2.4. GAUSSSCHER SATZ π ε 0 r 2. π r 2)

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1 2.4. GAUSSSCHER SATZ Gaußscher Satz Das Fel einer Punktlaung genügt er Gleichung: E = 1 4 π ε 0 Q r 2 Desweiteren berechnet sich ie Oberfläche einer Kugel, eren Punkte vom Mittelpunkt en Abstan r haben zu: A = 4 π r 2. Deshalb ist as Proukt aus E = E (auf er Kugeloberfläche, also bei konstantem r) un A: E A = = ( ) 1 Q (4 π r 2) 4 π ε 0 r 2 = Q ε 0 (2.24) eine Konstante. Nun ist E ein Vektor. Ebenso kann man einen Flächenvektor A efinieren, er senkrecht auf einer Oberfläche eines Objektes (Volumens) steht un von innen nach außen zeigt, z.b. würe man ie Oberfläche eines Deckel eines Kubus mit Kantenlänge a, er entlang er kartesischen Koorinaten ausgerichtet ist, mit A Deckel = a 2 e z bezeichnen. Die Oberfläche es Boens wäre ann A Boen = a 2 e z. Für gekrümmte Oberflächen, wie ie einer Kugel, kann man nur kleine Oberflächensegmente betrachten, ie man (meist) lokal als nicht gekrümmt annähren kann. Als Beispiel iene ie Oberfläche er Ere, ie lokal flach erscheint. Bei einer Kugel ist as Oberflächensegment parallel zu r, wenn er Schwerpunkt er Kugel im Koorinatenzentrum liegt. Also ist A parallel zu r. Wir können also Gleichung 2.24 auch schreiben, inem wir kleine Oberflächensegmente betrachten un ann jeweils eren Beiträge A E über ie gesamte Kugeloberfläche summieren. Das

2 24 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK resultierene Integral schreibt man formal wiefolgt: E A = 1 ε 0 Q eingeschlossen. (2.25) Dabei beeutet as Symbol A... eine Summation bzw. Integration über eine geschlossene Oberfläche, also über ie Hülle eines Volumens. A r = A r cos α, wobei α er Winkel zwischen A un r ist. Auf er Kugeloberfläche, eren Schwerpunkt im Ursprung es Koorinatensystems liege, ist cos α = 1. Man kann en Ausruck A E auch als Fluss es Vektorfeles E urch ie Oberfläche bezeichnen. Betrachten wir als Beispiel wieer unseren Kubus un nehmen ein konstantes E- Fel er Form E 0 e z an, also eins as parallel zur z-achse ist. Die Fellinien treten ann urch en Boen ein, wo A E negativ ist un sie treten urch en Deckel wieer aus, wo A E positiv wäre. Insgesamt treten also gleich viele Fellinien ein wie aus. Durch ie Seiten geht kein Fluss, weil in iesem Beispiel E e x = 0 bzw. E e y = 0. In iesem Beispiel würe A E = 0 gelten, sprich es gibt keinen resultierenen Fluss in en Kubus, enn es fließt urch en Boen soviel hinein, wie urch en Deckel wieer hinausfließt. Der Begriff Fluss stammt im Übrigen aus er Strömungslehre, in er man en Begriff ann urchaus wörtlich nehmen arf. Betrachten wir wieer en allgemeinen Fall. Dazu gibt es einige Anmerkungen: Anmerkungen: Gleichung 2.25 gilt auch, wenn ie Laung nicht im Zentrum er Kugel sitzt (ohne Beweis). Gleichung 2.25 gilt auch, wenn ie Oberfläche eine beliebige Form hat (wieer ohne Beweis). Gleichung ist isomorph (mathematisch ientisch) zum Coulomb-Gesetz. Eine raialsymmetrische Verteilung ρ (R) = ρ ( R ) kann so behanelt weren, als sei ie

3 2.4. GAUSSSCHER SATZ 25 gesamte Laung im Schwerpunkt er Laungsverteilung vorhanen. Es sei angemerkt, ass alles, was wir hier gesagt haben, ebenso für as Gravitationsgesetzt gilt, as abgesehen von Konstanten mit em Coulomb-Gesetz ientisch ist. Insbesonere er letzte Punkt unserer Anmerkungen spielt im Gravitationsgesetz eine wichtige Rolle: Die Gravitationswirkung eines Planeten, en man in aller Regel als kugelsymmetrisch annehmen kann, entspricht er Wirkung einer Punktmasse, sprich er Gesamtmasse es Planeten, ie im Schwerpunkt es Planeten vereinigt ist. Dies gilt auch, wenn ie Objekte sich sehr nahe an Planeten befinen, wie z.b. Satelliten. Würe as Coulomb-Gesetz von 1/r 2 abweichen, könnte man as Konzept von Punktmassen, oer analog Punktlaungen, nicht vornehmen. So ist ie Anziehungskraft zwischen zwei homogenen, nichtgelaenen Kugeln auf er Ere nicht einfach eine Funktion es Abstanes ihrer Schwerpunkte, weil ie ominierene van-er-waals Kraft mit 1/R 6 statt mit 1/R 2 abfällt. Aus Gleichung 2.25 folgt, ass er Gesamtfluß von elektrischen Fellinien urch eine geschlossene Oberfläche gleich null ist, wenn sie keine Laung umschließt. Ist A E positiv bzw. negativ muss ie von er Oberfläche eingeschlossene Laung in ihrer Summe jeweils positiv bzw. negativ sein. Deshalb haben wir vorher avon gesprochen, ass positive Laungen ie Quellen es elektrischen Feles sin un negative Laungen ihre Senken. Ebenso bekommt er Satz, ass elektrische Feler Start- un Enpunkte nur in Laungen haben, eine tiefere Beeutung. Betrachte en links gezeichneten (infinitesimal) ünnen Diskus. Für ihn gilt: E A = 0 ag replacements Jeer Fluss es Feles, er in ein Volumen geht (E A), geht auch wieer unveränert heraus, a keine Laung im (Diskus-) Volumen enthalten ist.

