Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8

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1 Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle der stetigen Funktionen f. Nehme an, für a < b seien f a 0 f b. Eine analoge Methode funktioniert für f a 0 f b. Dann werden induktiv die Folgen a n und b n wie folgt definiert: Bezeichne den Mittelpunkt mit c n = a n +b n /2. Falls f c n 0, setze a n+ = a n und b n+ = c n, andernfalls setze a n+ = c n und b n+ = b n. Bei Anwendung dieses Verfahrens bricht man die Konstruktion der Folgen natürlich ab, sobald eine der Folgen eine Nullstelle trifft oder das Intervall die gewünschte Genauigkeit erreicht hat. Zeige: a a n b n für alle n {,2,,...}. b Im Intervall [a n,b n ] liegt eine Nullstelle der Funktion f für alle n {,2,,...}. c b n a n = 0. d Die Folgen a n und b n sind monoton und konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert, der eine Nullstelle der stetigen Funktion f ist. a a n b n für alle n {,2,,...} ist durch die Definition der Folgen sichergestellt, denn a n c n b n. b Die Konstruktion der Folgen stellt sicher, dass f a n 0 f b n für alle n {,2,,...}. Induktionsanfang n = : f a 0 f b gilt nach Voraussetzung. Induktionsschritt n n + : Es gelte also nach Induktionsannahme f a n 0 f b n. Falls f c n 0, ist f a n+ = f a n 0 und f b n+ = f c n 0. Ist hingegen f c n < 0, so ist f a n+ = f c n < 0 und f b n+ = f b n 0. In beiden Fällen ist also f a n+ 0 f b n+. Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen sagt dann, dass im Intervall [a n,b n ] mindestens eine Nullstelle liegt. c Bezeichne d n = b n a n. Nach Voraussetzung ist d endlich. Die Folgen werden so konstruiert, dass d n+ = d n /2 = d Induktion! und damit b n a n = d n = d + = 0. Noch zu zeigen ist also d n = + Induktionsanfang n = : d = d 2 + = d. Induktionsschritt n n + : d n+ = d n /2 = d n = d + /2 = d. d Die Folge a n ist nach Konstruktion monoton wachsend und b n ist monoton fallend. Denn entweder ist a n+ = a n oder a n+ = c n a n und entweder ist b n+ = b n oder b n+ = c n b n.

2 Da die Folge a n durch b und auch alle anderen b n nach oben beschränkt ist und b n durch a und alle anderen a n nach unten, sind beide Folgen konvergent. Nach dem vorher gezeigten ist nun b n a n = b n a n = 0 und damit b n = a n. Da nur der Grenzwert in allen Intervallen [a n,b n ] enthalten ist, muss er eine Nullstelle der stetigen Funktion f sein. 0. Ist die folgende Funktion auf dem angegebenen Definitionsbereich umkehrbar? Ist sie monoton? Wenn ja, bestimme den Wertebereich und die Umkehrfunktion. a f x = x 2 + 2x +, Df = R Diese Funktion ist nicht umkehrbar. Z.B. ist f 2 = = f 0. b f x = x 2 + 2x +, Df = [, Der Definitionsbereich ist hier auf den wachsenden Teil der Parabel beschränkt, und auf diesem ist die Funktion umkehrbar. Der Wertebereich ist [0, Es ist y = x 2 +2x+ = x+ 2 y = x+. Da x vorausgesetzt wurde, ist interessiert hier nur die Lösung y = x + bzw. y = x. Die Umkehrfunktion ist also in der Notation y f y, Df W f, wobei Df = W f und W f = Df x x, [0, [,. Bemerkung: Die Funktion wäre auch dann umkehrbar, wenn der Definitionsbereich auf, ] beschränkt worden wäre, denn dort ist die Parabel streng monoton fallend. In diesem Fall wäre die Umkehrfunktion x x, [0,,]. c f x = x + 2, Df = [0, Die Funktion ist auf dem angegebenen Definitionsbereich streng wachsend und der Wertebereich ist [2,. Weiter ist unter den geltenden Voraussetzungen y = x + 2 y 2 = x = y 2 2 = x. Die umgekehrte Implikation im letzten Schritt gilt wegen y [2, ebenfalls. Die Umkehrfunktion ist also x x 2 2, [2, [0,. d f x = ex e x +, Df = R Die Umformung f x = ex e x + = ist in einigen der folgenden Schritte + ex nützlich. Die Funktion x e x ist streng monoton fallend, also ist x +e x streng monoton wachsend. Der Wertebereich ist 0,, denn die Funktion ist auf R stetig, streng monoton wachsend und es ist x e x e x + = x e x x e x + = = 0 2

