Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

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1 Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen? Äquivlenzumformungen Rechnen mit Ungleichungen Lösen spezieller Ungleichungen 3. Linere Ungleichungen Qudrtische Ungleichungen Allgemeine Ungleichungen 3 3. Qudrte Mittelungleichungen Vollständige Induktion Einführung. Ws sind Ungleichungen? Ungleichungen sind im Prinzip so ähnlich wie Gleichungen, stellen lso eine Beziehung zwischen zwei Seiten (links rechts) her. Sttt dem Gleichheitszeichen (=) enthlten sie ber ein Ungleichheitszeichen, lso < ( kleiner ), > ( größer ), ( kleiner oder gleich ), ( größer oder gleich ) oder ( ungleich ). Ungleichungen können wie Gleichungen Vriblen ( Unbeknnte ) enthlten. Die Lösungsmenge einer Ungleichung ist die Menge ller Werte dieser Vriblen, für die die Ungleichung gilt. Beispiel. Die Ungleichung 4 x > 8 (hier ist x die Vrible) gilt für x >, ht lso die Lösungsmenge. Äquivlenzumformungen.. Stndrdumformungen L = {x R x > }. Ähnlich wie Gleichungen knn mn uch Ungleichungen umformen. Mn ddiert oder subtrhiert lso uf beiden Seiten ds Gleiche, multipliziert beide Seiten mit dem Gleichen oder dividiert beide Seiten durch ds Gleiche. Die erhltene neue Ungleichung ist dbei (im Normlfll) äquivlent zur ursprünglichen, d.h. sie besitzt die selbe Lösungsmenge. ( Äquivlent schreibt mn kurz ls ).

2 Beispiel. In obigem Beispiel sind wir durch eine Äquivlenzumformung uf die Lösungsmenge gekommen: Wir hben beide Seiten durch 4 dividiert, lso x >. 4 x > 8 : 4 Bei Multipliktion und Division muss mn llerdings ufpssen. Wenn mn nämlich mit einem negtiven Wert multipliziert (bzw. durch einen negtiven Wert dividiert), dreht sich ds Ungleichheitszeichen um! Beispiel. Ersetzen wir im Beispiel 4 durch 4, ergibt sich 4 x > 8 x <. : ( 4) Außerdem sind ntürlich die Multipliktion mit 0 und die Division durch 0 verboten! Mn knn uch beide Seiten einer Ungleichung qudrieren. Dfür müssen llerdings beide Seiten positiv sein! (Sonst erhält mn keine äquivlente Ungleichung.).. Wurzelziehen Auch Wurzelziehen ist erlubt, wenn beide Seiten positiv sind. Außerdem ist zu bechten, dss dbei Absolutbeträge entstehen, denn x = x. (Denke z.b. n ( ) = 4 = =.) Beispiel. Löse x > 4 für x R. x >, x > 4... somit lso x < oder x >. Es ergibt sich lso die Lösungsmenge Sie knn uch in Intervllschreibweise ls L = {x R x < oder x > }. L = (, ) (, ) ngegeben werden ( bedeutet Mengenvereinigung)..3 Rechnen mit Ungleichungen Ungleichungen können ddiert und multipliziert werden, solnge sie dsselbe Ungleichheitszeichen (insbesondere in die gleiche Richtung) enthlten. Beispiel. Wenn wir die Ungleichungen ddieren, folgt drus die Ungleichung Durch Multiplizieren ergibt sich Ds heißt im Speziellen: 4 x > 8 y > 4 x + y > 0. 8 x y > 6. Die Summe von zwei positiven Zhlen ist positiv (x > 0, y > 0 x + y > 0). Ds Produkt von zwei positiven Zhlen ist positiv (x > 0, y > 0 x y > 0).

