\{0}, also die ganzen Zahlen ohne Null, indem man jeder Zahl m ein eindeutiges inverses Element der Multiplikation 1 m zuordnet, so ergeben sich die rationalen Zahlen (Brüche) Q := { n m n Z, m IN }. n heißt Zähler und m Nenner des Bruches. Für diese Menge gilt die Teilmengenbeziehung: IN Z Q. Die so definierte Addition und Multiplikation auf Q ist assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Zudem gibt es neutrale und inverse Elemente der Addition und Multiplikation.

14 12 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Das Produktzeichen wird analog zum Summenzeichen definiert Fakultät n a k = a 1 a 2 a n. k=1 Für alle n IN 0 ist die Fakulät wie folgt definiert: 0! := 1, n! := 1 2 n = n k, n > 0. k=1 Beispiel n! = Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte in Reihenfolge zu bringen: Beispielsweise drei Objekte a, b, c können auf 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten angeordnet werden: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

15 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 13 Binomialkoeffizienten Für die( natürlichen ) Zahlen k n ist der Binomialkoeffizient (Sprechweise: n über k) wie folgt definiert: n k ( ) n k := n! k! (n k)! = (n k + 1) (n 1) n k! Speziell ist: ( ) n 0 := 1 = ( ) n, n ( ) n 1 = n. Beispiel Die verschiedenen Möglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 6 Zahlen aus 49 auszuwählen: ( ) 49 6 = 49! 6!43! = = =

16 14 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Pascalsches Dreieck ( 0 0) ( 1 0) ( 1 1) ( 2 0) ( 2 1) ( 2 2) ( 3 0 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) Die Addition zweier benachbarter Zahlen einer Zeile, von denen Pfeile ausgehen, ergeben den Eintrag in der nächsten Zeile auf den die Pfeile führen. In Formeln bedeutet dies ( n k 1 ) ( ) ( n n = k k ).

17 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 15 Die Binomischen Formeln erste Formel: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 zweite Formel: (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 dritte Formel: (x + y) (x y) = x 2 y 2 Der Binomische Lehrsatz Für beliebige x, y IR gilt: (x + y) n = n k=0 ( ) n x n k y k. k

18 16 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Beispiele (x + y) 2 = = 2 k=0 ( ) 2 x 2 k y k k ( ) 2 x ( ) 2 xy + 1 ( ) 2 y 2 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 = = 3 k=0 ( ) 3 x 3 k y k k ( ) 3 x ( ) 3 x 2 y + 1 ( ) 3 xy ( ) 3 y 3 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

19 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 17 Reelle Zahlen Die reellen Zahlen IR sind die Vervollständigung der rationalen Zahlen Q: Jede reelle Zahl x IR ist der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen q n Q, n IN. Es gilt Q IR und Q IR, denn zum Beispiel ist 2 eine reelle, aber kein rationale Zahl. Weitere bekannte Beispiele sind e, π IR \ Q. Addition + und Multiplikation, Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz und neutrale und inverse Elemente lassen sich auf natürliche Weise auf die reellen Zahlen übertragen.

20 18 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Potenzen Für a IR, n IN ist die Potenz definiert: n a n := a } {{ a} = a. n mal n heißt Exponent und a Basis. Rechenregeln für Potenzen k=1 a 0 = 1, a 0, a n = 1 a n, a 0, n IN, a n+m = a n a m, (a n ) m = a nm, a 0, n, m Z, (ab) n = a n b n. Beispiele (Es gilt Potenz- vor Punkt- und vor Strichrechnung!) 1. ( 3 2 ) 3 = ( 3 2 ) ( 3 2) ( 3 2) = 3 (2+2+2) = 3 6 = ( 2 3 ) = 3 (2 2 2) = 3 8 = = = 34 3 = 4 3(4 4) = 3 0

21 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 19 Wurzel Sie a 0. Die eindeutige nichtnegative Lösung x 0 von x 2 = a ist die (positive) Quadratwurzel x = a = a 1 2. Die eindeutige nichtnegative Lösung x 0 von x n = a für n IN ist die n-te Wurzel x = n a = an. 1 Es gelten die Rechenregeln für Potenzen! Beispiele = 5 5 = (5 2 ) 2 1 = = 5 1 = = = = x 12 = ( 2 6 x 12)1 3 = ( 2 6)13 (x 12)1 3 = x = 2 2 x 4 = 4x 4

