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2 Inhaltsverzeichnis / Impressum Inhaltsverzeichnis Inhalts- und Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den durchgerechneten Beispielen der Angewandten Mathematik 1 3 Handlungsbereiche des Kompetenzmodells der Aufgaben in Angewandte Mathematik 1 8 Notizen Auflage, 2012 Alle Drucke sind im Unterricht parallel verwendbar. Satz, Grafik: imprint, Zusmarshausen Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien Timischl, Lechner Angewandte Mathematik 1 Kompetenzliste Verlag E. DORNER GmbH Ungargasse 35, 1030 Wien Tel.: , Fax: office@dorner-verlag.at ISBN

3 Inhalts- und Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den durchgerechneten Beispielen der Angewandten Mathematik 1 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 1 Wiederholung 1.1 Rechnen mit Zahlen und Variablen 5 1, Lösung einfacher Gleichungen Maßumrechnungen Handrechnen mit Dezimalzahlen (Dezimalbrüchen) Runden von Dezimalzahlen Überschlagsrechnung Rechnen mit dem Taschenrechner Zahlen und Variablen 2.1 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl Dualzahlen Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen Dualarithmetik Umwandlung zwischen Dualzahlen und Hexadezimalzahlen Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz Betrag einer Zahl, Abstand zweier Zahlen C Interpretieren und Dokumentieren 2.8 Rundungsintervall Wie genau ist sinnvoll? Einsetzen in Terme Umsetzen in die mathematische Schreibweise Summenbildung mit dem Σ-Zeichen Arithmetisches Mittel Rechnen mit Termen 3.1 Klammern vor Potenz vor Punkt vor Strich Vorzeichenregeln für Addition und Subtraktion Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Doppelbrüche Assoziativ- und Kommutativgesetz Distributivgesetz: Ausmultiplizieren und Herausheben Auflösen von Klammern Geschachtelte Klammern Multiplikation von Summen Binomische Formeln Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln Wiederholung D Argumentieren und Kommunizieren 3

4 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 3.15 Potenzen mit negativen Hochzahlen Potenzen mit negativen Hochzahlen (Weiterführung) Umwandlung einer Zahl in die Gleitkommadarstellung Genauigkeit eines Rechners Addition oder Subtraktion von Potenzen Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 3.20 Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis, 1. Potenzgesetz Division von Potenzen mit gleicher Basis, 2. Potenzgesetz Potenz eines Produktes, 3. Potenzgesetz Potenz eines Bruches, 4. Potenzgesetz Potenz einer Potenz, 5. Potenzgesetz Wurzelziehen Grundlegende Berechnungen Wurzeln als Potenzen Wurzelberechnung mit dem Rechner Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation und Division von gleichnamigen Wurzeln Teilweises (oder partielles) Wurzelziehen Unter die Wurzel bringen Weitere Rechnungen mit Wurzeln Wurzelfreimachen eines Nenners Zulässige Einsetzungen bei Bruchtermen Kürzen eines Bruchterms Addition (Subtraktion) von Bruchtermen Multiplikation von Bruchtermen Division von Bruchtermen Polynomdivision Polynomdivision Lineare Gleichungen und Ungleichungen 4.1 Grundbegriffe Äquivalenzumformungen Sonderfälle der Lösung einer linearen Gleichung Umformen von Formeln Erste Vorübung Zweite Vorübung Teilungsaufgabe Mischungsaufgabe Mischungsaufgabe Leistungsaufgabe Aufgabe aus der Prozentrechnung Bewegungsaufgabe D Argumentieren und Kommunizieren 4

5 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 4.13 Einführendes Beispiel Vereinfachen von Verhältnissen Maßstab Steigung Direkte und indirekte Proportionalität Zusammengesetzte Schlussrechnung Einfache und fortlaufende Proportion Einfache und fortlaufende Proportion Einführendes Beispiel Vergleich von Zahlen auf der Zahlengeraden Äquivalenzumformungen Berechnung ebener Figuren 5.1 Heron sche Flächenformel Ähnliche allgemeine Dreiecke Ähnliche rechtwinklige Dreiecke Berechnung an einem rechtwinkligen Dreieck Diagonale eines Rechtecks (Quadrats) Höhe und Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks Flächeninhalt eines allgemeinen Vierecks Trapez Parallelogramm Vieleck Regelmäßiges Vieleck Kreisumfang und Kreisfläche Kreisringfläche Kreisbogen und Kreissektor Kreissegment Funktionen 6.1 Grundbegriffe Nullstellen und Monotonie von Funktionen Empirische Funktion Graph einer linearen Funktion Punkt auf Gerade Bedeutung von k und d Grundeigenschaft einer linearen Funktion Zeichnen einer Geraden mit Hilfe von k und d Zueinander normale Geraden Gerade gegeben durch einen Punkt und die Steigung 133 2, Gerade durch zwei Punkte 134 2, Nullstelle einer linearen Funktion 134 2, Stückweise lineare Funktion Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren D Argumentieren und Kommunizieren 5

