Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

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1 (c) Ulm University p. 1/1 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti othmar.marti@uni-ulm.de Experimentelle Physik Universität Ulm

2 (c) Ulm University p. 2/1 Wellen in einer Dimension Die Randbedingungen sagen, ob eine Welle am Rande gleich oder ínvertiert reflektiert wird. festgehaltenes Ende Ort gegeben, Steigung frei freies Ende Ort frei, Steigung null

3 (c) Ulm University p. 3/1 Wanderwellenmotor Bei Oberflächenwellen, die sich nach rechts (links) ausbreiten, bewegen sich die Teilchen in den Wellenbergen nach rechts (links). Motor aus

4 (c) Ulm University p. 4/1 Allgemeine Eigenschaft von Wellen Wir beobachten, dass die Form eines Wellenberges sich nicht ändert. Im bewegten Bezugssystem x,y ist sie durch y = y(x ) gegeben. Nun bewegt sich das Maximum mit der Geschwindigkeit v. Wir können die Gleichungen der Galilei-Transformation hinschreiben y = y x = x + vt Deshalb kann man die Form des Seiles auch mit y = y(x vt) schreiben. Bewegt sich das Maximum nach links (zu negativeren x-werten), lautet die Gleichung y = y(x + vt)

5 (c) Ulm University p. 5/1 Überlagerung von Wellen In einem linearen System ist die resultierende Amplitude die Summe der Teilamplituden. y(x,t) = N i=1 y i (x,t)

6 (c) Ulm University p. 6/1 Ausbreitung von Seilwellen Kräfteverhältnisse an einem Wellenberg in einem sich mit dem Wellenberg sich fortbewegenden Koordinatensystem.

7 (c) Ulm University p. 7/1 Seilwellen Um die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung auf einem Seil zu berechnen, betrachten wir die Situation im Ruhesystem der Störung. In diesem System (das nicht das Laborsystem ist) bewegt sich im Maximum das Seil mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Die Geometrie verlangt also, dass eine physikalische Beschleunigung der Grösse a z = v2 r existiert. Ursache dieser Beschleunigung des durchlaufenden Massenelementes m = sµ sind die um den Winkel Θ in verschiedene Richtungen zeigenden Seilspannkräfte am Ende des Kreisbogens mit der Länge s = rθ. µ ist die Masse pro Länge des Seils.

8 (c) Ulm University p. 8/1 Seilwellen Das Kräftegleichgewicht in radialer Richtung (nach unten) ist ( ) ( ) Θ Θ F r = 2F sin 2F = FΘ 2 2 Aus dieser Kraft kann die senkrecht zur Seilrichtung wirkende Beschleunigung a = a z berechnet werden. Dazu brauchen wir die Masse des Seilsegmentes m = µ s = µrθ = ρa s = ρarθ

9 (c) Ulm University p. 9/1 Seilwellen Wir setzten nun die physikalisch durch die Seilspannung bedingte Beschleunigung a gleich der aus der Geometrie im Ruhesystem der Störung (mitbewegtes Koordinatensystem) gefundenen Zentripetalbeschleunigung gleich v 2 r = FΘ m = FΘ µrθ = F µr = F ρar Wir verwenden die Seilspannung σ = F/Aund lösen die Gleichung nach v auf.

10 (c) Ulm University p. 10/1 Seilwellen v = F µ = σ ρ Dies ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung auf einem Seil oder auf einer Saite. Da in dieser Gleichung für v keine koordinatenabhängigen Grössen vorhanden sind, gilt sie auch für das Laborsystem des Seils.

11 (c) Ulm University p. 11/1 Seilwellen Ein Seil mit einer Massenbelegung von µ = 0.02kg/m und einer Seilspannkraft F = 30N ist die 30N Ausbreitungsgeschwindigkeit v = = 38,7m. 0.02kg/m

12 (c) Ulm University p. 12/1 Periodendauer T (Einheit [T] = s) Frequenz ν = 1/T (Einheit [ν] = 1 s ) Kreisfrequenz ω = 2πν (Einheit [ω] = 1 s ) Wellenlänge λ (Einheit [λ] = m) Harmonische Wellen Wellenzahl k = 2π λ (Einheit [k] = 1 m ) Ausbreitungsgeschwindigkeit v = λν = ω k (Einheit [v] = m s )

13 (c) Ulm University p. 13/1 Harmonische Wellen Der Schnappschuss einer Welle mit der Wellenlänge λ. y(x,t) = A cos(k x ω t) = A cos [ 2π ( x λ t T )]

14 (c) Ulm University p. 14/1 Energieübertrag bei Wellen kurzes Segment der Länge x einer schwingenden Welle Wellengleichung y(x,t) = A sin(kx ωt) Geschwindigkeit v(x,t) = ẏ(x,t) = Aω cos(kx ωt) kinetische Energie E kin,0 des Seilsegments beim Nulldurchgang (auch die Gesamtenergie E tot = E kin,0 ) E kin,0 = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 ω 2 = 1 2 A2 ω 2 µ x Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sei v = x/ t. Umgeformt x = v t und eingesetzt bekommen wir E kin,0 = 1 2 A2 ω 2 µvδt

15 (c) Ulm University p. 15/1 Energieübertrag bei Wellen Wir dividieren durch t und bekommen die durch die Welle transportierte Energie pro Zeiteinheit, also die Leistung P = E kin,0 t = 1 2 µa2 ω 2 v Die Intensität des Lichtes oder jeglicher Strahlung ist die Leistung pro Fläche.

16 (c) Ulm University p. 16/1 Superposition und stehende Wellen Eine eindimensionale stehende Welle bekommt man, wenn zwei Wellen gleicher Amplitude und Frequenz aber mit gegenläufiger Ausbreitungsrichtung sich überlagern.