Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 2013

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 013 Fach (B) Prüfungstag. November 013 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00-13:00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der satz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote 1 : Blätter Aufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 100 Notenpunkte: 15 Punkte Punkte Maluspunkt -1 Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: 1 gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst vorschlag B 1 Funktionsuntersuchung Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = x + 7x + 5x ; x IR. 4 3 / Untersuchenn Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f. Begründen Sie Ihre Aussage. 1. Bestimmen Sie die Nullstellen vonn f. 1.3 Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von f. 3 [zur Kontrolle: f ( x) = 8x + 1x + 10x ] 1.4 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen von f. 1.5 Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x und x an. 1.6 Zeichnen Sie mit Hilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse den Graphen G derr Funktion f im Intervall [,6; 0,5]. Ergänzen Siee dafür auch folgende Wertetabelle e. / /11 /8 / x,6 1,5 0,5 0,1 0,3 0,5 f (x) -,5,5 Verwenden Sie das Koordinatensystem auf der nächstenn Seite. 1.7 Zeigen Sie, dass an derr Stelle x W = 1, 47 eine Wendetangente w durch folgende Gleichung beschrieben wird: w( x ) = 5,7 x + 5,66. Zeichnen Sie diese Wendetangentee in das Koordinatensystem auf der nächstenn Seite. /5 Koordinatensystem für Aufgabe 1.6 und 1.7 nächste Seite vorschlag B Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 1 von 5

3 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst vorschlag B Koordinatensystem für Aufgabe 1.6 und 1.7 vorschlag B Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite von 5

4 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst vorschlag B Rekonstruktion Die Firma SchulWebDe wurde in i eine Aktiengesellschaft umgewandelt und wird nun an der Börse gehandelt. Die Aktien werden zu einem Ausgabepreis von 30 ausgegeben (Zeitpunkt t = 0). Nach einem Monat (Zeitpunkt t = 1) erreichte die Aktie ihren höchsten Tageskurs von 37. Anschließend fällt der Kurs immer schneller. Nach dem 3. Monat (Zeitpunkt t = 3) wirdd dieser Abwärtstrend schwächer. Der Kurs der Aktie kann idealisiert durch eine Funktionsgleichung dritten Grades dargestellt werden. Abbildung: A Microsoft-Clipart /15 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derr Funktion f, wobei diee Zeit t in Monaten gemessen wird. Hinweis: Wennn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f () t = a t + a t + a t+ a t IR ; 15 = 1 a 0 37 = a 3 + a + a 1 + a 0 0 = 3 a 3 + a + a a 1 0 = 9 a 3 + a vorschlag B Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 3 von 5

5 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst vorschlag B 3 Extremwertaufgabe /15 Der Materialverbrauch für die Herstellung eines Abfalleimers mit Schwingdeckel (siehe Abbildung) soll bei gegebenem Volumen möglichst klein gehalten werden. Der Abfalleimer besteht aus einem nach oben offenen Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Die Maße des Abfalleimers werden wie folgt angegeben: r: Radius der Halbkugel h: Höhe des Zylinders (siehe Abbildung). Zur Vereinfachung werden die Falzungen und Blechüberstände vernachlässigt und nur diee Außenflächen und der Boden betrachtet. Abfalleimer r h 3.1 Stellen Sie eine Zielfunktion O auf, mit der der Oberflächeninhalt des Abfalleimers berechnet werden kann. Hinweis: Kugeloberfläche O 5 V [zur Kontrolle: Or () = π r + 3 r = 4π r ; r > 0] 3. 3 Der Abfalleimer hat ein Gesamtvolumen von V = cm. Berechnen Sie die Werte für r undd h, für die der Materialverbrauch (Oberflächeninhalt) beii diesem Abfalleimer minimal wird. Hinweis: 3.3 Berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch für denn gesamten Abfalleimerr in cm. Hinweis: Auf den Nachweis des Minimums kann verzichtet werden. Runden Sie das Ergebnis auf volle cm. /3 vorschlag B Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 4 von 5

