Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem

Transkript

1 Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Kepler Center for Astro and Particle Physics Sommersemester 2011 W. Kley: Computational Astrophysics

2 1. Zweikörperproblem Übersicht 1. Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Planetenbahnen - Keplergleichung - Nullstellensuche - Fixpunkt-Iteration W. Kley: Computational Astrophysics 1

3 1. Zweikörperproblem Übersicht 1.1 Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Planetenbahnen - Keplergleichung - Nullstellensuche - Fixpunkt-Iteration W. Kley: Computational Astrophysics 2

4 1. Zweikörperproblem Keplergesetze 1) Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne sich in einem Brennpunkt der Ellipse befindet (1609) 2) Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten (Astronomia Nova, 1609) 3) Das Quadrat der Bahnperiode (P ) ist proportional zum Kubus des mittleren Abstandes (Große Halbachse a) von der Sonne (Harmonices Mundi, 1619) W. Kley: Computational Astrophysics 3

5 1. Zweikörperproblem Relativkoordinaten r P S r s r p O O: Koordinatenursprung S: Sonne, r s Radiusvektor zur Sonne P: Planet, r p Radiusvektor zum Planeten r = r p r s Vektor von Sonne zum Planeten W. Kley: Computational Astrophysics 4

6 1. Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen Für die Sonne M s rs = M s a s = GM sm p ( r p r s ) r p r p 3 = GM s m p r r 3 (1) Für den Planeten m p rp = m p a p = GM sm p ( r p r s ) r p r s 3 = GM s m p r r 3 (2) Subtraktion M s (2) - m p (1) und teilen durch M s + m p Gleichung für die Relativbewegung Mit: µ = M s m p /(M s + m p ) M = M s + m p µ r = µ a = GMµ r r 3 (3) W. Kley: Computational Astrophysics 5

7 1. Zweikörperproblem Äquivalentes Einkörperproblem Das Zweikörperproblem kann auf ein äquivalentes Einkörperproblem für die Relativbewegung reduziert werden µ r = GMµ r r 3 (4) Der Planet bewegt sich wie ein Körper der reduzierten Masse µ = M s m p /(M s + m p ) im Feld der Zentralmasse M = M s + m p. r ist der Relativvektor (von Sonne zum Planeten). Erhaltungsgrößen : Energie Drehimpuls E = 1 2 µv2 G Mµ r (5) L = µ r v (6) W. Kley: Computational Astrophysics 6

8 1. Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen Spezifischer Drehimpuls h (Drehimpuls/Masse) L µ h Es gilt h r, d.h. Bewegung in Ebene senkrecht zu L. Wähle KO-System mit z-achse parallel zu L, also h = L z /µ x = r cos φ, y = r sin φ Die Bewegungsgleichung (4) lautet nun mit k = G M. r 2 φ = h (7) r r φ 2 = k r 2 (8) W. Kley: Computational Astrophysics 7

9 1. Zweikörperproblem Flächensatz r O dr xx Fläche ds des schraffierten Dreiecks ds = 1 2 r dr teile durch dt mit (7) Ṡ = 1 r v 2 Ṡ = 1 2 h (9) d.h. Drehimpulserhaltung Zweites Keplersches Gesetz W. Kley: Computational Astrophysics 8

10 1. Zweikörperproblem Radial-Gleichung Einsetzen der Drehimpulsgleichung ergibt (k = GM) r + k r 2 h2 r 3 = 0 (10) Multiplikation mit ṙ und Integration über die Zeit t liefert 1 2ṙ2 k r + h2 2r 2 = ɛ (11) ɛ = E/µ spezifische Energie (Energie/Masse) des Planeten Definiere effektives Potential V eff (r) = k r + h2 2r 2 (12) ṙ 2 + 2V eff (r) = 2ɛ (13) W. Kley: Computational Astrophysics 9

11 1. Zweikörperproblem Effektives Potential V eff (r) ε 3 V eff (r) = k r + h2 2r 2 O r ε ε 2 1 Zentrifugalpotential: für r 0 abstoßend. r 0 ε 0 ɛ = ɛ 0 Kreisbahn (gebunden) ɛ < ɛ 1 < 0 Ellipse (gebunden) ɛ = ɛ 2 = 0 Parabel (marginal gebunden) ɛ = ɛ 3 > 0 Hyperbel (ungebunden) W. Kley: Computational Astrophysics 10

12 1. Zweikörperproblem Die Form der Bahn Mit ṙ = dr dφ und u = 1 dφ dt r ( ) 2 du + u 2 2ku dφ h 2 = 2ɛ h 2 (14) nochmal ableiten: Binet s Gleichung: d 2 u dφ 2 + u = k h 2 inhomogene Oszillatorgleichung Die Lösung lautet r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) (15) Gleichung für Kegelschnitt = 1. Keplersches Gesetz in Gl.14 e = (1 + 2ɛh2 k 2 ) 1/2, p = h2 k a(1 e2 ) (16) W. Kley: Computational Astrophysics 11

13 1. Zweikörperproblem Die Ellipse semi lactus rectum p = a ( 1 e 2) F P r Fokus (Sonne) Planet (Abstand: F-P) Aphel a b O E P r φ F Perihel a große Halbachse b kleine (b a) Exzentrizität e = (1 b 2 /a 2 ) 1/2 q = a(1 e) (Perihel) Q = a(1 + e) (Aphel) φ wahre Anomalie q=a(1 e) ( Winkel: Perihel - