/ Nur zur privaten Verwendung! Musterausdruck! Skript und Übungsaufgaben Die Satzgruppe des Pythagoras

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "/ Nur zur privaten Verwendung! Musterausdruck! Skript und Übungsaufgaben Die Satzgruppe des Pythagoras"

Transkript

1 Skript und Übungsaufgaben Die Satzgruppe des Pythagoras DER SATZ DES PYTHAGORAS DEFINITION UND BEWEIS AUFGABEN ZUM SATZ DES PYTHAGORAS MIT MUSTERLÖSUNGEN 5 DER KATHETENSATZ DES EUKLID 7 DEFINITION UND BEWEIS 7 AUFGABEN ZUM KATHETENSATZ DES EUKLID MIT MUSTERLÖSUNGEN 8 DER HÖHENSATZ DES EUKLID 10 DEFINITION UND BEWEIS 10 AUFGABEN ZUM HÖHENSATZ DES EUKLID MIT MUSTERLÖSUNGEN 11 Seite 1

2 / Der Satz des Pythagoras Definition und Beweis Die Voraussetzungen des Satzes sind: M u oh Im st e ne O ra u n W l s i d n a er s e ru hä se -A ck ltl rze bo! ic h. ich en Sei a,b,c ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a,b und der Hypotenuse c. Der Satz des Pythagoras lautet: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat ( a + b = c ). Oder geometrisch anschaulich: Die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten a + b ist gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse c : a + b = c Seite

3 Beweis: Die Fläche des großen äußeren Quadrats beträgt: ( a + b) Diese Fläche setzt sich zusammen aus dem vierfachen der Fläche des markierten Dreiecks und c. Da die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ( b) a + = 4 ab + und somit c a + ab beträgt, folgt: + ab + b = ab c mit der ersten binomischen Formel und Kürzen mit Nach Abziehen von ab auf beiden Seiten ergibt sich der Satz des Pythagoras: a + b = c Seite 3

4 Oder z.b alternativ: Anstelle eines großen äußeren Quadrats kann man auch ein kleines inneres Quadrat bilden: Wir betrachten das untere, von der Hypotenuse c gebildete Quadrat. Die Fläche setzt sich zusammen aus 4 mal der Fläche des Dreiecks inneren (grünen) Quadrats: ( ) b a. ab = 4 + b a Es ergibt sich: ( ) und somit: c a, b, c: 4 ab und der Fläche des kleinen, = ab + b ab + a nach der. binomischen Formel und Kürzen mit = a + b wegen ab ab = 0 a + b = c Seite 4

5 Aufgaben zum Satz des Pythagoras mit Musterlösungen a,b,c sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a,b und der Hypotenuse c. 1. Aufgabe: Berechne die fehlende Seite: a = 9, b = 3, c =? Es gilt a + b = c und somit = c. Quadrieren ergibt = c und somit 90 = c. Wurzelziehen ergibt dann c = 90 = 9 10 = 3 10 c = 4, b =, c =? Es gilt a + b = c und somit a + = 4. Quadrieren ergibt a + 4 = 16 und somit a = 1. Wurzelziehen ergibt dann a = 1 = 4 3 = 3. Aufgabe Ein quadratisches Schild mit einer Seitenlänge von 15 cm wird an zwei gegenüberliegenden Ecken befestigt. Wie weit liegen die Ecken voneinander entfernt? Gesucht wird die Hypotenuse. Die Katheten sind 15 cm lang. Es gilt a = + b c und somit Es folgt c = a = a = , 777 cm Seite 5 c 3. Aufgabe Wie weit ist der Punkt (,3) vom Ursprung des Koordinatensystems entfernt? Gesucht ist die Hypotenuse. Es gilt a + b = c und somit Quadrieren ergibt 3 c + =. + 4 = 13 = und somit folgt = 13 3, c Der Abstand beträgt 13 3, 606 c. a = wegen a = b.

