Zählterme (Seite 1) Aufgabe: Wie viele Nummernschilder kann es theoretisch im Raum Dresden geben? Wann müsste die 4.Ziffer eingeführt werden?

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1 Bemerkug: I Mathematik sollte ma keie Fahrpläe verwede, i der Stochastik erst recht icht. Zitat vo S.L. Das Baumdiagramm ist aber fast immer ei geeigetes Hilfsmittel. Produktregel Aufgabe: Wie viele Nummerschilder ka es theoretisch im Raum Dresde gebe? Wa müsste die 4.Ziffer eigeführt werde? Bsp: DD PI-3141 Lösug: $$9$10$10$10 = Satz (Produktregel): Aus k Mege M 1 ; M ;...; M k mit jeweils 1 ; ;...; k Elemete ka ma 1 $ $...$ k verschiedee k-tupel (x 1 ; x ;...; x k ) bilde mit x i c M i. Aufgabe: Wie viele 8-stellige Passwörter ka ma bilde, es es aus Groß- ud Kleibuchstabe ud Ziffer zusammegesetzt ist ud die Ziffer am Ede stehe? Lösug: 5 $ 10 = Aufgabe: Ei Restaurat wirbt mit der Aufschrift Jede Tag 40 Meüs. Jedes Meü besteht aus eier Vorspeise, eiem Hauptgericht, eier Nachspeise ud eiem Geträk. Meüs gelte als verschiede, we ei Bestadteil verschiede ist. Sicher ist auch, dass es für jede Bestadteil Wahlmöglichkeite gibt. Wie viele Speise ud Geträke bietet das Restaurat midestes a? Zerlegug vo 40 = $ $ 3 $ 5$7 kleiste Zerlegug vo 40 = 4 $ 3 $ 5 $ 7 Das Restaurat braucht also ur 19 Speise bzw. Geträke azubiete. (1) Geordete Stichprobe mit Zurücklege Aufgabe: Fußballtoto: 31 Spiele werde währed der Europameisterschaft getippt. Sieg (1), Uetschiede (0), Auswärtssieg () Wie viele Möglichkeite gibt es für die richtige Tedez? 3$3$...$3 = 3 31 = Zählterme (Seite 1) Uremodell: I der Ure sid Kugel ud es wird k mal gezoge mit Zurücklege. Satz: Die Azahl der Möglichkeite, eie geordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag k aus eie -elemetige Mege zu etehme, beträgt k. Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma eie hexadezimale Zahl icht erket ud irrtümlich als Dezimalzahl iterpretiert.... maximale Stellezahl: P(A) = ( 10 1 )

2 Zählterme (Seite ) Aufgabe: Beim Morse verwedet ma ur die Zeiche Pukt ud Strich. Wie viele Morsezeiche mit höchstes 5 Zeiche sid möglich? = = Aufgabe: Bereche die Wahrscheilichkeit, beim 4-malige Würfel mit Würfel midestes eie Sechserpasch zu werfe. P(A) = = 1 ( 35 3 )4 = l 0, 4914 Aufgabe: Bereche die Wahrscheilichkeit, beim vierfache Würfelwurf midestes eie zu werfe. P(A) = = ) Geordete Stichprobe ohe Zurücklege l 0, 5177 Aufgabe: I eier Liga befide sich 18 Maschafte. Wie viele mögliche Reihefolge gibt es, we a) die erste 3 Plätze betrachtet werde. b) die gesamte Tabelle betrachtet wird. Lösug: 18$17$1 = ! = Satz: Die Azahl der Möglichkeite, eie geordete Stichprobe ohe Zurücklege vom Umfag k aus eie -elemetige Mege zu etehme, beträgt $( 1)$...$( k + 1). Etimmt ma alle Elemete, so gibt es! Möglichkeite. (Permutatioe) Uremodell: I der Ure sid Kugel ud es wird k mal gezoge ohe Zurücklege. Festigug: Begrüde Sie folgede Gleichug! $( 1)$...$( k + 1) =! k! Beispiel) Staffel (GTR : Pk) Ei Traier hat für eie 4x100m-Staffel Sportler zur Verfügug. Wie viele Möglichkeite gibt es, we wichtig ist, wer a welcher Positio läuft? $5$4$3 =!! = 30 Beispiel) Aufstellug Ei Traier hat für ei System 3 Torhüter, 8 Abwehrspieler, 8 Mittelfeldspieler ud 3 Stürmer zur Verfügug. Wie viele Möglichkeite gibt es für die Aufstellug? 3$ 8! 4! $ 8! 3! $ 3 =