4 26 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK E A = positiv negativ lacements + Wenn wir über einen Dipol integrieren, soass beie Laungen von unserer Oberfläche eingeschlossen sin, gilt: Q eing. = +e + ( e) = 0 E A = 0 Weitere Konsequenzen es Gauss schen Satzes sin: Eine Kugel mit homogener Oberflächenlaung hat kein inneres E-Fel. Das Konzept es Massenpunktes bzw. Laungspunkt bezieht sich also nur auf ie Massen/Laungen, ie einen kleineren Abstan vom Ursprung haben als man selbst. Inuzierte Laungen in Metallen sitzen auf Oberflächen. Ansonsten hätte man elektrische Fellinien innerhalb eines Metalls, was aber nicht erlaubt ist, weil ann Laungen anfangen zu fließen, ie as E-Fel kleiner machen. Anwenungen: Berechnung elektrischer Feler von hochsymmetrischen Strukturen 1. Beispiel: Fel einer homogen gelaenen Kugel. Die Kugel habe en Raius R un ie konstante Laungsichte ρ = Q V. Berechne as innere E-Fel einer homogen gelaenen Kugel mit er Laungsichte Aus Symmetriegrünen: E r (Kugel im Zentrum) E A = E A = E 4 π r 2

5 2.4. GAUSSSCHER SATZ 27 Berechnung er eingeschlossenen Laung für r R: Eingesetzt in en Gaußschen Satz: Q eing. = ρ V ( ) 4 π = ρ 3 r3 E 4 π r 2 = 1 ε 0 ρ E = ρ ε 0 r ( ) 4 π 3 r3 Innerhalb er Kugel steigt as Fel linear an. Außerhalb muss es gemäß es Coulombgesetzes abfallen. Daher ergibt sich folgenes Bil: E PSfrag replacements R Kugel Interessant: Im Ursprung ist E = 0, was aber aus Symmetriegrünen sowieso unvermeibar war. Eine Einheitenanalyse hätte uns schon ahnen lassen müssen, ass E ρr sein muss, a as innere Fel gemäß Gauß nicht vom äußeren Raius abhängen kann. ([ρ] = C/m 3 ) 2. Beispiel: Homogen gelaener Draht Der als unenlich ünne genäherte Draht habe eine homogene (Linien-) Laungsichte λ = Q Z = const.

6 28 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK z replacements r Wenn er Draht urch en Ursprung (0, 0, 0) geht un auf er z-achse liegt mit R = (x, y, z) E (R) = E ( ) x2 + y 2 (x, y, 0) }{{}}{{} Abstan von z-achse raialer Vektor z replacements A Deckel = π r 2 e z Da E e x A Deckel = A Boen kein Fluss urch en Deckel A Seite = (2 π r) }{{}}{{} z Umfang Höhe A Seite E E A Seite = A Seite E(r) = (2 π r z) E(r) Q eing. = λ z

7 2.4. GAUSSSCHER SATZ 29 Gleichsetzen liefert: (2 π r z) E(r) = λ z E(r) = λ 2 π r Siehe hier Gleichung 2.5, in er wir en Abstan vom Draht mit a statt mit r bezeichnet haben. Die numerische Konstante N, ie wir in Gleichung 2.5 haben, ist also N = 2. Die Berechnung es E-Feles hat sich urch en Gauß schen Satz stark vereinfacht - un kann nun mit etwas Übung in zwei Zeilen geschehen, statt über ie Berechnung eines (komplizierten) Integrals. Allering mussten wir azu etwas Mathematik lernen. 3. Beispiel: Fel einer homogen gelaene Platte Die als unenlich ünn genäherte Platte liege in er xy Ebene un habe eine konstante Flächenlaungsichte σ = Q A placements E e z : z > 0 E e z : z < 0 E A Deckel = E A Deckel E A Boen = E A Boen Es finet kein Fluss urch ie Seiten statt E A Seite = 0 E A = E A Deckel + E A Boen eingeschlossene Laung: A = A Boen = A Deckel Q eing. = σ A 2 A E = 1 ε 0 σ A oer E = σ 2 ε 0 Dies ist auch ein Ergebnis, as wir vorher nur mit sehr viel mehr Aufwan erzielen konnten.