6 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst vorschlag B 4 Integralrechnung /30 Ein Designer hat einee Sonnenbrille entworfen, die sich im abgebildeten Koordinatensystem teilweise 4 durch den Graphen der Funktionn f ( x ) = 0,,005 ( x 49, 5x + 1,5) ; x IR darstellen lässt (1 LE 1 cm). 4.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. [zur Kontrolle: x N1/ = ± 7; xn 3/4 = ± 0,5] 4. Die Gläser der Sonnenbrille werden durch die x-achse und den Funktionsgraphen begrenzt. Verglast werden nur die Teilflächen unterhalb der x-achse. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Verglasung. 4.3 Die obere Begrenzung der Verglasung soll nun etwas eleganter gestaltet werden. Hierzu erhält die Oberkante der Brille einen Schwung, der durch diee Parabel g( x) = 0,005( x + 1,5 ) beschrieben wird. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. [zur Kontrolle: P 1 ( 0 0,06), P ( 7, 09 0,31 ), P 3 ( 7,09 0,310 ) ] 4.4 Zeichnen Sie den Graphen der Parabel g in das obige KoordinatensK system ein. 4.5 Berechnen Sie den Flächeninhalt B der neuenn Verglasung. 4.6 Ermitteln Sie, um welchen Prozentsatz die ursprünglichee Glasflächee angewachsen ist. / /4 vorschlag B Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 5 von 5

7 Teilaufgabe Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst, () Erwartungshorizont vorschlag B Erwartete Teilleistung 1.1 f ( x) f ( x) f ( x) f( x) oder die Exponenten von x sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-achse, noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 1. f( x) = x + 7x + 5x = 0 x (x + 7x+ 5) = 0 ; x = x 7x 5 0 N1, N3 N4 3 N1, + + = 7 5 x + x+ = 0 ; pq-formel x = 0; x = 1; x =,5 6 f ( x) = 8x + 1x + 10x f ( x) = 4x + 4x+ 10 Ansatz: f ( x) = = x(8x + 1x+ 10) = 0 ; xe1 = = 1 10 x + x+ = 0 ; pq-formel 8 8 xe = 0.65 xe3 = f (0) = 10 > 0 lokales Minimum f ( 0, 65) = 6,875 < 0 lokales Maximum f ( ) = > 0 lokales Minimum f(0) = 0 ; T1 (0 0) f( 0,65) = 0,55 ; H( 0,65 0,55) f( ) = 4; T ( 4) 3 8x 1x 10x 0 8x 1x 10 0 BE in AB I II III 6 5 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Seite 1 von 6

8 Teilaufgabe Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst, () Erwartungshorizont vorschlag B Erwartete Teilleistung BE in AB I II III 1.4 f ( x) = 4x + 4x+ 10 f ( x) = 48x+ 4 f ( x) = 0 4x + 4x+ 10 = x + x+ = 0;pq-Formel 4 4 xw1 = 0, 8 xw = 1, 47 f ( 0,8) 0; f ( 1,47) 0 WP1( 0,8;0,5); WP( 1,47;,09) lim ( x 4 7x 3 5 x ) ; lim ( x 4 7x 3 5x ) 1.6 x x x,6 1,5 0,5 0,1 0,3 0,5 f (x),16 -,5 0,5 0,06 0,66, Wendetangente: wx ( ) = mx+ n m= f ( 1,47) 5,7,09 = 5,7 ( 1, 47) + n n= 5,66 wx ( ) = 5, 7x+ 5,66 Graphische Darstellung der Wendetangente (siehe 1.6). 5 Summe mögliche BE 40 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Seite von 6