3 sowie x + e x = + x e x = + 0 =. Mit den Voraussetzungen x R und y 0, ist y = + e x + ex = /y e x = /y x = ln/y y y x = ln/y = ln = ln y y Die Umkehrfunktion ist also x ln x x, 0, R Versuche jeweils, Funktion und Umkehrfunktion grob zu skizzieren. In welchem Verhältnis stehen die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion geometrisch? Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man aus dem Graphen der Funktion durch Spiegelung am Graphen der Funktion x x. Nochmalige Spiegelung an dieser Geraden ergibt wieder den Graphen der Funktion selbst.. In den folgenden Argumenten stecken FEHLER. Wo genau? a Vorsicht Fehler! e x e x = 2 logarithmieren liefert x x = 2 2x = 2 x = Im Allgemeinen ist e x e x = lne x e x lne x lne x = x x. Zudem müsste man die Logarithmusfunktion auch auf die rechte Seite anwenden.

4 Es sei hier noch einmal gewarnt: Im Allgemeinen ist für a,b > 0 und x,y R lna + b lna + lnb = lnab lna b lna lnb = lna/b e x + e y e x+y = e x e y e x e y e xy = ea e x x + y n x n + y n x + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 x 2 + y 2 x y 2 = x 2 2xy + y 2 x 2 y 2 = x + yx y a x = e x lna lna x = x lna ab x = e x lnab = e x lna+lnb = a x b x a x a y = e x lna+y lna = a x+y a y x = e x lnay = e x y lna = a xy = a x y a xy b Vorsicht Fehler! e x e x = 2 multiplizieren mit e x e 2x = 2e x e 2x 2e x + = 2 e x 2 = 2 e x = 2 e x = e x = auf beiden Seiten 2 2e x addieren Binomische Formel Wurzel ziehen liefert auf beiden Seiten addieren auf beiden Seiten mit multiplizieren Dies ist unmöglich da e x > 0 für alle x R, also gibt es keine Lösung. Die Wurzel so ziehen wie oben geschehen ist keine Äquivalenzumformung. Aber es ist a 2 = a. Zudem muss die Wurzelfunktion auf beide Seiten angewendet werden. Richtig wäre also... e x 2 = 2 e x = 2 e x = 2 oder e x = 2 e x = + 2 oder e x = 2 x = ln + 2 oder dieser Fall ist unmöglich Hätte man oben nach der Anwendung der Binomischen Formel statt e x 2 den äquivalenten Term e x 2 geschrieben, hätte man Glück gehabt und die Lösung erhalten. Es ist e x 2 = e x 2 = 2 e x 2 = e x 2. Bei unvorsichtigem Quadrieren können neue Lösungen «entstehen», die durch eine Probe am Ende wieder aussortiert werden können. Man darf dann aber keine Äquivalenz sondern nur eine Implikation schreiben. Bei unvorsichtigem Wurzelziehen wie oben können dagegen Lösungen «verloren gehen». Auch eine Probe kann dann die Aufgabe nicht mehr retten. c Vorsicht Fehler! 4

5 Es ist = 2 n+ = = 0. Deshalb = 22n = = + 2n = 4n = 2 n+ = 0. Im Allgemeinen ist 4 n = n +. Das richtige Ergebnis wäre selbstverständlich + 2 n + = = 22n =. 2 d Vorsicht Fehler! Oder sollte man den vorherigen Grenzwert doch eher so berechnen? = = 22n 2n 2 = + = 0 = + 2n + 0 = 0 = 0 Es 0 = und 0 =. Und es gibt auch keine andere Rechtfertigung, um von der ersten zur zweiten Zeile zu kommen. Die Regel für Brüche in der Art + = + kann ebenfalls nicht eingesetzt werden, da der Grenzwert im Nenner = 0 ist. Beachte, dass beim Kürzen bzw. Erweitern eines Bruches alle Summanden in Zähler und Nenner gleichermaßen einbezogen werden müssen. Es ist z.b sondern und damit + = = + 2n = 2 sondern = e Vorsicht Fehler! + n n = + = n n = n Die erste Gleichung ist falsch, denn es ist n n für alle n {,2,,...}. «Bestätigt» wird dies durch + n = n + n n = n + n n = + n n = 5

