1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa

Transkript

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4 Aufgabe 57. Magische Quadrate Eine reelle 3 3-Matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen a 11 + a 22 + a 33 und a 13 + a 22 + a 31 miteinander a 31 a 32 a 33 übereinstimmen. 1. Man zeige, dass die Menge M aller magischen Quadrate ein Untervektorraum von R 3 3 bezüglich der komponentenweisen Matrizenaddition und skalaren Multiplikation mit λ R ist. 2. Man zeige, dass die drei Matrizen V 1 = , V 2 = , V 3 = eine Basis von M bilden. 3*. Besonders magisch: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahlen 1, 2,..., 9 in einem magischen Quadrat anzuordnen? LÖSUNG: 1. (a) Direkt mit Hilfe des Untervektorraum-Kriteriums M, da Nullmatrix M. Seien A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, B = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 M a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 mit s A = a 11 + a 12 + a 13, s B = b 11 + b 12 + b 13 und λ R, dann gilt: A + B = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 M, und λ A = λa 11 λa 12 λa 13 λa 21 λa 22 λa 23 M a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 λa 31 λa 32 λa 33 da für alle Spalten/Zeilen/Diagonalen-Summen von C = A + B bzw. D = λ A gilt: s C = (a 11 + b 11 ) + (a 12 + b 12 ) + (a 13 + b 13 ) = (a 11 + a 12 + a 13 ) + (b 11 + b 12 + b 13 ) = s a + s b und s D = λa 11 + λa 12 + λa 13 = λ (a 11 + a 12 + a 13 ) = λ s A. (b) Mit Hilfe der Theorie Linearer-Gleichungssysteme Die Menge der magischen Quadrate ist mit s = a 11 + a 12 + a 13 die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems: a 21 + a 22 + a 23 a 11 a 12 a 13 = 0 a 31 + a 32 + a 33 a 11 a 12 a 13 = 0 a 11 + a 21 + a 31 a 11 a 12 a 13 = 0 a 12 + a 22 + a 32 a 11 a 12 a 13 = 0 a 13 + a 23 + a 33 a 11 a 12 a 13 = 0 a 11 + a 22 + a 33 a 11 a 12 a 13 = 0 a 13 + a 22 + a 31 a 11 a 12 a 13 = 0 Da die Summe zweier Lösungen und ein Vielfaches einer Lösung eines homogenen Linearen-Gleichungssystems wieder eine Lösung des Systems ist, folgt unmittelbar, dass die Lösungsmenge M des Systems ein Untervektorraum von R 3 3 ist. 1

5 2. Wir sehen unmittelbar, dass die gegebenen drei Matrizen in M liegen. Zu zeigen ist, dass die drei Matrizen linear unabhängig sind und dass man mit ihnen jedes magische Quadrat linear kombinieren kann. Lineare Unabhängigkeit: Es seien α 1, α 2, α 3 R. Angenommen es gilt α α α = Das ist äquivalent zu α 1 + α 2 α 1 α 2 + α 3 α 1 α 3 α 1 α 2 α 3 α 1 α 1 + α 2 + α 3 = α 1 + α 3 α 1 + α 2 α 3 α 1 α Durch komponentenweises Vergleichen, erhalten wir α 1 = 0 (Position (2, 2)), α 2 = 0 (Position (1, 1) und α 3 = 0 (Position (1, 3)). Erzeugendensystem: Um eine Matrix A M mit Zeilen/Spalten/Diagonalen-Summe s A als Linearkombination der V 1, V 2, V 3 zu erhalten, machen wir den Ansatz: α 1 V 1 + α 2 V 2 + α 3 V 3 = A und erhalten wie oben: α 1 + α 2 α 1 α 2 + α 3 α 1 α 3 α 1 α 2 α 3 α 1 α 1 + α 2 + α 3 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 α 1 + α 3 α 1 + α 2 α 3 α 1 α 2 a 31 a 32 a 33 Betrachten wir: α 1 = a 22, α 1 + α 2 = a 11, α 1 + α 3 = a 31, so erhalten wir: α 1 = a 22, α 2 = a 11 a 22, α 3 = a 31 a 22 und s A = 3 α 1 = 3 a 22. Bleibt zu zeigen, dass die übrigen 6 Gleichungen auch erfüllt sind: α 1 α 2 + α 3 = a 22 a 11 + a 22 + a 31 a 22 = (a 22 + a 31 ) a 11 = (s A a 13 ) a 11 = a 12 α 1 α 3 = a 22 a 31 + a 22 = (2 a 22 ) a 31 = (s A a 22 ) a 31 = a 13 α 1 α 2 α 3 = a 22 a 11 + a 22 a 31 + a 22 = 3 a 22 a 11 a 31 = s A a 11 a 31 = a 21 α 1 + α 2 + α 3 = a 22 + a 11 a 22 + a 31 a 22 = (a 11 + a 31 ) a 22 = (s A a 21 ) a 22 = a 23 α 1 + α 2 α 3 = a 22 + a 11 a 22 a 31 + a 22 = (a 11 + a 22 ) a 31 = (s A a 33 ) a 31 = a 32 α 1 α 2 = a 22 a 11 + a 22 = (2 a 22 ) a 11 = (s A a 22 ) a 11 = a 33 Alternativ: Löse das Lineare Gleichungssystem direkt 1.Spalte : (1) a 11 +a 21 +a 31 = s A 2.Spalte : (2) a 12 +a 22 +a 32 = s A 3.Spalte : (3) a 13 +a 23 +a 33 = s A 1.Zeile : (4) a 11 +a 12 +a 13 = s A 2.Zeile : (5) a 21 +a 22 +a 23 = s A 2.Diag. : (6) a 13 +a 22 +a 31 = s A 1.Diag. : (7) a 11 +a 22 +a 33 = s A 3.Zeile : (8) a 31 +a 32 +a 33 = s A Folgende Zeilenumformung (4 ) = (4) (1) (2) (3) + (4) + (8) liefert eine Nullzeile und kann daher weggelassen werden und wir erhalten das äquivalente System mit 7 Gleichungen: 2

