Physik III im Studiengang Elektrotechnik

Transkript

1 Physik III im Studiengang Elektrotechnik - Schwingungen und Wellen - Prof. Dr. Ulrich Hahn SS 28

2 Mechanik elastische Wellen Schwingung von Bauteilen Wasserwellen Akustik Elektrodynamik Schwingkreise elektromagnetische Wellen Mikrophysik Welle Teilchen - Dualismus Astrophysik Gravitationswellen gemeinsame Merkmale einheitliche Beschreibung Schwingungen und Wellen 2

3 Schwingung periodische Zustandsänderung eines Systems periodische Zustandsänderung eines Systems zeitlicher Verlauf Periodendauer Welle räumliche Ausbreitung einer lokalen Störung in in einem Medium zeitlicher Verlauf räumlicher Verlauf Schwingungen und Wellen 3

4 Klassifikation von Schwingungen Schwingungsform harmonisch, Sägezahn, Rechteck... beteiligte Energiespeicher bevorzugte Frequenzen? Anregung der Schwingung einmal, periodisch, rückgekoppelt Energieabfuhr Reibung, Kopplung mit anderen Schwingern Beschreibung von Schwingungen: Auslenkungs Mechanik: Auslenkungs -Zeit - Diagramm Position, Drehwinkel, Druck Elektromagnetismus: Strom, Spannung, Ladung Felder: E, D, B, H Schwingungen und Wellen 4

5 Klassifikation von Wellen Ausbreitungsrichtung - Auslenkungsrichtung zeitlicher Verlauf der Anregung Longitudinal-, Transversalwellen Geometrien von Anregungszentrum und Medium räumliches Profil der Störung periodisch nicht periodisch zeitliche Entwicklung des räumlichen Profils der Störung Dispersion, Dämpfung Schwingungen und Wellen 5

6 Physik III im Studiengang Elektrotechnik - harmonische Schwingungen - Prof. Dr. Ulrich Hahn SS 28

7 kinematische Beschreibung Auslenkungs Zeit Verlauf: x( t) = xˆ cosω t Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine Achse y/m x/m -1, -,5,,5 1, 1,,5, -,5-1, t/s x/m -1, -,5,,5 1, xˆ Kreisradius Amplitude ω: Kreisfrequenz ω= 2π/Τ: Schwingungsdauer T x = : Gleichgewichtslage entsprechend: y( t) = yˆ sin ω t y ˆ : Amplitude harmonische Schwingungen 2

8 kinematische Beschreibung andere Startzeitpunkte: ϕ ( t = ) : = ϕ x( t) = xˆ cos( ω t + ϕ) x/m x/m x/m -1, -,5,,5 1, -1, -1, -,5 -,5,,5 1, 1, 1, 1,,8 t/s,5,5,6,4,2 y/m y //m m, x/m, ,2 -,4 -,5 -,6 -,8-1, ϕ > : ϕ < : -1, Schwingung Schwingung voreilend nachlaufend harmonische Schwingungen 3

9 Darstellung in der komplexen Ebene Kreisbewegung: s r ( t) = cos( ωt + ϕ r sin( ωt + ϕ ) ) Eulersche Formel: α e j = cosα + j sin α z = z e j α harmonische Schwingung: Projektion eines in C gleichförmig rotierenden Zeigers auf die reelle Achse j( ω t +ϕ ) j( ω t +ϕ ) z ( t) = z e = xˆ e Amplitude Phase harmonische Schwingungen 4

10 Dynamik der harmonischen Schwingung auf den Oszillator (Masse m) wirkende Kraft: m a( t) = m ω² xˆ cos( ω t + ϕ) F = m ω² x( t) lineares Kraftgesetz F ~ -x: Rückstellkraft, treibt Oszillator in die Gleichgewichtslage F ~ ω² anders herum: welches x(t) löst die Bewegungsgleichung m & x = c x homogene DGL lineare DGL DGL 2. Ordnung konstante Koeffizienten harmonische Schwingungen 5