6 4. Aufgabe Wie weit sind die Punkte A= (1,) B= (,1) voneinander entfernt? Gesucht ist die Hypotenuse c. Es gilt b y A y = 1= 1 und a x B x = 1= 1. Wegen = B = A a + b = c gilt = c und somit c = und c =. Die Entfernung der Punkte A= (1,) B= (,1) beträgt. Seite 6

7 / Der Kathetensatz des Euklid Definition und Beweis M u oh Im st e ne O ra u n W l s i d n a er s e ru hä se -A ck ltl rze bo! ic h. ich en Die Voraussetzungen des Satzes sind: Sei a,b,c ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. Der Punkt, den die Höhe h mit der Hypotenuse c gemeinsam hat, teilt dann c in die Abschnitte q, p. Der Kathetensatz lautet: Die Fläche des Quadrats über a ist gleich der Fläche des Rechtecks aus p und c ( a = pc ) und Die Fläche des Quadrats über b ist gleich der Fläche des Rechtecks aus q und c ( b = qc ). Beweis (mit dem Satz des Pythagoras): Es gilt dreimal der Pythagoras: I. a + b = c II. h + p = a III. h + q = b (alles rechtwinklige Dreiecke) Aus I folgt a = c b auf beiden Seiten b subtrahiert wegen p + q = c und III = ( p + q) (h + q ) = p + pq + q q h mit der 1. binomischer Formel wegen q q = 0 = p + pq h = p + pq (a p ) wegen II Auflösung der Klammer = p + pq a Seite 7

8 Es folgt: Es folgt: / a = p + pq auf beiden Seiten a addiert = p ( p + q) p ausgeklammert = pc wegen p + q = c a = pc nach Division mit. b = qc folgt analog. Aufgaben zum Kathetensatz des Euklid mit Musterlösungen a,b,c sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. 1. Aufgabe Gegeben sei ein Rechteck mit flächengleiches Quadrat. s1 = 4cm und s = cm. Verwandele das Rechteck in ein Setze q = s = cmund c = s1 = 4cm und konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Thales-Kreis: Seite 8

9 . Aufgabe Gegeben sei ein Quadrat mit der Seitenlänge flächengleiches Rechteck. b = 4cm. Verwandele das Quadrat in ein Nehme die Seite b als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, A B, C : Seite 9

10 Der Höhensatz des Euklid Definition und Beweis Die Voraussetzungen des Satzes sind: Sei a,b,c ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. Der Punkt, den die Höhe h mit der Hypotenuse c gemeinsam hat, teilt dann c in die Abschnitte q, p. Der Höhensatz lautet: Die Fläche des Quadrats über h ist gleich der Fläche des Rechtecks aus p und q ( h = pq ). Beweis (mit dem Satz des Pythagoras): Es gilt dreimal der Pythagoras: I. a + b = c II. Aus II folgt Aus III folgt Es folgt Es folgt h h III. h = h + p = + q b (alles rechtwinklige Dreiecke) = a p auf beiden Seiten = b q auf beiden Seiten h q a p subtrahiert q subtrahiert = a + b p Addition beider Gleichungen h = = c p q wegen I = ( p + q) p q wegen p + q = c = p + pq + q p q erste binomische Formel = pq wegen q q = 0, p p = 0 pq beide Seiten durch geteilt Seite 10

11 Aufgaben zum Höhensatz des Euklid mit Musterlösungen a,b,c sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. 1. Aufgabe a = 6 cm, b = 5cm Bestimme c, h, p, q und die Fläche A Nach dem Satz des Pythagoras gilt a + b = c und somit c = = 661 5,71. ab 6 5 Die Fläche A beträgt A = = = 75cm. ab hq hp h( q + p) hc Mit der Fläche A bekommt man eine Beziehung für h : A = = + = = A 75 und damit h = = 5,834. c 5,71 Fehlen noch p, q : Mit Pythagoras h + q = a und Für p, q ergibt sich q = a h und p h = + p b. = b h mit 36 5,834 1, 401 q p 65 5,834 4, 31. Probe: c = p + q 5,71 4,31 + 1,40 = 5, 71 und h = pq : 5,834 4,31 1, 40 34,036 34,083. Aufgabe Verwandle das Rechteck a = 5 cm, b = cm in ein flächengleiches Quadrat. Seite 11

12 3. Aufgabe In einem rechtwinkligen Dreieck a, b, c hat die Projektion der Kathete a auf die Hypotenuse c 4 cm Länge und die Höhe h 5 cm. Berechne a, b, c, Fläche des Dreiecks. Es gilt p = 4 wegen der Projektion. h 5 Aus dem Höhensatz h = pq ergibt sich durch Umstellung q = = = 6, 5. p 4 Wegen c = p + q ist c = 4 + 6,5 = 10, 5. Mit dem Satz des Pythagoras gilt h + p = a = = 41 und so a = 41 6, 4. Nochmals der Pythagoras a + b = c ergibt b = c a 10,5 6,4 105,06 40,96 64, 1 und damit b 8. 6,4 8 Die Fläche: A = ab = 5, 6. Ergebnis: a 6,4; b 8; c = 10,5incm; A 5,6 cm Seite 1

π geometrisch ermittelt als Gerade im Thaleskreis (mit 99,9%iger Genauigkeit).