3 Lösen spezieller Ungleichungen. Linere Ungleichungen Liner bedeutet, dss die Unbeknnte (bzw. die Unbeknnten) nur in erster Potenz in der Ungleichung uftritt, lso etw x, nicht ber x, x 3 oder x etc. Diese Ungleichungen können einfch durch Äquivlenzumformungen gelöst werden, indem mn die Vrible freistellt. Beispiel. Für welche x R gilt 5x + 8 0? 5x x : ( 5) x 5 Die Lösungsmenge ist lso { } [ x R x 5. Sie knn uch in Intervllschreibweise ls 5, ) geschrieben werden.. Qudrtische Ungleichungen Hier treten die Vriblen in bis zu zweiter Potenz uf, lso z.b. x und x. Diese Ungleichungen löst mn, indem mn uf ein vollständiges Qudrt ergänzt. Beispiel. Für welche R gilt ? Wir wollen ein vollständiges Qudrt der Form ( b) = 0 + b, wobei wir ds b erst bestimmen müssen. Es gilt ( b) = b + b, lso in unserem Fll b = 0 und somit b = 5. Wir bruchen lso insgesmt b = 5 ls konstntes Glied uf der linken Seite, müssen dher 6 ddieren: ( 5) Nun können wir nchdem beide Seiten sicher positiv sind jeweils die Wurzel ziehen (siehe dzu Abschnitt..). Somit ist die Ungleichung äquivlent zu oder oder. Die Lösungsmenge ist lso L = (, ] [9, ). 3 Allgemeine Ungleichungen Im Gegenstz zu Beispielen, wo die Lösung einer Ungleichung gefrgt ist, gibt es uch solche, wo mn die Ungleichung im Allgemeinen beweisen soll. Dfür gibt es verschiedene Verfhren bzw. beknnte Ungleichungen, uf die mn die gegebene zurückführen knn. 3

4 3. Qudrte Eine der zentrlsten und m öftesten verwendeten Ungleichungen ist die, dss ds Qudrt einer reellen Zhl nicht negtiv ist, lso x 0 für x R. Gleichheit gilt genu ( dnn und nur dnn ), wenn x = 0. Beispiel. Zeige die Ungleichung + b + c b + c + bc für lle, b, c R. Wnn gilt Gleichheit? Die Idee ist, dss wir Terme der Form (x y) = x xy + y konstruieren. Dzu benötigen wir die doppelten Zweierprodukte, weswegen wir zuerst mit multiplizieren, dnn lles uf eine Seite bringen und schließlich die Qudrte ufsplten : + b + c b + c + bc + b + c b + c + bc (b + c + bc) + b + c b c bc 0 b + b + b bc + c + c c + 0 ( b) + (b c) + (c ) 0 Nun hben wir lso die Summe luter Qudrte, lso nicht-negtiver Zhlen, die somit sicher uch nicht-negtiv ist. Dmit ist die gegebene Ungleichung (die j äquivlent zu dieser ist) bewiesen. Gleichheit gilt in der Summe genu dnn, wenn lle Summnden 0 sind, lso d.h. = b = c. b = 0 b c = 0 c = 0 = b b = c c =, 3. Mittelungleichungen Ht mn zwei positive Zhlen x und y, knn mn ihren Mittelwert usrechnen, lso x + y. Dieser Mittelwert wird in der Mthemtik rithmetisches Mittel gennnt. Es gibt uch ndere, z.b. ds geometrische Mittel, ds ls x y definiert ist. Drüberhinus gibt es ds qudrtische Mittel x + y und ds hrmonische Mittel x + y Diese Mittelwerte erfüllen egl welche (positiven) Zhlen x, y mn einsetzt gewisse Ungleichungen.. 4

5 3.. Arithmetisch-geometrische Mittelungleichung Für x, y R + (d.h. x und y sind positive reelle Zhlen) gilt x + y x y. Ds rithmetische Mittel ist lso immer größer oder gleich dem geometrischen Mittel. Gleichheit gilt genu für = b. Beweis. Die rithmetisch-geometrische Mittelungleichung lässt sich leicht beweisen, indem mn sie uf ein vollständiges Qudrt umformt: x + y x y x + y x y... (x + y > 0 wegen x > 0 und y > 0) x + xy + y 4xy 4xy x xy + y 0 (x y) 0 Dmit ist die Ungleichung bewiesen. Diese Ungleichung knn mn oft benutzen, um weitere Ungleichungen zu beweisen. Beispiel. Zeige für, b > 0: b + b. Wir würden links gerne ein rithmetisches Mittel konstruieren, lso dividieren wir die Ungleichung zuerst durch : b + b : b + b. Nun steht links genu ds rithmetische Mittel von b und b. Wir wissen, dss dies sicher größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist, lso Somit ist die Ungleichung bewiesen. 3.. Weitere Mittelungleichungen b + b b b = =. Neben der rithmetisch-geometrischen Mittelungleichung gibt es uch Ungleichungen für die nderen erwähnten Mittel. Mn knn nämlich zeigen, dss ds qudrtische Mittel größer/gleich dem rithmetischen und ds geometrische Mittel größer/gleich dem hrmonischen ist. Insgesmt heißt ds lso x + y oder kurz x + y x y x + y QM AM GM HM. 5