3 Beispiel) Das Geburtstagsproblem Zählterme (Seite 3) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eier Klasse mit 3, 9,, 3, 4, 0 Schüler midestes am gleiche Tag Geburtstag habe? Es eiget sich folgedes Modell: Ure mit 35 verschiedee Kugel mit Zurücklege. Gegeereigis zu A: Alle Schüler habe a verschiedee Tage Geburtstag. P(A) = $ $ P(A) = 0, 008 = 0, 8% = 0, 9918 P(C) = 35$...$ = 5, 43% P(C) = 47, 57% P(E) = 35$...$ = 4, 17% P(E) = 53, 83% P(B) = 35$...$ = 90, 54% P(B) = 9, 4% P(D) = 35$...$ = 49, 7% P(D) = 50, 73% P(F) = 35$...$ = 00, 59% P(F) = 99, 41% I eier Klasse mit 3 Schüler ist es also wahrscheilich, dass Kider am gleiche Tag Geburtstag habe. (3) Ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege Problem: Beim Tippsystem solle aus 1 Maschafte 3 ausgewählt werde. Wie viele Möglichkeite gibt es, we die Reihefolge keie Rolle spielt? Wir köe das Problem löse, we die Stichprobe geordet sei soll. Da gilt: 1$15$14 = 3.30 = 1! 13! Die Reihefolge ist aber icht wichtig. Deshalb gibt es wesetlich weiger Möglichkeite. Wie viele Möglichkeite gibt es, 3 Maschafte azuorde? 3$$1 = 3! = Jeder Tipp kommt also -mal vor, we ma die Reihefolge der gezogee Zahle beachte würde. Deshalb muss ma mit oder 3! dividiere. 330 = 1! 13!$! = 50 Problem: aus 49: Zahle werde aus 49 gezoge Wie viele Möglichkeite gibt es, we die Reihefolge keie Rolle spielt? Wir köe das Problem löse, we die Stichprobe geordet sei soll. Da gilt: 49$48$47$4$45$44 = = 49! 43!

4 Zählterme (Seite 4) We ma aber Lotto spielt, weiß ma, dass die Reihefolge icht wichtig ist. Es gibt also wesetlich weiger Möglichkeite. Wie viele Möglichkeite gibt es, ei ud deselbe Tipp azukreuze. $5$4$3$$1 = 10 =! Jeder Tipp kommt also 10 mal vor, we ma die Reihefolge der gezogee Zahle beachte würde. Deshalb muss ma mit 10 dividiere. 49$48$47$4$45$44 1$$3$4$5$ = = 49!!$43! Uremodell: I der Ure sid Kugel ud es wird k mal gezoge ohe Zurücklege mit eiem Griff. Satz: Die Azahl der Möglichkeite, eie geordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag k aus eie -elemetige Mege zu etehme, beträgt k =! ( k)!$k! Bemerkuge: Ma et diese Azahl vo Möglichkeite auch Kombiatioe. Die Zahle werde auch Biomialkoeffiziete geat, da sie beim Ausmultipliziere vo Biome auftrete. Mit dem GTR ka ma die Azahl der Kombiatioe ebefalls bereche.. OPTN > PROP Cr Beispiele: Wahrscheilichkeite im Lotto P( 5 Richtige ) = = 0, P( 4 Richtige ) = = 0, Weise Sie folgede Gleichuge ach. 0 = 1 1 = = ( 1) = 1 1 = = ( 1)

5 Zählterme (Seite 5) Beispiel: Die kleie Lea bastelt eie Kette aus 3 rote, 13 gelbe ud 7 blaue Kugel. Wie viele Möglichkeite gibt es für die Kette? 3! 3!$13!$7! = Beispiel: Uter 00 Lose sid 40 Gewie ud 10 Niete. Paul kauft geau 10 Lose. Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält er geau Gewie. P(X = ) = l 0, 3098 (4) Ugeordete Stichprobe mit Zurücklege Beispiel: Bei eiem Soderagebot ka ma sich eie Kiste (zwölf Flasche) aus drei verschiedee Geträkesorte beliebig zusammestelle. Wieviele Möglichkeite gibt es dafür? Uremodell: 3 Kugel, 1-maliges Ziehe mit Zurücklege Sorte A, B; C Variate: A IIIIII B II C IIII = ( 1 + )! 1!$! = 14 1 = 91 Beispiel: 4 Brüder solle sich eie Beutel mit gleichwertige Goldmüze aufteile. Wie viele Verteiluge sid möglich? Uremodell: 4 Kugel, -maliges Ziehe mit Zurücklege Variate: A IIIIII B C D 9!!$3! = 9 = 84 Satz: Die Azahl der Möglichkeite, eie geordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag k aus eie -elemetige Mege zu etehme, beträgt + k 1 k.