Lösen von quadratischen Gleichungen mit der pq-formel. Aufgabe & Lösung Erläuterungen

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1 Thema Voraussetzungen Quadratwurzeln Lösen von quadratischen Gleichungen mit der pq-formel Aufgabe & Lösung Erläuterungen 1. Bestimme die Lösungen der Gleichung. Führe anschließend eine Probe durch p ; q 16 1 p ; 9 1, q 5 5 ( 16) Eine gemischtquadratischen Gleichung der Form pq-formel: + p+ q löst man mit der q Lese die Werte für p und q aus der Normalform (NF) + p+ q ab und setze sie in die pq-formel ein. Arbeite (soweit es geht) mit gekürzten Brüchen. Keine gemischten Zahlen, sondern unechte Brüche: nicht 4 sondern , p Rechne direkt aus, vermeide Doppelbrüche. Probe für 6: 1 1 ( 6) + ( 6) (w) Probe für : (w) Probe: Neben der normalen Probe durch Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung, kann man die Lösungen der quadratischen Gleichungen in der NF + p+ q auch sehr schnell mit Hilfe des Satzes von Vieta kontrollieren: Probe nach Vieta: q p L 6; q 1 + p 1 Analysis: Grundlagen Vers. 1., 6..4 Quadratische Gleichungen, Seite 1

2 Aufgabe & Lösung Erläuterungen. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung : + 1 p 1 ; q 1, q 6± 6+ 6± 64 6± 1 14 Normalform Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung der Form a + b+ c mit der pq-formel: 1. Schritt: Faktor vor ² entfernen. Schritt: Normalform NF herstellen + p+ q. Schritt: Werte für p und q in die pq- Formel einsetzen und auflösen. 4. Schritt: Probe machen. Achtung: Vieta prüft nur die Richtigkeit der Normalform! Möchte man ganz sicher gehen, so muss man die Ergebnisse in die Ausgangsgleichung einsetzen. Probe nach Vieta: 14 q p L { 14;} Linearfaktorenschreibweise: ( ) ( + 14 ) ( ) Die Linearfaktorenschreibweise einer Gleichung erlaubt das sofortige Ablesen der Lösungen. ( 14) ( ) Linearfaktoren: a ( 1) ( ). Bestimme die Anzahl der möglichen Lösungen. + ( ) 1 T ( ) + D 5,5 5,75 < Die Gleichung hat keine Lösungen: L Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man mit Hilfe der Diskriminante 1) D bestimmen. 1. Schritt: Bestimme NF + p+ q. Schritt: Berechne D q. Drei mögliche Fälle: p ( ) D> Die Gleichung hat zwei Lösungen. D Die Gleichung hat eine Lösung. D< Die Gleichung hat keine Lösungen. 1) Die Diskriminante (lat. discrimino unterscheiden) ist der Term unter der Wurzel und hilft bei der Unterscheidung der möglichen Fälle. Analysis: Grundlagen Vers. 1., 6..4 Quadratische Gleichungen, Seite

3 Aufgabe & Lösung Erläuterungen 4. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung für. 9 b + 4 : b , b 4 p ; q 9 9 q b b 144 ± 1 4 b 1 ± b b b 4 ± Um die Lösbarkeit zu diskutieren, ist die Frage zu klären, wann die Diskriminante negativ, positiv oder null wird. ( ) ( ) > D < > b 144 < b+ 1 b 1 > < Gleichung hat zwei Lsg.: D > D > > b 144 b < 1 b > 1 b ± 1, 1 b 144 Probe: 4 1 q 9 b 1 + p 9 b± b 144 L 1 Gleichung hat eine Lösung: D Probe: D b 144 b b 1 b 1 b 1 1, ± b 1: L b 1: L Gleichung hat keine Lösung: D < Probe: entfällt D < b 144 < b > 1 b < 1 L Analysis: Grundlagen Vers. 1., 6..4 Quadratische Gleichungen, Seite

4 Aufgabe & Lösung Erläuterungen 5. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. 7 ( 7) Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das Absolutglied (q), so könnte man sie immer noch mit der pq-formel lösen, einfacher ist aber der Weg über das Ausklammern! 7 p 7 ; q Probe nach Vieta: 7 q 1 1 Merke: q Ausklammern! p L {;7} 1, ± q 7 49 ± ± ± Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Probe nach Vieta: + Merke: p Wurzelziehen! 1 q p 1 L { ; } Fehlt bei einer quadratischen Gleichung der Vorfaktor von (p), so könnte man sie immer noch mit der pq-formel lösen, einfacher ist aber der Weg über das Wurzelziehen! 1, p ; q ± q ± + ± ± 1 Hinweise auf Druckfehler bitte an harald@ziebarth-net.de Analysis: Grundlagen Vers. 1., 6..4 Quadratische Gleichungen, Seite 4

5 Übungen Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen , 7, 4 7.,5+ 7 4,+, ,+ 11,56 + 1,+, ,+ 5, ,+ 54, m,6m+, r r , , , + 9, z 1z c + 4,47c a 1 9a o 14o 41. r + 4s 4s (1 r) u+ 1u z + z h+ h k 6k a a+ 59a 4 4 a 4. p + pt + ( t ) a 44. k+ k 4 k u u 16 s rs 5. r + 9 t 17t z r rz w 9w t 4t ,5 54.,6 1, + 59, , 4, 4, ,16 + 1, z + z ,5 + 9, 15, , , 1,7a +,6a , + 91,6 61. t + 4t t ,75z z , , , ,5 +.,564 4, b ( 6 5 ) + 4 b 69. 1, , r 4 r , Analysis: Grundlagen Vers. 1., 6..4 Quadratische Gleichungen, Seite 5

6 ,19 44, u u s + 565s s s+ 5s t 15. e 9u e + 1+ u Analysis: Grundlagen Vers. 1., 6..4 Quadratische Gleichungen, Seite 6