6 Bemerkung. Die Mittel lssen sich uch für mehr ls Vrible definieren. So ist z.b. ds rithmetische Mittel für n Vrible x, x,..., x n definiert ls und ds geometrische Mittel ls x + x + + x n, n n x x x n. Die Mittelungleichungen gelten uch in diesen llgemeineren Fällen. 3.3 Vollständige Induktion Viele Ungleichungen speziell ntürlich solche über ntürlichen Zhlen n N lssen sich mittels vollständiger Induktion beweisen. Dbei geht mn in zwei Schritten vor:. Induktionsbsis: Zeige die Gültigkeit der Ungleichung für einen Strtwert, im Normlfll n =.. Induktionsschritt (n n + ): Zeige die Gültigkeit der Ungleichung für n +, unter der Annhme, dss sie für n gilt. Somit ht mn die Gültigkeit der Ungleichung für lle ntürlichen Zhlen n gezeigt. Mn knn sich diese Vorgehensweise wie Stufensteigen vorstellen: Wenn mn weiß, wie mn uf die erste Stufe kommt (Bsis), und ußerdem, wie mn von einer Stufe zur nächsten kommt (Schritt), knn mn die gesmte Treppe erklimmen (theoretisch bis ins Unendliche). Bemerkung. Diese Beweistechnik wird in vielen Gebieten der Mthemtik sehr häufig verwendet. Eine große Rolle spielt sie nicht sehr überrschend in der Zhlentheorie. Beispiel. Zeige für n 4: n < n! (n! = 3 4 n, sprich n Fkultät.) Der Beweis gelingt mittels vollständiger Induktion:. Induktionsbsis: Für n = 4 gilt die Ungleichung, denn 4 n = 6 < 4 = 4!.. Induktionsschritt: Wir nehmen nun n, dss die Ungleichung für n stimmt ( Induktionsnnhme), und wollen sie für n + beweisen. Zu zeigen ist lso Es gilt n+ < (n + )! n+ = n < n! lut Induktionsnnhme. Ds knn für n 4 weiter bgeschätzt werden zu n! < n! (n + ) = (n + )! Somit hben wir insgesmt n+ < (n + )! bewiesen, womit die Induktion vollständig und die Aussge bewiesen ist. Beispiel. Zeige für n > : n > n. Der Beweis gelingt mittels vollständiger Induktion: 6

7 . Induktionsbsis: Zeige die Ungleichung für n = (nchdem n >, ist der erste Wert, für den sie gelten soll). Sie lutet dnn ws offensichtlich stimmt > = 3 >,. Induktionsschritt: Zu zeigen ist n + n + + n n+ > n +. Aufgrund unserer Induktionsnnhme können wir nun die linke Seite bschätzen; es gilt nämlich }{{ n + } n + + n n+ > n + n + + n n + n. > n lt. Ind.nn. (Dbei hben wir n+ = n = n + n verwendet.) In diesem neuen Ausdruck schätzen wir nun die einzelnen Summnden b. (Indem wir den Nenner vergrößern, verkleinern wir den Wert des Bruchs.) n + n + }{{} > n+ für n > + n + }{{} n+ + + n + }{{ n > n + } n+ + + }{{ n+ } n Summnden n+ Somit hben wir (durch eine Ungleichungskette) gezeigt, dss n + n + + n n+ > n +. Die Induktion ist dmit vollständig und die Aussge bewiesen. = n + n n+ = n +. 7