Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016

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1 Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (VE) Sommersemester 6 Prof. Dr. Martin Rumpf Pascal Huber Sascha Tölkes Übungsblatt 8 Abgabe:.6.6 Aufgabe 5 (Elliptisches Randwertproblem auf einem Ring) 4 Punkte (i) Zeigen Sie, dass x ln(r), wobei r x x + x und x R \ {}. (ii) Gegeben sei der Ring (B () \ B ()) R. Bestimmen Sie die schwache Lösung des Randwertproblems div(a u), auf B () \ B (), u, auf B (), u, auf B (), mit der Funktion a L (R ) definiert durch {, x, a(x), x >. Lösung (i) Berechne Man erhält i x i ln(r) x i r ( ) x + + x n x i x i x und ii ln(r) x i r 4 + r x i r 4 x i r 4 + r x ln(r) r + r.

2 (ii) Im vorigen Aufgabenteil wurde gezeigt, dass c ln( x ) + c harmonisch ist. Damit lässt sich die PDE jeweils auf B \ B und B \ B, wobei die Randbedingung auf B () ein freier Parameter ist. auf B \ B : u c ln( x ) + c u () c ln() + c s c s ( ) ( ) u c ln + s c ( s ) s ln ln() auf B \ B : u c 3 ln( x ) + c 4 u () c 3 ln() + c 4 s c 4 s u () c 3 ln() + s c 3 s ln() Die schwache Formulierung des Randwertproblems lautet nun: Für g H () mit g B/ () und g B (), finde u H () mit u u + g, wobei u H () die Gleichung a u ϕ dx a g ϕ dx, für alle ϕ H (), löst. Für ein beliebiges g H () wie beschrieben, definieren wir u : u g, wobei u H () stückweise durch u und u definiert ist. Mit der schwachen Formulierung gilt also für ϕ H (): a u ϕ dx + a g ϕ dx B \B B \B a u ϕ dx B \B u ϕ dx + u ϕ dx B \B B \B ( u ( x))ϕ dx + ( u x)ϕ dx B B ϕx ( (u u )) dx B s ln() + s ln() s 3. Man erhält die Lösung { 3 ln() u ln( x ) + 3 x B \ B 3 ln() ln( x ) + 3 x B \ B.

3 Aufgabe 6 (Faltung) 4 Punkte Seien ϕ : R R und ψ : R R durch ϕ χ [,] bzw. durch ψ χ [,] definiert. Desweiteren, seien ϕ ε (x) ε ϕ( x ε ) und ψ ε(x) (ε) ψ( x ε ). (i) Bestimmen Sie u ε : ϕ ε u mit u χ [,] und zeigen Sie, dass u ε C, (R). (ii) Bestimmen Sie v ε : ϕ ε v mit v(x) x und zeigen Sie, dass v ε C, (R). (iii) Bestimmen Sie w ε : ψ ε χ [,]. Hinweis: Es genügt, die (entscheidenden) Niveaulinien von w ε zu skizzieren und die Werte darauf anzugeben. Lösung (i) Es gilt u ε (x) (ϕ ε χ [,] )(x) ϕ ε (y)χ [,] (x y) dy R ϕ ε (y)χ [,] (x y) dy [ ε,ε] [ ε,ε] [x,x+] ε dy +x+ε ε, für x ( ε, + ε), for x [ + ε, ε] x+ε ε, für x ( ε, + ε), sonst. Die resultierende Funktion ist also stückweise linear. Wir zeigen die Lipschitzstetigkeit exemplarisch bei x + ε. Seien dazu h, h >, dann gilt für x + ε h und y + ε + h : u ε (x) u ε (y) x y ε h +ε ε h + h h ε h ε. (ii) Es gilt v ε (x) (ϕ ε u)(x) χ ε [,] ( x y ) y dy R ε y dy ε [x ε,x+ε] x, für x ε, ε (x + ε ), für x ( ɛ, ɛ), x, für x ε.

4 Die Funktion v ε kann stückweise differenziert mit, für x ε, v ε(x) x ε, für x ( ε, ε),, für x ε. und die Ableitung ist stetig. Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass v ε Lipschitzstetig ist. Wir betrachten exemplarisch die Umgebung von x ε. Seien dazu h, h >, dann gilt für x ε h und y ε + h : (iii) Es gilt v ε(x) v ε(y) h ε h ε ε h + h x y. ε w ε (x) (ψ ε χ [,] )(x) 4ε χ R [,] ( x y )χ ε [,] (y) dy 4ε χ [ ε,ε] (x y) dy [,] 4ε L (([x ε, x + ε] [, ]) ([x ε, x + ε] [, ])) 4ε L ([x ε, x + ε] [, ]) L ([x ε, x + ε] [, ]) u ε (x )u ε (x )..5 Abbildung : w ε für ε.