π geometrisch ermittelt als Gerade im Thaleskreis (mit 99,9%iger Genauigkeit). Das geometrische π π geometrisch ermittelt als Gerade im Thaleskreis (mit 99,9%iger Genauigkeit). nach Hans-Werner Meixner und Coautor Christian Meixner Als Basis für die Ausführungen zur geometrischen

Mehr

Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken

Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken Übungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel.

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Übungsaufgaben Repetitionen

Übungsaufgaben Repetitionen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Blatt 7 1.06.017 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag 5. a) Um ein rechtwinkliges Dreieck in seiner

Mehr

Übungsaufgaben Repetitionen

Übungsaufgaben Repetitionen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87

Mehr

3. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise

3. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise (v0.1 16.1.09) Schuljahr 008/009. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A Aufgabe 1 (a) Der Satz des Pythagoras lässt sich zum Beispiel so formulieren: In einem rechtwinkligen Dreieck

Mehr

Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse.

Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse. Item 2 Schreibe so viele Verallgemeinerungen (Sätze, Definitionen, Eigenschaften, Folgerungen) wie du kannst auf, die mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun haben. Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck

Mehr

Rechtwinklige Dreiecke, die in einem weiteren Winkel übereinstimmen, sind schon zueinander ähnlich.

Rechtwinklige Dreiecke, die in einem weiteren Winkel übereinstimmen, sind schon zueinander ähnlich. 1 9. Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke, die in einem weiteren Winkel übereinstimmen, sind schon zueinander ähnlich. Die Höhe h zerlegt das Dreieck in zwei ähnliche Teildreiecke

Mehr

Jgst. 11/I 2.Klausur

Jgst. 11/I 2.Klausur Jgst. 11/I 2.Klausur 10.12.2010 A1. Gegeben sind die vier Punkte A(2/2), B(3/6), C(7/5) und D(6/1). Berechne die Gleichung des größten Kreises, den man in das Viereck, das aus diesen Punkten gebildet wird,

Mehr

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras Das rechtwinklige Dreieck Jedes rechtwinklige Dreieck besitzt eine Hypotenuse (c), das ist die längste Seite des Dreiecks (bzw. diejenige gegenüber dem rechten Winkel). Die anderen

Mehr

Der Satz von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras Der Satz von Pythagoras Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober 2013 W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 1 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

Mehr

Übungsaufgaben Repetitionen

Übungsaufgaben Repetitionen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut

Mehr

DOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Satzgruppe des Pythagoras. Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse

DOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Satzgruppe des Pythagoras. Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse DOWNLOAD Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mathematik 22 9. Klasse: Marco Bettner/Erik Dinges Bergedorfer Unterrichtsideen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Vertretungsstunden Mathematik

Mehr

Geometrie Satz des Pythagoras

Geometrie Satz des Pythagoras TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: November

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhalb der ca. 350.000 Mathematikaufgaben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt das Lesezeichen Ihres Acrobat Readers: Das Icon finden Sie in der links stehenden

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 01 Blatt 7 0.06.01 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag 5. a Um ein rechtwinkliges Dreieck in seiner Gestalt

Mehr

Geometrie Satz des Pythagoras

Geometrie Satz des Pythagoras TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausgabe:

Mehr

VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK

VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK KLAUSUR 1, 8.12.2015 (1) Verwandle die folgenden Zahlen in Keilschrift bzw. in unsere Schreibweise: a) 14 b) 30 c) 100 d) 1 2 e) 1 1 3 (2) a) Begründe, warum für kleine x die

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. Berechne ohne Taschenrechner: a) 2, a) = -1, b) = = = 4000

Grundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. Berechne ohne Taschenrechner: a) 2, a) = -1, b) = = = 4000 Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Berechne ohne Taschenrechner: a),5 + 7 1 9 b) 16 000 000 4 c) 81a 8 Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an: a) ( x)² = 9 b) -x² = -5 c) x² + 50 = 0 Sind folgende

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. 144c 6 + = ( d)² 144c6 + = ( d)². Berechne ohne Taschenrechner: a) 2,

Grundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. 144c 6 + = ( d)² 144c6 + = ( d)². Berechne ohne Taschenrechner: a) 2, Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Lösungen Berechne ohne Taschenrechner: a) 2,25 + 7 1 9 b) 16 000 000 4 c) 81a 8 Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an: a) ( x)² = 9 b) x² = 5 c) 2x² + 50 = 0 Sind

Mehr

Rechnen mit Quadratwurzeln

Rechnen mit Quadratwurzeln 9. Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 9 Rechnen mit Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus a ist diejenige nichtnegative Zahl aus R, deren Quadrat wieder a ergibt. a nennt man Radikand. Man schreibt dafür

Mehr

Die Kanten der Grundfläche mit je 7 cm sind die Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse c ist die gesuchte Bodendiagonale c.