6 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 6.14 Proportionalität Mobiltelefon-Tarifvergleich Mobiles Breitband Lineare Gesamtkostenfunktion Weg-Zeit-Funktion Lineare Abschreibung Lineare Gleichungssysteme 7.1 Einführendes Beispiel Einführendes Beispiel Lösungsfälle eines linearen Gleichungssystems Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Determinantenmethode Einführen von neuen Variablen Keine Lösung oder unendliche viele Lösungen Gerade durch zwei Punkte (Beispiel 6.11, Seite 134) 158 2, Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 7.10 Genauigkeitsprobleme bei linearen Gleichungssystemen Mischungsaufgabe Leistungsaufgabe Leistungsaufgabe Bewegungsaufgabe Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen Mischungsaufgabe Lineare Optimierung 8.1 Lösungsmenge einer linearen Ungleichung in zwei Variablen Lineares Ungleichungssystem in zwei Variablen (1) Lineares Ungleichungssystem in zwei Variablen (2) Produktionsplan eine Maximumaufgabe Mischungsproblem eine Minimumaufgabe Logik und Mengenlehre 9.1 UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung Verneinung Wenn-dann-Verknüpfung Genau-dann-wenn-Verknüpfung Übersetzen in einen aussagenlogischen Ausdruck Gleichwertige Formulierungen Aufzählende und beschreibende Mengenangabe Teilmengenbeziehung Vereinigung von Mengen D Argumentieren und Kommunizieren 6

7 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 9.11 Durchschnitt von Mengen Differenzmenge Mehrfache Verknüpfung von Mengen Zeichnen von Mengendiagrammen Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren D Argumentieren und Kommunizieren 7

8 Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den Aufgaben der Angewandten Mathematik 1 1 Wiederholung 1.1 B 1.5 B 1.8 B 1.11 B 1.14 B 1.2 B 1.6 B 1.9 B 1.12 B 1.15 B 1.3 B 1.7 B 1.10 B 1.13 B 1.16 B 1.4 B 2 Zahlen und Variablen 2.1 B 2.9 B 2.16 C 2.23 B 2.30 A 2.2 B 2.10 B 2.17 C 2.24 B 2.31 A 2.3 A B 2.11 B 2.18 A C 2.25 A B C 2.32 B 2.4 B 2.12 B 2.19 B 2.26 A B C 2.33 B 2.5 B 2.13 B D 2.20 D 2.27 A B 2.34 B 2.6 B 2.14 B 2.21 D 2.28 B 2.35 A 2.7 D 2.15 B 2.22 B 2.29 D 2.36 B 2.8 D 3 Rechnen mit Termen 3.1 B 3.20 B 3.39 B 3.58 B C 3.76 D 3.2 B 3.21 B 3.40 D 3.59 B 3.77 B 3.3 B 3.22 B 3.41 B 3.60 B C 3.78 B 3.4 B 3.23 B 3.42 B 3.61 B C 3.79 B 3.5 B 3.24 B 3.43 B 3.62 B 3.80 B 3.6 B 3.25 B 3.44 D 3.63 D 3.81 D 3.7 B 3.26 B 3.45 B 3.64 B 3.82 B 3.8 B 3.27 B 3.46 B 3.65 B 3.83 B 3.9 B 3.28 B 3.47 B 3.66 B 3.84 B 3.10 B 3.29 B 3.48 B 3.67 B 3.85 B 3.11 B 3.30 B 3.49 B 3.68 D 3.86 B 3.12 B 3.31 B 3.50 B 3.69 B 3.87 B 3.13 B 3.32 B 3.51 D 3.70 B 3.88 B 3.14 B 3.33 A B 3.52 B 3.71 B 3.89 B 3.15 B 3.34 D 3.53 B C 3.72 B 3.90 B 3.16 B 3.35 B 3.54 B C 3.73 B 3.91 B 3.17 B 3.36 B 3.55 A B C 3.74 B 3.92 B 3.18 B 3.37 B 3.56 B C 3.75 D 3.93 B 3.19 B 3.38 D 3.57 B C 8

