Felder und Wellen WS 2016/2017

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1 Felder und Wellen WS 216/217 Musterlösung zum 2. Tutorium 1. Aufgabe (**) Berechnen Sie das el. Feld einer in z-richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich dünnen Linienladung der Ladungsdichte η pro Längeneinheit. Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem. q r L R Vorbemerkung: Die Maxwellgleichungen sind lineare Differential (Integral)gleichungen, die die Felder in Abhängigkeit von Ladungen, Strömen (und anderen Feldern) beschreiben. Daraus folgt, daß z.b. im elektrostatischen Fall die Ladungsverteilung und das elektrische Feld die gleichen Symmetrieeigenschaften besitzen müssen. Die Ladungsverteilung ist rotationssymmetrisch um die z-achse. Das geeignete Koordinatensystem sind Zylinderkoordinaten. Die Ladungsverteilung ist außerdem in z- Richtung unendlich ausgedehnt. Unendliche Ausdehnung kann als Translationssym-

2 metrie aufgefaßt werden. Das E-Feld kann also weder von z noch von ϕ abhängen. E r (r,ϕ,z) E r (r) E = E ϕ (r,ϕ,z) = E ϕ (r) E z (r,ϕ,z) E z (r) Für den nächsten Schritt wird die Maxwellgleichung Ed s = benötigt. Das bedeutet, daß das Linienintegral der elektrischen Feldstärke entlang eines beliebigen geschlossenen Weges gleich Null sein muß (im elektrischen Fall). Die ϕ-richtung verläuft parallel zum Zylindermantel. Nun wird ein Kreis um den Mantel des Zylinders betrachtet (in ϕ-richtung). Die ϕ-komponente müsste wegen der Rotationssymmetrie um die Achse senkrecht zum Kreis entweder überall auf dem Kreis in +ϕ oder überall in ϕ Richtung zeigen. Damit wäre das Integral von E entlang des Kreises 2πrE ϕ (r), im Widerspruch zu den Maxwellgelichungen. Deshalb muß E ϕ = sein. Eine E z -Komponente existiert nicht, weil die Ladungsverteilung zu einer beliebigen Ebene senkrecht zur z-richtung spiegelsymmetrisch ist. Daraus folgt: E(r,ϕ,z) = E r (r) e r Als Integrationsfläche wird ein Zylinder der Länge L und dem Radius R um die z-achse gewählt. Es wird die Maxwellgleichung ε Ed f = dv verwendet. Die beiden Stirnflächen tragen nichts zum Oberflächenintegral bei, da das E-Feld parallel zu ihnen verläuft. Das infinitesimale Oberflächenelement der Mantelfläche lautet L 2 L 2 2π d f = e r rdϕdz ε E r (r) e r e r rdϕdz = 1 Das Volumenintegral auf der rechten Seite ist gleich der im Zylinder der Länge L eingeschlossenen Ladung η L. 2πε L re r (r) = η L Die Länge des als Integrationsfläche verwendeten Zylinders kürzt sich heraus. Das war zu erwarten, da das elektrische Feld der unendlich ausgedehnten Ladung nicht von der Länge des verwendeten Zylinders abhängen kann. E = E r (r) e r = η e r 2πε r dv

3 2. Aufgabe (*) Berechnen Sie den Fluß Ψ des elektrischen Feldes einer Punktladung im Ursprung durch eine beliebige Kugel um den Ursprung. Bestätigen Sie, dass der Fluß unabhängig vom Radius der Kugel ist. E-Feld einer Punktladung in Kugelkoordinaten: E r = 4πε r 2, E ϑ =, E ϕ = E r E(r,ϑ,ϕ) = E ϑ = 4πε E r 2 e r ϕ Normalenvektor und infinitesimales Flächenelement einer Kugeloberfläche: (aus Formelsammlung) ψ = d f = ndf = e r r 2 sinϑdϑdϕ 4πε r 2 E r e r e r 1 r 2 sinϑdϑdϕ 4π = 4πε r }{{ 2 4πr 2 } Flächeninhalt der Kugeloberfläche E r Das E-Feld besitzt nur eine radiale Komponente. Es steht senkrecht auf der Kugel um den Ursprung und ist auf der Kugeloberfläche konstant. Das Oberflächenintegral ist also gleich dem Produkt aus E r und Flächeninhalt der Oberfläche. Ψ = 4πε r 2 4πr2 = ε Der Fluß hängt nicht mehr von r ab, hat also den gleichen Betrag für beliebig große Kugeln. Dies ist eine Bestätigung (kein Beweis, da Fall zu speziell) der 1. Maxwellgleichung in integraler Form (Formelsammlung 2.) Dd f Oberflächenint. über geschl. Fläche = dv Volumenint. über das eingeschl. Volumen ε Ed f = eingeschlossene Ladung D=ε E für Vakuum