Die Kanten der Grundfläche mit je 7 cm sind die Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse c ist die gesuchte Bodendiagonale c. Aufgabe 1 Schritt 1: Ansatz und Skizze Bei einem Würfel, bei dem ja alle Kantenlängen gleich sind, kannst du mit einer Raumdiagonale, einer senkrechten Kante und einer Decken oder Bodendiagonalen ein rechtwinkliges

Mehr

Über das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2.

Über das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2. Aufgabe 1 Schritt 1: Skizze und Ansatz Über das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2. Da du außerdem das Verhältnis der Seitenlängen kennst,

Mehr

Geschichte von Pythagoras

Geschichte von Pythagoras Satz von Pythagoras Inhalt Geschichte von Pythagoras Entdeckung des Satzes von Pythagoras Plimpton 322 Lehrsatz Beweise Kathetensatz und Höhensatz Pythagoreische Tripel Kosinussatz Anwendungen des Satzes

Mehr

Zeichnet man nun über die Seiten des Dreiecks die Quadrate der jeweiligen Seiten, dann ergibt sich folgendes Bild:

Zeichnet man nun über die Seiten des Dreiecks die Quadrate der jeweiligen Seiten, dann ergibt sich folgendes Bild: 9. Lehrsatz von Pythagoras Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Mathematiker, der von ca. 570 v.chr. bis 510 n.chr lebte. Obwohl es über seine gesallschaftliche Stellung verschiedene

Mehr

Grundlagen IV der Kathetensatz

Grundlagen IV der Kathetensatz Grundlagen IV der Kathetensatz Der Kathetensatz ergibt sich wie auch der Höhensatz aus dem Ähnlichkeitssatz: b a a c = p a a 2 = p c p q b c = q b b 2 = q c c Löse die folgenden Teilaufgaben mithilfe des

Mehr

Polareuklidische Geometrie

Polareuklidische Geometrie Polareuklidische Geometrie Der duale Satz des Pythagoras und das Basler Problem Immo Diener Zusammenfassung des Vortrags im Kolloquium Mathematik und Geisteswissenschaft 20. Oktober 208 Der Satz des Pythagoras

Mehr

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck, Satz des Pythagoras

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck, Satz des Pythagoras Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck, Satz des Pythagoras Aufgabe 1 Berechne die fehlenden Grössen (a, b, c, h, p, q, A) der rechtwinkligen Dreiecke: a) p = 36, q = 64 b) b = 13, q = 5 c) b = 70, A =

Mehr

Hauptschule Bad Lippspringe Schlangen Klassenarbeit Mathematik 9a/b Name: Dutkowski

Hauptschule Bad Lippspringe Schlangen Klassenarbeit Mathematik 9a/b Name: Dutkowski 02.12.2010 Aufgabe 1: Basiswissen a) Prozentrechnung (7 P.) a) b) c) d) Prozentzahl Bruch Dezimalzahl 30% 3 10 O,3 25% 25 1 = 100 4 0,25 50% 1 50 = 2 100 0,5 75 % 75 100 0,75 b) Zuordnungen (6 P.) Frau

Mehr

Download. Mathe an Stationen Klasse 9. Satzgruppe des Pythagoras. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Mathe an Stationen Klasse 9. Satzgruppe des Pythagoras. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Download Marco Bettner, Erik Dinges Mathe an Stationen Klasse 9 Satzgruppe des Downloadauszug aus dem Originaltitel: Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der

Mehr

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke

Mehr

4 x

4 x Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms in G = R a) T(x) = x b) x c) x d) x e) x +. Vereinfache a) 0 + 90 b) 6 7 + 08 7 7 c) 0 0 + d) 6. Mache den Nenner rational

Mehr

2.2C. Das allgemeine Dreieck

2.2C. Das allgemeine Dreieck .C. Das allgemeine Dreieck Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = ( 0, z ) (x, y, z > 0) transformieren. Die

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Satz des Pythagoras Lösungen. 1) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge. (Es sind zwei Sätze.)

