2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a

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1 2.3 Logarithmus Bsp. Seite 84 mitte: Wie lange muss man Fr zu 5,1% anlegen, um Fr zu erhalten? Lösen Sie die Zinseszinsformel nach q n auf Aus q n erfolgt die Berechnung von n mittels Logarithmieren. Definition: derjenige Exponent n mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zu erhalten, nennt man den Logarithmus von b zur Basis a (geschrieben log a b). a n = b n = log a b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a b ist die Antwort auf die Frage: a hoch wie viel gibt b? Lesen Sie Bsp. 1-3 p. 85 Lösen Sie die Aufgaben 1-2 auf dem Übungsblatt Aus der Definition folgen: log b 1. a a = b Denn log a b ist ja die Antwort auf die Frage a hoch wie viel gibt b. Dann ist ja a hoch diese Antwort eben gleich b. 2. log a n a ( ) = n Denn n ist ja die Antwort auf die Frage a hoch wie viel gibt a n. Damit lassen sich Exponential- und Logarithmusgleichungen der Form log a x und a x nach x auflösen Lösen Sie die Aufgabe 3 auf dem Übungsblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 4-1- Logarithmengesetze Es gelten die folgenden drei Logarithmengesetze: 1. log a (uv) = log a u + log a v Beweis: sei log a u = x und log a v = y dann folgt aus der Definition des Logarithmus a x =u und a y =v und u v = a x a y = a x+y Und somit nach Definition log a (uv) = x+y = log a u + log a v Weiter lässt sich zeigen: 2. log a (u/v) = log a u - log a v und 3. log a u n = n log a u Lösen Sie die Zinseszinsformel 2.17 auf Seite 75 nach der gesuchten Anzahl Jahre n auf Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

2 Logarithmus zur Basis 10 und e Mit dem Taschenrechner können Sie einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis wie z.b. log 3 23 nicht direkt berechnen. Taschenrechner können nur die Logarithmen zur Basis 10 und zur Basis e (= 2, ) berechnen: Basis 10: log 10 b wird als log b (oder seltener lg b) geschrieben Basis e: log e b wird als ln b geschrieben (Abkürzung für natürlicher Logarithmus) Ein beliebiger Logarithmus lässt sich wie folgt auf die Basis 10 oder e zurückführen: Sei x = log a b Dann gilt wegen der Definition des Logarithmus: a x = b und nach Logarithmieren mit der Basis 10 log a x = log b und mit dem 3. Logarithmengesetz: x log a = log b und somit: logb x = log a b = oder mit dem natürlichen Logarithmus: log a x ln b = log a b = ln a Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 4-3- Beispiele und Übungen zum Logarithmus Lösen Sie das Anfangsbeispiel Seite 84 mit dem Taschenrechner. Lesen Sie die Beispiele 1-3 auf Seite 86 Lösen Sie die Übungsaufgaben auf Seite 99,100 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

3 2.4.1 Gleichungen: erlaubte Umformungen Im Block1 haben wir gesehen, dass bei einer gegebenen Gleichung T 1 = T 2 (T 1,2 : Terme) die folgenden Umformungen erlaubt sind, d.h. die Lösungen nicht ändern: T 1 = T 2 T 1 +T= T 2 +T zu beiden Seiten denselben Term T addieren T 1 = T 2 T 1 T= T 2 T; T 0 T 1 = T 2 T 1 /T= T 2 /T; T 0 beide Seiten mit demselben Term multiplizieren; dieser darf nicht Null sein beide Seiten durch denselben Term dividieren; dieser darf nicht Null sein Neu kommen mit der Potenz- und Logarithmenrechnung hinzu: T 1 = T 2 a T1 = a T2 ; a>0, a 1 beide Seiten zur selben Basis a potenzieren diese muss positiv und darf nicht 1 sein T 1 = T 2 log a T 1 = log a T 2 ; T,a>0, a 1 beide Seiten zur selben Basis a logarithmieren; T und a müssen positiv sein und a darf nicht 1 sein Lesen Sie die Beispiele 1 und 2 Seite 88 oben und 1 Seite 88 Mitte Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 4-5- Gleichungen: erlaubte Umformungen 2 T 1 = T 2 T 1 n = T 2 n und n T 1 = n T 2 ; n ungerade auf beiden Seiten die n-te Potenz bilden oder die n-te Wurzel ziehen, falls n ungerade Für gerade n kann T n 1 = T n 2 zu falschen zusätzlichen Lösungen führen, so genannten Scheinlösungen. Bsp.: x-1 = 0 hat die einzige Lösung x=1 x-1 = 0 +1 x = 1 T 2 x 2 = 1 hat aber auch die Lösung x=-1 Beim quadrieren (oder allgemein potenzieren mit einem geraden Exponenten) müssen deshalb die gefundenen Lösungen in die Ausgangsgleichung eingesetzt und kontrolliert werden! Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 88 unten und 1-3 Seite 89 mitte Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