4 3. Aufgabe (*) Berechnen Sie mit den Maxwellgleichungen in integraler Form (Formelsammlung 5.) das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit der Ladungsdichte und dem Radius R. Vergleichen Sie mit dem Feld einer gleich großen Punktladung im Mittelpunkt der Kugel. Die Ladungsverteilung ist rotationssymmetrisch um alle Achsen, d.h. Ladungsdichte hängt nur vom Radius ab. {, r R = (r) =, r > R Das E-Feld kann deshalb ebenfalls nicht von ϑ,ϕ abhängen. Die Existenz einer E ϕ - und E ϑ -Komponente kann mit dem gleichen Argument wie in Aufg. 1 ausgeschlossen werden. E = E r (r,ϑ,ϕ) E ϑ (r,ϑ,ϕ) E ϕ (r,ϑ,ϕ) In die Maxwellgleichung eingesetzt = E r (r) E ϑ (r) E ϕ (r) = e r Er (r) ε Ed f = dv ε Er (r) e r df = dv Infinitesimale Volumen und Flächenelemente für Kugelkoordinaten (aus Formelsammlung) d f = e r r 2 sinϑdϑdϕ dv = r 2 sinϑdϑdϕdr 2π π ε E r (r) e r e r r 2 sinϑdϑdϕ = 1 4π R 2π π 4πε r 2 E r (r) = 4π 3 R 3 =: r 2 sinϑdϑdϕ dr 4π E r (r) = 4πε r 2; E = 4πε r 2 e r Das elektrische Feld der homogen geladenen Kugel hat die gleiche Form wie das der Punktladung im Mittelpunkt. Diese Aussage kann noch erweitert werden, da das Volumenintegral immer gleich der Gesamtladung ist: Das Feld außerhalb jeder kugelsymmetrischen Ladungsverteilung, ist das gleiche, wie

5 das Feld der im Kugelmittelpunkt konzentrierten Gesamtladung. Anmerkung: Isaac Newton verzögerte die Veröffentlichung seiner Ergebnisse über die Gravitation (Das Gravitationsfeld hat die gleiche 1 - Abhängigkeit wie das E-Feld) um mehrere r 2 Jahre, weil er nicht beweisen konnte, daß eine Kugel mit homogener Massenverteilung das gleiche Gravitationsfeld wie eine Punktmasse besitzt. Heute beweist das ein Student im 3. Semester in 5 Minuten. 4. Aufgabe (**) Berechnen Sie das elektrische Feld im Inneren einer homogen geladenen Hohlkugel der Wandstärke d mit dem Innenradius r. Die Ladungsdichte sei. H, r r (r) =, r < r r +d, r > r +d Die Symmetrie des Problems ist die gleiche wie bei Aufgabe 3. Es gilt: E(r,ϑ,ϕ) = E r (r) e r Außerdem gilt die Maxwellgleichung ε Ed f = dv Als Integrationsfläche wird die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r gewählt. Das Volumenintegral auf der rechten Seite ist (keine Ladung innerhalb der Integrationsfläche). 2π π ε E r (r) e r e r r 2 sinϑdϑdϕ = 1 4π

6 4πr 2 ε E r (r) = E r (r) muß auf der gesamten Oberfläche den gleichen Betrag haben (wg. Symmetrie) E = im Inneren derhohlkugel. Diese Aussage kann verallgemeinert werden: Wenn die Anordnung kugelsymmetrisch ist, existiert in einem Hohlraum im Inneren einer Ladungsverteilung kein Feld. Anmerkung: Gibt es keine Kugelsymmetrie gilt nur ε Ed f = nicht zwangsläufig E =. Schwierigkeit der Aufgaben von einfach lösbar(*) bis hin zu anspruchsvoll (***).