Satz des Pythagoras Lösungen. 1) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge. (Es sind zwei Sätze.) 1) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge. (Es sind zwei Sätze.) 3 den rechten Winkel einschließen 2 heißen die Seiten, die 4 Katheten, 1 Im rechtwinkligen Dreieck 7 Hypotenuse. 9 gilt nur im

Mehr

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,

Mehr

I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE

I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen

Mehr

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010) M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier

Mehr

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010) M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier

Mehr

1 Die Strahlensätze 2. 2 Winkel 3. 3 Rechtwinklige Dreiecke 3. 4 Kreise 6. 5 Trigonometrische Funktionen 8. 6 Kurven in Parameterdarstellung 10

1 Die Strahlensätze 2. 2 Winkel 3. 3 Rechtwinklige Dreiecke 3. 4 Kreise 6. 5 Trigonometrische Funktionen 8. 6 Kurven in Parameterdarstellung 10 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die Strahlensätze 2 2 Winkel 3 3 Rechtwinklige

Mehr

c) Die Parabel ist nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt liegt auf der x Achse und ist somit auch die einzige Nullstelle.

c) Die Parabel ist nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt liegt auf der x Achse und ist somit auch die einzige Nullstelle. Aufgabe 1 Schritt 1: Koordinaten der Scheitelpunkte Die Funktionsgleichungen sind schon in der Scheitelform angegeben. Du musst die Scheitelpunkte eigentlich nur noch ablesen. a) 0,75; 3 b) 3; 1,5 c) ;

Mehr

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012 Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte

Mehr

Kompetenztest. 1 Im rechtwinkligen Dreieck. Satz des Pythagoras. Kompetenztest. Testen und Fördern. Satz des Pythagoras. Name: Klasse: Datum:

Kompetenztest. 1 Im rechtwinkligen Dreieck. Satz des Pythagoras. Kompetenztest. Testen und Fördern. Satz des Pythagoras. Name: Klasse: Datum: Testen und Fördern Name: Klasse: Datum: 1) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge. (Es sind zwei Sätze.) den rechten Winkel einschließen heißen die Seiten, die Katheten, 1 Im rechtwinkligen Dreieck

Mehr

Die folgenden Aufgaben stellen als Überblick die Grundlagen für einen erfolgreichen Start im EA-Kurs dar.

Die folgenden Aufgaben stellen als Überblick die Grundlagen für einen erfolgreichen Start im EA-Kurs dar. Die folgenden Aufgaben stellen als Überblick die Grundlagen für einen erfolgreichen Start im EA-Kurs dar. Es gelten der Stoff aus www.mathbu.ch 8+ resp. 9+. A00 Arithmetisches Rechnen / allgemeines Rechnen

Mehr

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012 Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht

Mehr

Dreieckssätze. Pythagoras und Co. W.Seyboldt SFZ 14/15

Dreieckssätze. Pythagoras und Co. W.Seyboldt SFZ 14/15 Dreieckssätze Pythagoras und Co 1 Pythagoras 300 v.chr.: Elemente des Euklid, Stoicheia unterteilt in 15 Bücher (Kapitel) I bis XV wobei die beiden letzten erst später dazu kamen, deshalb redet man oft

Mehr

Grundwissen 9. Klasse

Grundwissen 9. Klasse Grundwissen 9. Klasse ) Rationale und irrationale Zahlen Quadratwurzel b ist diejenige nichtnegative Zahl, die quadriert b ergibt: b b ( 5 ) 5 Die Zahl b heißt Radikand; b 0 : es gibt keine Quadratwurzel

Mehr

Aufgaben Ähnlichkeit:

Aufgaben Ähnlichkeit: Aufgaben Ähnlichkeit: 1. Berechne die gesuchten Zahlwerte, beziehungsweise z. a) 8 21 14 α 18 β α β b) 40 α 16 12 α 22 β β c) d) e) Geometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.doc A.Räz Seite 23 2. Berechne die

Mehr

1 Zahlen. 1.1 Die Quadratwurzel. 1.2 Rechnen mit Quadratwurzeln. Grundwissen Mathematik 9

1 Zahlen. 1.1 Die Quadratwurzel. 1.2 Rechnen mit Quadratwurzeln. Grundwissen Mathematik 9 Zahlen. Die Quadratwurzel Die Quadratwurzel a ist die nicht negative Lösung der Gleichung x a. a 0 0 0 a heißt Radikand Ein Teil der Quadratwurzeln sind rationale Zahlen (z.b. 9, 0,0 oder ), 9 andere dagegen