9 4 Lineare Gleichungen und Ungleichungen 4.1 B 4.22 A B C 4.42 A B C 4.62 D 4.82 A B 4.2 B 4.23 A B C 4.43 A B C 4.63 A B C 4.83 A B 4.3 B 4.24 A B C 4.44 A B C 4.64 B 4.84 A B 4.4 B D 4.25 A B C 4.45 A B C 4.65 B 4.85 A B 4.5 B 4.26 A B C 4.46 A B C 4.66 B 4.86 A B 4.6 B 4.27 A B C 4.47 A B C 4.67 B 4.87 A B 4.7 B 4.28 A B C 4.48 A B C 4.68 B 4.88 A B 4.8 B 4.29 A B C 4.49 A B C 4.69 D 4.89 A B 4.9 B 4.30 A B C 4.50 A B C 4.70 A B 4.90 B 4.10 B 4.31 A B C 4.51 A B C 4.71 A B 4.91 B 4.11 B 4.32 A B C 4.52 A B C 4.72 A B 4.92 B 4.12 B 4.33 D 4.53 A B C 4.73 A B 4.93 A B C 4.13 B 4.34 A B C 4.54 A B C 4.74 A B 4.94 A B C 4.14 A 4.35 A B C 4.55 A B C 4.75 A B 4.95 A B C 4.15 A 4.36 A B C 4.56 D 4.76 A B 4.96 A B C 4.16 A 4.37 A B C 4.57 B 4.77 A B 4.97 A B C 4.17 A B C 4.38 A B C 4.58 B 4.78 A B 4.98 A B C 4.18 A B C 4.39 A B C 4.59 B 4.79 A B 4.99 A B C 4.19 A B C 4.40 A B C 4.60 A B 4.80 A B A B C 4.20 A B C 4.41 A B C 4.61 B 4.81 B A B C 4.21 A B C 5 Berechnung ebener Figuren 5.1 B 5.8 A B 5.15 A B 5.22 A B 5.29 A B 5.2 B C 5.9 A B 5.16 A B 5.23 A B 5.30 A B 5.3 D 5.10 A B 5.17 B C 5.24 A B C 5.31 A B 5.4 A B 5.11 A B 5.18 A B 5.25 A B 5.32 A B 5.5 A B 5.12 A B 5.19 A B 5.26 A B 5.33 A B 5.6 A B 5.13 A B 5.20 A B 5.27 A B 5.34 D 5.7 B 5.14 A B 5.21 A B C 5.28 A B 6 Funktionen 6.1 C 6.11 B 6.21 B 6.31 A B 6.41 B C 6.2 C 6.12 B 6.22 A B 6.32 A B C 6.42 A B 6.3 C 6.13 C 6.23 A B 6.33 A B C 6.43 B C 6.4 B 6.14 B C 6.24 A B 6.34 A B 6.44 A 6.5 C 6.15 B 6.25 A B 6.35 A B 6.45 A B 6.6 C 6.16 B 6.26 B 6.36 A B 6.46 A B 6.7 D 6.17 B 6.27 A B 6.37 B C 6.47 A B C 6.8 B 6.18 A B 6.28 A B 6.38 B C 6.48 A B C 6.9 D 6.19 A B 6.29 A B 6.39 B C 6.10 B 6.20 A B 6.30 A B 6.40 B C 9

10 7 Lineare Gleichungssysteme 7.1 B 7.14 B 7.27 A B C 7.40 A B C 7.53 A B 7.2 B D 7.15 A B 7.28 A B C 7.41 A B C 7.54 A B 7.3 B 7.16 A B 7.29 A B C 7.42 A B C 7.55 A B 7.4 B 7.17 A B 7.30 A B C 7.43 A B C 7.56 A B 7.5 B 7.18 A B 7.31 A B C 7.44 A B C 7.57 A B C 7.6 B 7.19 A B C 7.32 A B C 7.45 A B C 7.58 A B C 7.7 B 7.20 A B C 7.33 A B C 7.46 A B C 7.59 A B C 7.8 B 7.21 A B C 7.34 A B C 7.47 A B C 7.60 A B C 7.9 B 7.22 A B C 7.35 A B C 7.48 B 7.61 A B C 7.10 B 7.23 A B C 7.36 A B C 7.49 B 7.62 A B C 7.11 B 7.24 A B C 7.37 A B C 7.50 B 7.63 A B C 7.12 B 7.25 A B C 7.38 A B C 7.51 B 7.64 A B C 7.13 B 7.26 A B C 7.39 A B C 7.52 B 8 Lineare Optimierung 8.1 B 8.4 A B 8.7 B 8.10 A B C 8.13 A B C 8.2 B 8.5 A B 8.8 A B C 8.11 A B C 8.14 A B C 8.3 C D 8.6 B 8.9 A B C 8.12 A B C 8.15 A B C 9 Logik und Mengenlehre 9.1 D 9.6 D 9.11 D 9.16 A B 9.20 A B 9.2 D 9.7 D 9.12 A 9.17 A B 9.21 A C 9.3 D 9.8 D 9.13 B 9.18 B 9.22 A C 9.4 D 9.9 D 9.14 D 9.19 D 9.23 A C 9.5 D 9.10 D 9.15 B 10

11 Notizen 11

12 Timischl, Lechner Angewandte Mathematik 1 Kompetenzliste Verlag E. DORNER GmbH, Wien ISBN