4 Grundbereich und Definitionsbereich Der Grundbereich einer Gleichung ist diejenige Zahlenmenge, deren Werte für die Gleichungsvariable(n) grundsätzlich in Frage kommen. Normalerweise sind das die reellen Zahlen R, in einigen Fällen aber auch nur die natürlichen N. Der Definitionsbereich D einer Gleichung ist derjenige Teil des Grundbereichs, dessen Werten die Variable annehmen darf, so dass alle Gleichungsterme definiert sind. Er wird in der Regel zusammen mit der Gleichung angegeben Bsp.: x+2 = 4; x R Für die meisten Terme ist der Definitionsbereich gleich dem Grundbereich. Bei den folgenden Typen von Termen ist der Definitionsbereich eingeschränkt: Bruchterme: der Nenner darf nicht Null sein Wurzelterme: der Radikand (unter der Wurzel) darf nicht negativ sein Logarithmenterme: der Numerus muss positiv sein Beispiele: 1/(x-2) D = R\{2} (alle reellen Zahlen ausser die 2) (1-x); x R D = {x R x 1} (alle reellen Zahlen kleiner gleich 1) log a (1+x); x R D = {x R x>-1} (alle reellen Zahlen grösser -1) Bei den Wurzel- und Logarithmentermen muss man dabei Ungleichungen lösen. z.b. im 3. Beispiel 1+x > 0, d.h. x>-1 Lösen Sie die Übungen 4-5 auf den Aufgabenblatt Lösen Sie die Übungen 6 auf den Aufgabenblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 4-7- Produkt von Termen Ein Produkt von reellen Zahlen ist genau dann gleich Null, wenn mindestens eine der Zahlen Null ist. Verallgemeinert auf Terme statt Zahlen: Ein Produkt von Termen ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist: T 1 T 2 T n = 0 T 1 =0 oder T 2 =0 oder oder T n =0 Damit haben wir eine Methode, um eine Produktgleichung, d.h. eine Gleichung der Form T 1 T 2 T n = 0 zu lösen: Man erhält alle Lösungen einer Gleichung der Form T 1 T 2 T n = 0, indem man die Terme T i einzeln gleich Null setzt und diese Gleichungen einzeln löst. Lesen Sie die Beispiele 1 und 2 Seite 90 Gelingt es uns also, eine Gleichung durch Faktorisieren in ein Produkt von Termen umzuwandeln, so können wir sie einfacher lösen. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

5 2.4.2 Quadratische Gleichungen: Spezialfälle Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, wo die Variable mit dem Exponenten 2 vorkommt, z.b. 3x 2-4x = 2 Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Addition/Subtraktion von Termen in die Form: ax 2 + bx + c = 0 bringen, woraus sich nach Division durch a die so genannte Normalform ergibt: x 2 +px + q = 0 Spezialfall: q=0: x 2 +px = 0 lässt sich durch Ausklammern von x faktorisieren zu: x(x+p) = 0 Woraus sich aus dem Satz über das Produkt von Termen die Lösungen x 1 = 0 und x 2 = -p ergeben. Spezialfall: p=0: x 2 +q = 0 ergibt nach Subtraktion von q: x 2 = -q und hat die 2 Lösungen: x 1 = -q und x 2 = - -q Dabei muss q 0 gelten, also q negativ oder Null sein Lösen Sie die Übung 7 im Aufgabenblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block ,4,2 Quadratische Gleichungen: allgemeine Formel Eine quadratische Gleichung in Normalform x 2 +px + q = 0 hat die 2 Lösungen: p p 2 x q und 1 = + ( ) 2 2 Oder zusammengefasst: p x2 = 2 p 2 ( ) q 2 p p 2 x1, 2 = ± ( ) q 2 2 Eine allgemeine quadratische Gleichung wird also in 2 Schritten gelöst: 1. Durch erlaubte Umformungen in die Normalform x 2 +px + q = 0 bringen 2. Die Lösungsformel für x 1,2 anwenden. Dabei entscheidet der Wert der so genannten Diskriminante unter der Wurzel über die Anzahl Lösungen p 2 ( ) q 2 > 0 : 2 Lösungen = 0 : 1Lösung < 0 : keine Lösung Lesen Sie die Beispiele 1-3, 6 und 7 Seite 91,92 Lösen Sie die Übungsaufgabe 27 a)-g) Seite 100 ( p 2 q 2 ) Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