11 Lösungen der Schwingungsgleichung Lösungsansätze: x1( t) = cosωt x2( t) = sin ωt k t x3( t) = e ω = ± c / m ω = ± c / m k = ± j c / m allgemeine Lösung: Linearkombination der speziellen Lösungen Linearkombination der speziellen Lösungen x( t) = α1 cosωt + α2 sin ωt α 1, α 2 aus den Anfangsbedingungen x ( t = ) : = x, v( t = ) : = v = x& v x( t) = x cosωt + sin ωt ω x v xˆ,, ϕ Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab schwingfähige Systeme: u: Auslenkung (beliebige physik. Größe) u&+ & ω² u = Lösung: u& t ω u( t) = u cosωt + sin ω harmonische Schwingungen 6

12 Energie der harmonischen Schwingung System schwingt x und/oder v einmalige Anregung danach keine weitere Beeinflussung punktuelle Energiezufuhr E kin, E pot freie Schwingung keine Energieabfuhr (Reibung): Anfangsenergie E = const 2 Energiespeicher: E kin und E pot ungedämpfte Schwingung harmonische Schwingungen 7

13 Verlauf der potentiellen Energie E( t) = Ekin ( t) + E pot ( t) = E = const de( t) = d t mit E kin m de pot ( x( t)) ( t) = x& ² m && x + = 2 dx harmonische Schwingung: d E pot dx ( x) = c x 1 E pot = c x² + 2 H E pot Minimum von Epot : Parabel kleine Amplitude H x min = x harmonische Schwingung harmonische Schwingungen 8

14 harmonische Schwingungen (Mechanik) Federpendel horizontal: F Feder = D x m & x = D x ω = D m x xˆ harmonische Schwingungen 9

15 Flüssigkeitsschwingungen x Auslenkung P = ρfl g 2 x bewirkt Kraft Druckdifferenz Beschleunigung der Flüssigkeit Rohrquerschnittsfläche A Rohr Länge der neutralen Faser l ω = 2 ρ Fl g m Fl A Rohr g A g = 2 Rohr = 2 VFl l harmonische Schwingungen 1

16 Gasschwingungen (Rüchardt-Versuch) Bewegung der Kugel adiabatische ZÄ Rohr P, V P, V x κ κ P V = P( t) V ( t) Kraft, bewirkt durch Druckdifferenz P Beschleunigung der Kugel V V dp V = A Rohr x m P = κ V Kugel V & x = P A Rohr ω = κ A m 2 Rohr Kugel P V harmonische Schwingungen 11

17 mathematisches Pendel: β l h Pendel Massepunkt an masselosem Faden Kreisbewegung, Radius l Schwerkraft wirkt m E = ( l β& )² + m g h( β) 2 d m ( ( l β& )² + m g ( l l cosβ)) = dt 2 β& g + l sin β = β klein sinβ β harmonische Schwingungen 12 ω = 1 βˆ 1 3 ˆ 4 β β groß: T = T (ˆ) β = Tharm (1 + ( )² sin ²( ) + ( )² sin ( ) +...) g l

18 physikalisches Pendel: β s r β Pendel ausgedehntes Objekt rotiert um Schwerkraft wirkt Schwerpunkt bewirkt Drehmoment M = s FG sin( β) Drehmoment Winkelbeschleunigung J A α = m g s sin β β klein sinβ β := s r F r G ω = m g s J A = m g s J + m s² S reduzierte Pendellänge: Länge eines math. Pendels mit gleichem ω l J m s A r. P. harmonische Schwingungen 13 =

19 elektrische Schwingungen 2 Energiespeicher elektrisches Feld magnetisches Feld Spule Kondensator Anregung Laden des Kondensators durch Batterie q Maschenregel: u C + u L = + L ι & = C q Ladung im Kondensator + L q&& = C Spannung am Kondensator u L C u& = + C ι Strom in der Masche + L && ι = C q( t) = q cosω t harmonische Schwingungen 14 C q& ω = = ι 1 L C

20 Vergleich elektrische Schwingungen - mechanische Schwingungen Feder Kondensator Feder Kondensator Deformationsenergie elektrischer Feldenergie Masse Induktivität Masse Induktivität kinetische Energie magnetischer Feldenergie

21 nicht harmonische Schwingung 2 1,5 Auslenkung/rad 1,5 -,5-1 x_harm x pi/8 x pi/4 x pi/2-1,5-2, 1, 2, 3, 4, 5, Zeit/s harmonische Schwingungen 16