5 Aufgabe 7 (Regularität der Hermite-Interpolation) 4 Punkte Man unterteile [, ] in N h äquidistante Teilintervalle I i [ih, (i + )h] mit i,,..., N. Für f C ([, ]) bezeichne I h f die stückweise kubische Hermite- Interpolation von f. Zeigen Sie, dass I h f H,p ((, )) für alle p gilt. Lösung Aus der Definition der Hermite-Interpolation folgt direkt, dass I h f C ([, ]). Insbesondere erfüllt die Funktion v : I h f v C ([, ]) und v Ii C ( I i ) für alle i,..., N. Da I h f im starken Sinn (und damit auch schwach) differenzierbar ist und die Ableitung v beschränkt ist, reicht es zu zeigen, dass v H,p ((, )). Sei dazu ϕ C ((, )). Dann gilt (,) ϕ (x)v(x) dx N i N i ϕ (x)v Ii (x) dx I i ( [ϕ(x)v Ii (x)] (i+)h ih ) ϕ(x)v I I i (x) dx i N ( ϕ()v() ϕ()v() + v Ii (ih) v Ii (ih) ) i + ϕ(x)v (x) dx ϕ(x)v (x) dx. (,) Hierbei setzen wir v v I i im Inneren von I i und v (ih) für alle i (die Wahl an den endlich vielen Stützstellen ist beliebig). Da das Interpolationpolynom ein stückweise kubisches Polynom ist, gilt damit v L ([, ]), was wiederum v L p ([, ]) für alle p impliziert. Also ist v ein schwache Ableitung von v im H,p ((, ))-Sinne und damit insgesamt I h f H,p ([, ]). Aufgabe 8 (Poincaré-Ungleichung) 4 Punkte Es sei R eine zusammenhängende, endliche Vereinigung von Quadern und Γ D eine Quaderseite enthalten in. Zeigen Sie, dass für u H, () mit u auf Γ D folgende Poincaré-Ungleichung gilt Hinweise: u L () C(, Γ D) u L (). (i) Rufen Sie sich den Beweis für einen einzelnen Quader in Erinnerung (Tipp: Verwenden Sie den Hauptsatz der Integralrechnung). (ii) Versuchen Sie diesen Beweis an die Voraussetzungen der Aufgabe anzupassen. (,) (,) ϕ(x)v (x) dx

6 Lösung Die Hauptidee des Beweises ist, eine geeignete Kurvenschar zu finden, die das gesamte Integrationsgebiet abdeckt. Es bezeichne Q R denjenigen Quader, auf dessen Quaderseite Γ D die Funktion u den Wert Null annimmt. Für den Moment nehmen wir an, dass Q durch das Quadrat [, A] gegeben ist und dass Γ D {(x, y) R : x A, y A}. Wir definieren nun rekursiv eine stückweise lineare Kurvenschar (γ a (t)) t [,],a [,A]. Zunächst betrachten wir nur den Quader Q. Wir definieren (a, A) T + t( a, 3a) T, für a < A 3, γ a (t) (a, A) T + t(a A, A) T, für A 3 a A 3, (a, A) T + t(a a, 3a 3A) T, für A 3 < a A. Man kann leicht nachprüfen, dass es für jeden Punkt (x, y) ein eindeutiges Γ D a < A/3 A/3 a A/3 A/3 < a A γ a Abbildung : Skizze der Kurvenschar auf dem Quadrat Q [, A]. Paar (t, a) [, ] [, A] gibt, sodass γ a (t) (x, y). Desweiteren gilt für a < A/3, dass γ a () auf der linken Kante {} [, A], für A/3 a A/3 auf der unteren Kante [, A] {} und für A/3 < a A auf der rechten Kante {} [, A] liegt (siehe Abbildung ). Diese Konstruktion kann analog auch für allgemeine Quader durchgeführt werden. Um die Kurvenschar auf ganz auszuweiten, machen wir die gleiche Konstruktion auf jedem angrenzenden Quader (dabei sind die Kurven ausgehend von der gemeinsamen Kante definiert). Dieses Argument kann iteriert werden, sodass wir schließlich (nach Umparametrisierung) eine Schar von stückweise affinen Kurven (γ a (t)) t,a erhalten, sodass für jeden Punkt (x, y) R genau ein Paar (t, a) [, ] [, A] existiert mit γ a (t) (x, y). Um den Beweis abzuschließen, gehen wir ähnlich vor wie beim Beweis der Poincaré- Ungleichung auf Quadern. Zunächst bemerken wir, dass wegen der endlichen Anzahl

7 an Quadern, Konstanten C (), C () > existieren, sodass C () γ a (t) C () und C () a γ a (t) C (). Aus dem Hauptsatz der Integralrechnung (für schwache Ableitungen) und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir für u(γ a (t)) die folgende Abschätzung für (fast alle t und a): t u(γ a (t)) C u(γ a (s)) γ a (s) ds γ a (s) ds u(γ a (s)) ds. u(γ a (s)) ds Damit können wir schließlich die L -norm von u abschätzen. Mit dem Transformationssatz erhält man u(x) dx A C C 4 C4 C4 C C u(γ a (t)) γ a (t) a γ a (t) dt da A A A u(γ a (s)) ds γ a (t) a γ a (t) dt da u(γ a (s)) ds da u(γ a (s)) γ a (s) a γ a (s) ds da u(x) dx. Bemerkung: Anstatt des Transformationssatzes kann auch die coarea formula verwendet werden. Diese verallgemeinert den Satz von Fubini und liefert somit ein direktes Analogon zum Beweis der Poincaré Ungleichung auf Quadern.