6 Denn wegen 0 n n für alle n 2 und = 0 ist nach dem Einschließungskriterium n n = 0. Das Argument mit dem Einschließungskriterium ist richtig. Jedoch ist im Allgemeinen + n n n + n n. Der richtige Grenzwert ist + n n = e, wobei e 2,7 die Eulersche Zahl ist. f Vorsicht Fehler! Es sei y = e 2x. Einerseits ist e 2x y = e x e x y. Andererseits ist nach der dritten Binomischen Formel e 2x y = e x + ye x y. Vergleich der rechten Seiten ergibt e x = e x + y, also e x = 2e x. Da e x 0, kann man beide Seiten durch e x teilen und erhält = 2. Einsetzen von y = e 2x bzw. y = e x zeigt deutlicher, wo der Fehler liegt. Vergleich der rechten Seiten ergibt nicht unmittelbar e x = e x + e x, sondern e x e x e x = e x + e x e x e x. Hier kann man nicht beide Seiten durch e x e x = 0 teilen, und deshalb ist der Schluss e x = e x + e x falsch. 0a = 0b gilt immer, ganz egal ob a = b oder a b. Hier ist die Tarnung des Teilens durch Null nicht allzu gut, bei längeren Rechnungen lässt sich so etwas besser verstecken. Wann immer so etwas geschieht, können beliebig falsche Ergebnisse folgen. Zusatz: Mittels vollständiger Induktion kann man daraus folgern, dass alle natürlichen Zahlen gleich sind! Wenn = 2 wäre, könnte man daraus in der Tat beinahe beliebigen Unfug folgern. Alle unter der Voraussetzung = 2 gezogenen Schlüsse gelten aber nur dann, wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, und das ist nie der Fall. g Vorsicht Fehler! Wähle n {,2,,...} beliebige reelle Zahlen. Es wird behauptet, dass alle ausgewählten Zahlen gleich sind. Induktionsanfang: Wird nur eine Zahl ausgewählt, so sind offensichtlich alle gewählten Zahlen gleich. Induktionsschritt n n + : Streiche eine Zahl, die weder die größte noch die kleinste ist. Die verbliebenen n Zahlen sind nach Induktionsannahme gleich, und da die gestrichene Zahl weder die größte noch die kleinste ist, muss auch sie gleich den anderen sein. Auch wenn das hier nicht steht, muss wohl gemeint sein, dass die n Zahlen nicht unbedingt verschieden sein müssen, sonst wäre die Behauptung noch unsinniger als sie ohnehin ist. Interpretieren wir die Voraussetzung also auf diese Weise und wenden uns dem angeblichen «Beweis» zu. Zunächst ist die Formulierung «Streiche eine Zahl, die weder die größte noch die kleinste ist» nicht exakt. Es können durchaus mehrere Zahlen «die größte» sein, und wenn alle Zahlen gleich sind, wie das in der Induktionshypothese angenommen werden soll, sind sogar alle gleichzeitig «die größte» und «die kleinste». Hier muss also gemeint sein «Streiche eine Zahl, so dass sich Maximum und Minimum der Menge nicht verändern» oder «Streiche eine Zahl, die entweder mehr als einmal in der Menge enthalten ist oder die weder die größte noch die kleinste ist». Der eigentliche Fehler liegt aber darin, dass die Induktion nicht vollständig ist da nicht alle Induktionsschritte gültig sind. Gleich der erste Induktionsschritt ist falsch: Es ist im Schritt 2 nicht immer möglich, eine Zahl zu streichen, ohne Maximum und Minimum der gewählten Zahlen zu verändern. Denn wenn nur zwei 6

7 reelle Zahlen zur Auswahl stehen und beide nicht gleich sind, ist eine die alleinige größte und die andere die alleinige kleinste. Dies ist eine Variante der gescheiterten «alle Personen in diesem Raum sind gleich groß» Induktion. h Vorsicht Fehler! Einerseits k = = = k = 2 = 2 k Es ist nicht k = k dies gilt nur für ungerade k, für gerade ist k = k. Andererseits k = k = = 4 = 4 Also 2 = 4 und damit schon wieder = 2? Die vorherige Rechnung ist richtig, aber da die erste falsch ist, kann man nicht auf die falsche Gleichung 2 = 4 schließen. Oder gar k = n = n n n = 0 n = n 2 n n = n denn 2 n 2 n n = n 2 n 2 n 2 n und letzteres konvergiert gegen 0 woraus mit dem Einschließungskriterium der behauptete Grenzwert folgt. Im ersten Schritt wurde k «aus Versehen» durch n ersetzt. Die weiteren Schritte sind korrekt, aber der Fehler im ersten Schritt ruiniert das Ergebnis. 7