Mehr

Tag der Mathematik 2016

Tag der Mathematik 2016 Tag der Mathematik 016 Mathematischer Wettbewerb, Klassenstufe 9 10 30. April 016, 9.00 1.00 Uhr Aufgabe 1 Der Mittelwert von 016 (nicht unbedingt verschiedenen) natürlichen Zahlen zwischen 1 und 0 16

Mehr

Aufgaben Geometrie Lager

Aufgaben Geometrie Lager Schweizer Mathematik-Olympiade Aufgaben Geometrie Lager Aktualisiert: 26. Juni 2014 Starter 1. Zwei Städte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses. An welcher Stelle muss eine Brücke rechtwinklig

Mehr

Der Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2

Der Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 Der Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 Beweise: Mathematiker versuchen ihre Behauptungen durch Beweise zu untermauern. Die Suche nach absolut wasserdichten Argumenten ist eine der treibenden Kräfte der

Mehr

DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ

DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlänge a, b und der Hypotenusenlänge c gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: c 2 = a 2 + b 2 oder c = a 2 + b 2 1) Von einem

Mehr

Berechnungen am Dreieck

Berechnungen am Dreieck Berechnungen am Dreieck 1. ImDreieck OBAmitO(0 0),B(b 0)undA(0 a) ist H(x y) der Fußpunkt der Höhe von O auf AB. Weitere Bezeichnungen: y a A h = OH, p = AH, q = HB und c = AB. y p H(x y) Drücke c, h,

Mehr

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,

Mehr

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze Kapitel 3 Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis Anwendungen & bekannte Sätze 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen

Mehr

Satz des Pythagoras Aufgabe Anforderungsbereich I (Reproduzieren) Anforderungsebene ESA

Satz des Pythagoras Aufgabe Anforderungsbereich I (Reproduzieren) Anforderungsebene ESA Satz des Pythagoras Aufgabe 1.1.1 Anforderungsbereich I (Reproduzieren) Anforderungsebene ESA a ) Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind 8 cm bzw. 15 cm lang. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Mehr

Stichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Symbole ( ) (Runde Klammern) 32, 66 (Betragszeichen) 32 (Multiplikations-Zeichen) 31 + (Plus-Zeichen) 31, 69 - (Minus-Zeichen) 31, 69 < (Kleiner-als-Zeichen) 33,

Mehr

Problem des Monats ( Januar 2012 )

Problem des Monats ( Januar 2012 ) Schülerzirkel Mathematik Problem des Monats ( Januar 2012 ) Sauff-Zahlen Eine natürliche Zahl größer als 1 heiße Sauff-Zahl, wenn sie sich als Summe aufeinander folgender natürlicher Zahlen schreiben lässt.

Mehr

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras Satzgruppe des Pythagoras Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 42 Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Anwendungen 2 / 42 Satz In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Quadrate

Mehr

Wie groß ist die Fläche eines Kreises?

Wie groß ist die Fläche eines Kreises? Wie groß ist die Fläche eines Kreises? Die Kreiszahl p beschreibt das Längenverhältnis von Umfang (u) und Durchmesser (d) eines Kreises. Mit mathematischen Symbolen ausgedrückt lautet diese Tatsache u/d

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK 9 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P

Mehr

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe

Mehr

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert. unter der Wurzel heißt Radikand:

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert. unter der Wurzel heißt Radikand: M 9.1 Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: ; ; ; ; M 9.2 Reelle Zahlen

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Back to the Roots. Hans-Jürgen Elschenbroich

Back to the Roots. Hans-Jürgen Elschenbroich Back to the Roots Heron Pythagoras Die Medienberatung NRW ist ein Angebot des Medienzentrums Rheinland und des Westfälischen Landesmedienzentrums. 2 Zitat Willst du mehr wissen, so suche morgen aus der

Mehr

Die Oberfläche der Verpackung besteht aus sechs Teilen: 2 Trapeze (vorne und hinten), und 4 Rechtecke.