6 (1) a 11 +a 21 +a 31 = s A (2) a 12 +a 22 +a 32 = s A (3) a 13 +a 23 +a 33 = s A (5) a 21 +a 22 +a 23 = s A (6 ) = (6) (3) +a 22 a 23 +a 31 a 33 = 0 (7 ) = (7) (1) a 21 +a 22 a 31 +a 33 = 0 (8) a 31 +a 32 +a 33 = s A Um in Gleichung (7 ) die Einträge a 21 und a 22 zu eliminieren, bilden wir (7 ) = (7 ) + (5) 2 (6 ) und erhalten schließlich nach Kürzen mit 3 das äquivalente System: (1) a 11 +a 21 +a 31 = s A (2) a 12 +a 22 +a 32 = s A (3) a 13 +a 23 +a 33 = s A (5) a 21 +a 22 +a 23 = s A (6 ) +a 22 a 23 +a 31 a 33 = 0 (7 ) a 23 a 31 +a 33 = 1 3 s A (8) a 31 +a 32 +a 33 = s A In diesen 7 Gleichungen für 10 Unbekannte (einschließlich s A ) können wir 3 Unbekannte als Parameter wählen und erhalten einen 3-dimensionalen Lösungsraum M. Da wir bereits V 1, V 2, V 3 als linear unabhängig erkannt haben, bilden diese eine Basis von M. Andererseits können wir ohne Einschränkung s A = 3 α, a 31 = α + γ und a 33 = α β mit α, β, γ R wählen und erhalten aus (8) a 32 = 3 α (α + γ) (α β) = α + β γ Rückwärtssubstitution liefert mit s A = 3 α: a 23 = α + a 31 a 33 = α + (α + γ) (α β) = α + β + γ a 22 = a 23 a 31 + a 33 = α + β + γ (α + γ) + (α β) = α a 21 = 3 α a 22 a 23 = 3 α α (α + β + γ) = α β γ a 13 = 3 α a 23 a 33 = 3 α (α + β + γ) (α β) = α γ a 12 = 3 α a 22 a 32 = 3 α α (α + β γ) = α β + γ a 11 = 3 α a 21 a 31 = 3 α (α β γ) (α + γ) = α + β A = α β γ , d.h. die drei gegebenen Matrizen spannen einen 3-dimensionalen Lösungsraum auf und sind daher linear unabhängig. Bemerkung: Wählt man a 31 = λ, a 32 = µ, und a 33 = τ, mit λ, µ, τ R so ergibt sich: s A = λ + µ + τ und man erhält mit der Rücksubstitution M dargestellt in einer anderen Basis. 3. Da alle Zeilensummen miteinander übereinstimmen und die Gesamtsumme der 3 Zeilen = 45 ist, muss die Zeilensumme jeweils s A = 45/3 = 15 und damit a 22 = 1 3 s A = 5 sein. In der Mitte des magischen Quadrates steht also immer die 5. Die Zahlen 7, 8 und 9 dürfen nicht gemeinsam in einer Zeile/Spalte/Diagonale stehen, weil sonst die zugehörige Zeilen/Spalten/Diagonalensumme größer als 15 wäre. Wenn man die Symmetrieeigenschaften des magischen Quadrates berücksichtigt (die Symmetriegruppe des magischen Quadrates ist isomorph zur Symmetriegruppe des Quadrates, hat also insbesondere 8 Elemente), gibt es nur zwei verschiedene Fälle, die berücksichtigt werden müssen. 3

7 1. Fall: 9 steht auf einer Eckposition (ohne Einschränkung (beachte die Symmetrie) auf der Position (1, 1)). Dann ist: 9 5 Ohne Einschränkung (Symmetrie) können wir annehmen, dass die 8 auf der Position (3, 2) steht. Dann erhalten wir ein ungültiges magisches Quadrat: 1 9? Fall: 9 steht nicht auf einer Eckposition (ohne Einschränkung (Symmetrie) auf der Position (2, 1)). Dann ist: Ohne Einschränkung (Symmetrie) können wir annehmen, dass die 8 auf der Position (1, 2) oder auf der Position (3, 3) steht. Im ersten Unterfall erhalten wir wieder ein ungültiges magisches Quadrat: Im zweiten Unterfall, funktioniert es endlich: ? Also ist das magische Quadrat bis auf die Symmetrie eindeutig und es gibt insgesamt 8 verschiedene - aber zueinander symmetrische - magische Quadrate mit den Zahlen 1, 2,..., 9. 4