22 20 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen Die reellen Zahlen sind angeordnet, d.h. je zwei reelle Zahlen x, y IR lassen sich der Größe nach miteinander vergleichen: Für a, b, c IR gilt: 1. a b oder b a, 2. a a, 3. aus a b und b a folgt a = b, 4. aus a b und b c folgt a c. Beispiele Aus x 5 und 5 x folgt x = 5. Aus x 5 und 5 y folgt x y

23 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 21 Intervalle: Seien a, b IR beliebig mit a b, [a, b] := { x IR a x b }, abgeschlossenes Intervall ]a, b[ := { x IR a < x < b }, offenes Intervall [a, [ := { x IR a x }. Der Ausdruck bezeichnet keine Zahl, d.h. ist nicht einfach eine unendlich große Zahl am Ende des reellen Zahlenstrahls. ist immer die Abkürzung für einen Grenzprozess. Wir können mit nicht wie gewohnt rechnen! Beachte: beispielweise können 1 und 0 jeden beliebigen Wert annehmen und sind nicht als Produkt zweier Zahlen misszuverstehen.

24 22 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Betrag Der Betrag einer reellen Zahl x IR ist ihr Abstand zum Nullpunkt, d.h. x := { x, 0 x x, x < 0. Eigenschaften des Betrages Für x, y IR besitzt der Betrag folgende Eigenschaften: 1. x 0, 2. x = 0 daraus folgt x = 0, 3. x y = x y, 4. x + y x + y. Der Abstand zwischen zwei Zahlen x, y IR wird durch den Betrag x y gemessen.

25 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 23 Beispiel 1 x = 4, y = 7 daraus folgt x y = 4 7 = 11. Beispiel 2 Für welche x IR gilt: x + 1 > 4? 1. Fall: x x 1 2.Fall: x + 1 > 4 x > 3 x + 1 < 0 x < 1 (x + 1) > 4 x + 1 < 4 x < 5 Die Lösungsmenge lautet also L = { x IR x > 3 oder x < 5. }.

26 24 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Aussagenlogik Die kleinste Einheit der Aussagenlogik ist die Aussage. Aussage Eine Aussage ist eine sprachliche Formulierung (in der Regel ein grammatikalisch korrekter Satz) für den es nur die beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch gibt. ( tertium non datur ). Beispiele A : 3 3 = 9 wahre Aussage B : = 9 falsche Aussage C : Welcher Tag ist heute? keine Aussage D : Geh in die Mensa! keine Aussage

27 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 25 Bemerkungen Entscheidend ist, dass jeder Aussage ein Wahrheitswert (wahr oder falsch) zugeordnet werden kann, nicht, ob irgend jemand feststellen kann, ob diese Aussage nun tatsächlich wahr oder falsch ist. Der Inhalt oder die richtige grammatikalische Struktur eines Satzes ist nicht Gegenstand der Aussagenlogik. Aussagen können miteinander verknüpft werden. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage bestimmt sich allein durch die Wahrheitswerte der daran beteiligten elementaren Aussagen.

28 26 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Verknüpfung von Aussagen Mit Junktoren (Verknüpfungen) werden mit elementaren Aussagen A, B neue Aussagen konstruiert. Der Wahrheitswert der verküpften Aussage wird mit Hilfe von Wahrheitstafeln angeben. Übersicht: Junktoren zwischen Aussagen Negation nicht Disjunktion oder Konjunktion und Implikation wenn, dann Äquivalenz genau dann, wenn

29 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 27 Negation: nicht A A Die Negation von A ist also genau dann wahr, wenn A falsch ist, und genau dann falsch, wenn A wahr ist. Beispiele A : (3 3 = 9) (3 3 9) falsche Aussage, B : (3 + 3 = 9) ( ) wahre Aussage.

30 28 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Disjunktion: oder A B A B Die Disjunktion von zwei Aussagen, ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Beispiele A B : (3 3 = 9) (3 + 3 = 9) wahre Aussage A A A A Eine von beiden Aussagen A oder A ist immer wahr.

31 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 29 Konjunktion: und A B A B Die Konjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, ansonsten falsch. Beispiel A A A A Widerspruch: In einer zweiwertigen Aussagenlogik sind niemals gleichzeitig A und A wahr.

32 30 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Implikation: wenn..., dann... A B A B Die Aussage (Wenn A, dann B) ist falsch, wenn A wahr ist und B falsch, wenn also aus einer wahren Aussage eine falsche gefolgert wird. Die logische Wenn-dann-Beziehung kann eine kausale Ursache-Wirkung-Beziehung sein, muss es aber nicht. Die beiden Aussagen müssen inhaltlich nichts miteinander zu tun haben und können dennoch eine wahre Folgerungsaussage bilden.