6 2.4.3 Wurzelgleichungen Die Variable kommt unter dem Wurzelzeichen vor 3 z.b. 2 x 1 = 2 Vorgehen: 1. Den Definitionsbereich bestimmen (Terme unter der Wurzel 0) 2. Wurzel allein auf eine Seite bringen 3. Beide Seiten potenzieren (d.h. bei Quadratwurzeln quadrieren) 2. und 3. ev. mehrmals wiederholen bis keine Wurzeln mehr sind 4. Die Gleichung lösen 5. Prüfen ob die Lösungen im Definitionsbereich sind 6. Falls potenziert mit geraden Exponenten: prüfen auf Scheinlösungen durch Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Wurzelgleichungen: Beispiel Bsp. 2 Seite 94: (x-1) +3 = x 1. Den Definitionsbereich bestimmen: D: x-1 0, d.h. D = {x 1} 2. Wurzel allein auf eine Seite bringen: (x-1) = x-3 3. Quadrieren: (x-1) = (x-3) 2 = x 2-6x Die quadratische Gleichung lösen:.. x 1 = 2, x 2 = 5 5. Prüfen ob die Lösungen im Definitionsbereich sind: Für beide ist x 1 erfüllt 6. Prüfen auf Scheinlösungen: durch Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung x 1 = 2: (2-1) +3 = 2 falsch da (2-1) = +1 und nicht -1 Lesen Sie die Beispiele 1, 3 und 4 Seite 94,95 Lösen Sie die Übungsaufgaben 27 h)-k) Seite 100 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

7 2.4.4 Exponentialgleichungen Die Variable kommt im Exponenten vor z.b. 1,04 x = 2 Vorgehen: Der Definitionsbereich ist immer der ganze Grundbereich, d.h. normalerweise R 1. Die Gleichung umwandeln, so dass alle Potenzen Faktoren von Produkten sind 2. Beide Seiten logarithmieren 3. Die Gleichung lösen Bsp. 1 Seite 95: 5 1,04 x -2(1,04 x 1) = 6 1. alle Potenzen sind Faktoren von Produkten : (Ausmultiplizieren und 1,04 x Ausklammern) 1,04 x (5-2) +2 = 6-2:3 1,04 x = 4/3 2. Beide Seiten logarithmieren: log(1,04 x ) = x log(1,04) = log(4/3) 3. Die Gleichung lösen: x = log(4/3) / log(1,04) 7,335 Lesen Sie die Beispiele 2-4 Seite 95,96 Lösen Sie die Übungsaufgaben 27 l) und m) und 28 p. 100 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Logarithmengleichungen Die Variable kommt im Logarithmus vor z.b. 1 + log x = 2log(x-1) Vorgehen: 1. Den Definitionsbereich bestimmen (Terme im Logarithmus > 0) 2. Beide Seiten potenzieren mit der Basis des Logarithmus 3. Die Gleichung lösen 4. Prüfen ob die Lösungen im Definitionsbereich sind Bsp. 3 Seite 96: 1 + log x = 2log(x-1) 1. Den Definitionsbereich bestimmen (Terme im Logarithmus > 0) x>0 und x-1> 0 => D = {x>1} 2. Beide Seiten potenzieren mit der Basis des Logarithmus linke Seite: 10 1+log x = log x = 10x rechte Seite: 10 2log(x-1) = 10 log(x-1)2 = (x-1) 2 also: 10x = (x-1) 2 3. Die quadratische Gleichung lösen.. x 1 = 11,9161, x 2 = 0, Prüfen ob die Lösungen im Definitionsbereich sind x 2 ist nicht im Definitionsbereich! Also gibt es nur eine Lösung: x 1 = 11,9161 Lesen Sie die Beispiele 4 und 5 Seite 97 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