Die Oberfläche der Verpackung besteht aus sechs Teilen: 2 Trapeze (vorne und hinten), und 4 Rechtecke. Aufgabe 1a) Schritt 1: Oberflächenformel aufstellen Gesucht ist die Oberfläche des Prismas. Das heißt, 2, mit G als Grundfläche und M als Mantel. Die Oberfläche der Verpackung besteht aus sechs Teilen:

Mehr

Kreise und Kreisteile. 1. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisen die fehlenden Werte: a) b) c) d) 2,45 m 8,6 cm 26,3 cm² 149 cm

Kreise und Kreisteile. 1. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisen die fehlenden Werte: a) b) c) d) 2,45 m 8,6 cm 26,3 cm² 149 cm Kreise und Kreisteile 1. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisen die fehlenden Werte: a) b) c) d) r 2,45 m d 8,6 cm A 26,3 cm² U 149 cm 2. Aufgabe: Berechne bei den folgenden Kreisbögen die fehlenden

Mehr

5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras

5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 288 Fläche: Gemüse pflanzen, Wand ausmalen usw.; Umfang: Randsteine setzen, Zaun aufstellen usw. H3 K1 287 Tom und seine Freunde wollen eine zweitägige

Mehr

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5 Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine

Mehr

Oberfläche von Körpern

Oberfläche von Körpern Definition Die Summe der Flächeninhalte der Flächen eines Körpers nennt man Oberflächeninhalt. Quader Der Oberflächeninhalt eines Quaders setzt sich folgendermaßen zusammen: O Q =2 h b+2 h l+2 l b=2 (h

Mehr

Teil 1: Trainingsheft für Klasse 7 und 8 DEMO. Lineare Gleichungen mit einer Variablen. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Stand 5.

Teil 1: Trainingsheft für Klasse 7 und 8 DEMO. Lineare Gleichungen mit einer Variablen. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Stand 5. ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1: Trainingsheft für Klasse 7 und 8 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Datei Nr. 1140 Friedrich W. Buckel Stand 5. Januar 018 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß

Mehr

Demo-Text für Inversion (Spiegelung am Kreis) Ein Spezialthema INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

Demo-Text für   Inversion (Spiegelung am Kreis) Ein Spezialthema INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Inversion (Spiegelung am Kreis) Ein Spezialthema Teil 1 Grundlagen Text Nr. 1400 Stand: 4. Februar 016 FIEDICH W. BUCKEL INTENETBIBLIOTHEK FÜ SCHULMATHEMATIK 1400 Inversion 1 Vorwort Die Inversion, die

Mehr

DOWNLOAD VORSCHAU. Vertretungsstunden Mathematik 24. zur Vollversion. 9. Klasse: Quadratische Gleichungen. Vertretungsstunden Mathematik 9./10.

DOWNLOAD VORSCHAU. Vertretungsstunden Mathematik 24. zur Vollversion. 9. Klasse: Quadratische Gleichungen. Vertretungsstunden Mathematik 9./10. DOWNLOAD Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mathematik 9. Klasse: Bergedorfer Unterrichtsideen Marco Bettner/Erik Dinges Downloadauszug aus dem Originaltitel: Vertretungsstunden Mathematik 9./0.

Mehr

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert. unter der Wurzel heißt Radikand:

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert. unter der Wurzel heißt Radikand: M 9.1 Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: ; ; ; ; M 9.2 Reelle Zahlen

Mehr

56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 10 Lösungen

56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 10 Lösungen 6. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 0 Lösungen c 206 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 602 Lösung 0 Punkte

Mehr

Formelsammlung Mathematik 9

Formelsammlung Mathematik 9 I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen

Mehr

Tag der Mathematik 2017

Tag der Mathematik 2017 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Aufgaben mit en Aufgabe G1 mit Aufgabe G1 Eine Urne enthält blaue und rote Kugeln. Vor der Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu

Mehr

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen : Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden

Mehr

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel

Mehr

Aufgabe E 1 (8 Punkte)

Aufgabe E 1 (8 Punkte) Aufgabe E (8 Punkte) Auf einem Billardtisch (bei dem die Koordinatenachsen x = 0 und y = 0 als Banden dienen) liegen zwei Kugeln P( ) und Q(3 ) Die Kugel P soll so angestoßen werden, dass sie nach Reflexion

Mehr

Quadratwurzeln. Reelle Zahlen

Quadratwurzeln. Reelle Zahlen M 9. Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: = Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: 0 25 = 5; 8 = 9; 0,25 = =

Mehr

Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Quadratische Gleichungen Marco Bettner/Erik Dinges Unterrichtsideen

Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Quadratische Gleichungen Marco Bettner/Erik Dinges Unterrichtsideen DOWNLOAD Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mathematik 9. Klasse: Marco Bettner/Erik Dinges Bergedorfer Unterrichtsideen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Vertretungsstunden Mathematik 9./0.