33 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 31 Beispiel Für alle n IN mit n > 2 ist folgende Implikation wahr: n ist eine Primzahl }{{} A(n) n ist ungerade }{{} B(n) Wenn n keine Primzahl ist: d.h. wenn A(n) falsch ist, dann ist n entweder gerade oder ungerade, d.h. die Folgerung B(n) ist wahr oder falsch. Die Implikation A(n) B(n) ist aber in beiden Fällen wahr. Wenn n eine Primzahl ist: d.h. wenn A(n) wahr ist, dann ist n auch immer ungerade, d.h. B(n) ist auch wahr, die Implikation A(n) B(n) ist also wahr.

34 32 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Die Umkehrung: B(n) A(n) für alle n IN mit n > 2 ist nicht wahr. n ist ungerade }{{} B(n) n ist eine Primzahl }{{} A(n) Denn es gibt eine Zahl n = 15, die ungerade ist, aber keine Primzahl ist, in diesem Fall ist also die Aussage B(n) wahr, aber A(n) falsch, und somit ist die Implikation nicht wahr für dieses n und damit nicht für alle n wahr. notwendige Bedingung Die Aussage B(n), d.h. n ist ungerade, ist eine notwendige Bedingung für A(n), d.h. n ist eine Primzahl. hinreichende Bedingung B(n) ist keine hinreichende Bedingung für A(n). Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der ungeraden Zahlen.

35 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 33 Äquivalenz: genau dann, wenn A B A B Die Gesamtaussage (genau dann A, wenn B) ist genau dann wahr, wenn beide Einzelaussagen A, B denselben Wahrheitswert besitzen, ansonsten falsch. Dabei ist es nicht erforderlich, dass die beiden Aussagen A, B einen inhaltlichen Zusammenhang besitzen. Sind zwei Aussagen A, B äquivalent, d.h. ist A B eine wahre Aussage, können A und B überall durcheinander ersetzt werden. Beispiele (3 3 = 9) Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind gerade. n IN : n ist gerade n ist durch 2 teilbar.

36 34 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Aussageformen Man spricht von einer Aussageform, wenn eine Aussage A(x) von einer freien Variablen x abhängt (ggf. auch von mehreren). Eine Aussageform besitzt keinen Wahrheitswert. Erst wenn für die Variable x konkrete Objekte verwendet werden, wenn sie beispielsweise durch einen Quantor gebunden wird, wird die Aussageform in eine Aussage überführt. Solche quantifizierten Aussageformen, bei denen auch die innere Struktur analysiert wird, sind Gegenstand der Prädikatenlogik, einer Erweiterung der Aussagenlogik. Quantoren : Allquantor, für alle : Existenzquantor, es gibt 1 : Existenzquantor, es gibt genau

37 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 35 Beachte die Reihenfolge der Quantoren und der Verknüpfungen: x y : A(x, y) y x : A(x, y) x : B(x) x : B(x). Beispiel x ist ein Element aus der Menge aller Kinder, y ist ein Element aus der Menge aller Frauen. A(x, y) : x ist das Kind von y. x y : A(x, y) y x : A(x, y) wahr. falsch.

38 36 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Beweismethoden Ein Beweis einer Aussage B besteht aus einer Kette von Aussagen, die zueinander in gültigen Folgerungsbeziehungen stehen und an deren Ende die Wahrheit der Aussage B folgt. Direkter Beweis Ausgehend von einer wahren Aussage A (Voraussetzung) folgert man durch gültige Implikationen die zu beweisende Aussage B (Behauptung). A... B Beispiel Sei A : x > 1. und B : 6x + 3 > 3x + 6. Beweise die Aussage A B: A : x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6 : B.

39 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 37 Indirekter Beweis Ausgehend von B erzeugt man durch gültige Implikationen einen Widerspruch zu einer wahren Aussage A (Voraussetzung), d.h. man erhält die falsche Aussage A A. Daraus folgt die Falschheit der Annahme B und also die Wahrheit von B. B... A. Beispiel Sei n IN beliebig: A : n 2 ist gerade, B : n ist gerade. Beweise A B indirekt:

40 38 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 2 Sei B : n ist ungerade. m IN : n = 2m + 1 n 2 = (2m + 1) 2 n 2 = 4m 2 + 4m + 1 n 2 = 2(2m 2 + 2m) + 1, n 2 = 2k + 1 n 2 ist ungerade. : A. k := 2m 2 + 2m IN Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung A, denn A A ist falsch. Da die Implikationen wahr sind, muss somit A B falsch sein und damit B. Es folgt also die Wahrheit von B.