8 Produkt-Ungleichungen: Vorzeichenanalyse Produkt-Ungleichungen sind Ungleichungen der Form: Term 1 Term 2 Term n 0 (bzw. >0, 0 oder <0) Man löst sie am besten mit der so genannte Vorzeichenanalyse. Dabei löst man gleich wie bei den Produkt-Gleichungen die Ungleichungen der einzelnen Produktterme und untersucht dann das Vorzeichen des gesamten Produkts. Beispiel: (x-1)(x+1) > 0 Erste Ungleichung: (x-1) > 0 hat die Lösungsmenge L= {x>1} Zweite Ungleichung: (x+1) > 0 hat die Lösungsmenge L= {x>-1} Nun zeichnen wir auf der Zahlengeraden für jeden Term sowie das Produkt die Bereiche ein, wo sie positiv bzw. negativ sind. Das Vorzeichen des Produkts ergibt sich aus der Vorzeichenregeln: Minus Minus = Plus, Minus Plus = Minus, usw. Term -1 1 x-1: Vorzeichen 1. Faktor: + für x>1 x+1: Vorzeichen 2. Faktor: + für x>-1 Produkt Vorzeichen Produkt: Vorz 1 *Vorz 2 Die Lösungsmenge der Produkt-Ungleichung sind die Bereiche, wo das Vorzeichen positiv ist: L = {x<-1} und {x>1} Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Vorzeichenanalyse bei komplizierten Bruch-Ungleichungen Falls der Hauptnenner mehr als einen Faktor enthält, so erfolgt die Untersuchung der zwei Fälle Hauptnenner >0 und Hauptnenner <0 mittels Vorzeichenanalyse. 1 2 Beispiel 23 c) Seite 61: < x 1 x + 1 Der Hauptnenner ist (x-1)(x+1) und nach der vorigen Vorzeichenanalyse gilt: 1. Fall: der Hauptnenner ist positiv für x < -1 und x > 1 2. Fall: der Hauptnenner ist negativ für -1 < x < 1 Wenn wir also mit dem Hauptnenner multiplizieren, so müssen wir die 2 Fälle unterscheiden und im 2. Fall das Vorzeichen kehren. 1. Fall: Hauptnenner positiv, dann wird die Gleichung zu: x+1 < 2x-2 -x+2, also 3<x d.h. x>3. 2. Fall: Hauptnenner negativ, dann wird die Gleichung zu: x+1 > 2x-2 -x+2, also 3>x d.h. x<3 Die einzelnen Lösungsmengen müssen dabei innerhalb des betreffenden Fallbereichs des Hauptnenners sei, also gilt: L 1 = {x>3} und ({x<-1} oder {x >1} = {x>3} L 2 = {x<3} und {-1<x<1} = {-1<x<1} Und für die Gesamtlösung gilt: L = L 1 oder L 2, d.h. L = {-1<x<1 oder x>3} Komplizierte Bruchungleichungen werden an der Prüfung nicht verlangt! Einfache hingegen schon, z.b. p. 55 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

9 Komplizierte Betragsungleichungen Falls mehr als 2 Betragszeichen vorkommen, z.b. in Aufgabe 23 d Seite 61, so muss wiederum eine Vorzeichenanalyse durchgeführt werden Aufgabe 23 d: 2x-1 x-1 : Term ½ 1 2x-1: Vorzeichen 1. Term: + für x>0,5 x-1: Vorzeichen 2. Term: + für x>1 Und es müssen somit die 3 Fälle: beide Terme negativ, beide positiv und linker negativ und rechter positiv unterschieden werden. Falls z.b. beide negativ sind, kann das Betragszeichen bei beiden entfernt werden, falls die Werte innerhalb des Betragszeichens mit -1 multipliziert werden (vergl. Definition des Betrags) 1. Fall: x<0,5 (d.h. beide Beträge negativ): -(2x-1) -(x-1) also -2x+1 -x+1 +2x-1 und somit: 0 x also L 1 = {x<0,5} und {x 0} = {x 0} 2. Fall: 0,5 x 1 (positiv, negativ) und 3. Fall: x>1 (positiv, positiv) führen zu den Lösungsmengen L 2 und L 3 und zusammen zur gesamten Lösungsmenge L = L 1 und L 2 und L 3 Komplizierte Betragsungleichungen werden an der Prüfung nicht verlangt! Einfache hingegen schon, z.b. p. 57 unten Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Aufgaben Lesen Sie das Skript bis zur nächsten Präsenz nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem Übungsblatt fertig. Lesen Sie Purkert Kap. 2.3 und 2.4 Lösen Sie die folgenden Aufgabenserien: Logarithmenrechnen Klassenarbeiten.de Wurzelgleichungen Kusch p. 237, a. 1-6 Quadratische Gleichungen Kusch p , a. 1-5, Exponentialgleichungen Klassenarbeiten.de Machen Sie den Kurztest Lösen Sie als Vorbereitung auf den ersten Teil der Aufnahmeprüfung: Den Einstufungstest Elementare Kenntnisse Propädeutikum Mathematik Die prüfungsnahen Aufgaben Propädeutikum Mathematik für die BOEK Bei Problemen Mail an boek@kmu-dir.ch oder epeter@fernfachhochschule.ch Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

10 Ziele dieses Blocks Die Studierenden kennen die Definition des Logarithmus und können diesen auf ihrem Taschenrechner berechnen. Sie kennen die Logarithmengesetze und können diese anwenden. Sie können quadratische Gleichungen lösen. Sie können den Definitionsbereich von Wurzel-, Exponential- und Logarithmusgleichungen bestimmen und einfache Gleichungen lösen. Umfang: Purkert Kap. 2.3 und 2.4 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

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