Mehr

Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 9. Körper ohne π

Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 9. Körper ohne π Thema Musterlösungen 1 Körper ohne π Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus den Seiten a, b und c, wobei der Seite c ein rechter Winkel gegenüberliegt. Berechne jeweils die Länge der fehlenden Seite(n).

Mehr

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand:

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: M 9.1 Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: 0 25 5; 81 9; 0,25 0,5; 0,0081

Mehr

Ähnlichkeit, Strahlensatz

Ähnlichkeit, Strahlensatz Ähnlichkeit, Strahlensatz Aufgabe 1 Berechne die Strecken x und y. a) links b) rechts Aufgabe 2 Einem Dreieck wurde die Spitze abgeschnitten. Das Reststück in Form eines Trapezes hat Parallelen von 15

Mehr

Karolinen Gymnasium 9 A P4 Daniela Reinecke eigenverantwortlich 4. Std. (10.40 Uhr),

Karolinen Gymnasium 9 A P4 Daniela Reinecke eigenverantwortlich 4. Std. (10.40 Uhr), Karolinen Gymnasium 9 A P4 Daniela Reinecke eigenverantwortlich 4. Std. (10.40 Uhr), 12.01.11 Thema: Der Satz des Pythagoras (Einführung) Lernziele Groblernziel Die Schülerinnen und Schüler entdecken anhand

Mehr

Tag der Mathematik 2017

Tag der Mathematik 2017 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Aufgaben mit en und Punkteverteilung Aufgabe G1 mit Aufgabe G1 Eine Urne enthält blaue und rote Kugeln. Vor der Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Kopfrechenphase Wo ist das A? vorne, links, oben. (vorne, rechts) 2. Was wurde markiert? Fünf von sechs Teilen sind farbig. Also fünf Sechstel

Kopfrechenphase Wo ist das A? vorne, links, oben. (vorne, rechts) 2. Was wurde markiert? Fünf von sechs Teilen sind farbig. Also fünf Sechstel Kopfrechenphase 1 1. Wo ist das A? vorne, links, oben (vorne, rechts) 2. Was wurde markiert? Fünf von sechs Teilen sind farbig. Also fünf Sechstel 3. Fehler gesucht! a) 1kg sind 1000g b) 1m hat 1000mm

Mehr

Die alternierende Seitenquadratsumme ist null. Es wird versucht, diesen Sachverhalt auf verschiedene Weisen zu illustrieren. a 2 b 2 + c 2 d 2 = 0 (1)

Die alternierende Seitenquadratsumme ist null. Es wird versucht, diesen Sachverhalt auf verschiedene Weisen zu illustrieren. a 2 b 2 + c 2 d 2 = 0 (1) Hans Walser, [20160615] Orthodiagonale Vierecke Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen 1 Worum geht es Orthodiagonale Vierecke haben orthogonale Diagonalen. In der üblichen Bezeichnung (Abb. 2) können

Mehr

GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses

GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses Mathematik-Referenzaufgaben zum Rahmenlehrplan für die

Mehr

1. Schularbeit Stoffgebiete:

1. Schularbeit Stoffgebiete: 1. Schularbeit Stoffgebiete: Terme binomische Formeln lineare Gleichungen mit einer Variablen Maschine A produziert a Werkstücke, davon sind 2 % fehlerhaft, Maschine B produziert b Werkstücke, davon sind

Mehr

Definitions- und Formelübersicht Mathematik

Definitions- und Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar

Mehr

Deshalb nochmals zur Erinnerung: Zwei Vektoren a, b

Deshalb nochmals zur Erinnerung: Zwei Vektoren a, b 9 Vekttorriielllle eweiise 9.. eweise mitt geschlossenerr Vekttorrketttte Voremerkungen Der entscheidende Gedanke ei eweisen mit der geschlossenen Vektorkette ist die lineare Unahängigkeit. ußerdem wird

Mehr

Schritt 1: Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

Schritt 1: Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen Aufgabe 1a) Schritt 1: S in die Scheitelpunktform einsetzen 0,5 2 Schritt 2: Koordinaten von P einsetzen und a berechnen 2,25 1,5 0,5 2 0,25 Schritt 3: Funktionsterm aufstellen 0,25 0,5 2 als Scheitelpunktform,

Mehr