9 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst, () Erwartungshorizont vorschlag B Teilaufgabe Ansatz: 3 f () t = a t + a t + at+ a f () t = 3a3t + at+ a1 f () t = 6a t+ a Erwartete Teilleistung Bedingungsgefüge: 1. f (0) = 30 (Ausgabepreis bei t = 0). f (1) = 37 (Tageskurs nach einem Monat t = 1) 3. f (1) = 0 (höchster Tageskurs bei t = 1) 4. f (3) = 0 (Krümmungsänderung bei t = 3 ) Gleichungssystem: BE in AB I II III 3 4 I. 30 = a 0 II. 37 = a 3 + a + a 1 + a 0 III. 0 = 3a 3 + a + a 1 IV. 0 = 18a 3 + a Lösen des Gleichungssystems (ebenso Ersatz-LGS) 6 Daraus ergibt sich (auch Ersatz-LGS): a3 = 1; a = 9 ; a1 = 15 ; a0 = 30 Für die Funktionsgleichung gilt: 3 f() t = t 9t + 15t+ 30 Summe mögliche BE 15 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Seite 3 von 6

10 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst, () Erwartungshorizont vorschlag B Teilaufgabe Erwartete Teilleistung 3.1 Bestimmung der Zielfunktion: 1 Orh (, ) = rπ + rπh+ 4rπ = r π + rπh+ r π = 3r π + rπh ; Hauptbedingung BE in AB I II III Aus den Formeln für die Einzelvolumina wird die Nebenbedingung aufgestellt V = r πh+ r π 3 3 π 3 = r h+ r π V h= r ; Nebenbedingung r π 3 V Or () = 3rπ + rπ r π r 3 V 4 = 3r π + r π r 3 5 V = π r + 3 r O () r = πr 3 r O () r = π r = 0 3 r π r = π r = r = ; r = 3,5 π π h= r,5 π r 3 r,5 cm ; h,5 cm Für das Gesamtvolumen von V = cm 3 ergibt sich: 4 5 V O(,5) = π (,5) ,5 Die Oberfläche beträgt rund 7984 cm. 3 Summe 9 4 mögliche BE 15 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Seite 4 von 6

11 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst, () Erwartungshorizont vorschlag B Teilaufgabe Erwartete Teilleistung 4.1 Nullstellen von f : 4 0 = 0, 005( x 49, 5x + 1, 5) 4 = x 49,5x + 1,5 Substitution mit z : = x und p-q-formel liefern 4. z 1, 1 = 4,65 ± z = 49 x 1, ( 4,65) = ± 7 1,5 = 4,65 ± 4,375 1 z = x3,4 = ± 0,5 4 Da der Graph achsensymmetrisch ist, gilt: 7 4 ( ) A= 0, 005( x 49, 5x + 1, 5) dx 0,5 BE in AB I II III ( x x ) = 0,005 49, 5 + 1, 5 dx 0, = 0,005 x x + 1,5x = 0,005 = 0,005 1, Der Flächeninhalt der Verglasung beträgt etwa 4.3 Schnittstellen: f( xs) = g( xs) 4 0, 005( x 49, 5x + 1, 5) = 0, 005( x + 1, 5) 4 x 49,5x + 1,5 = x + 1,5 4 x 50, 5x = 0 x ( x 50,5) = 0 x = 0; x ± 7,09 1, 3,4 y-werte: g(0) 0,06 P 0 0, ,5 ( ) ( ) ( ) g( 7,09) 0,31 P 7,09 0,31, P 7,09 0,31 1,88 cm. 6 ± 3 6 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Seite 5 von 6

12 Teilaufgabe 4.4 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst, () Erwartungshorizont vorschlag B Erwartete Teilleistung BE in AB I II III 4.5 Wegen Symmetrie gilt: 7, B= 0,005 ( x 50,5 x ) dx = 0,005 x x , ,57 3,87 Die neue Verglasung hat einen Flächeninhalt von 4.6 Die ursprüngliche Fläche entspricht 100 %. 1,88 cm = ˆ 100 % 3,87 cm = ˆ x % Der Dreisatz liefert P 109,1 %, 7,08 0 3,87 cm. 6 die Fläche ist um 9,1 % gewachsen. 4 Summe mögliche BE 30 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Seite 6 von 6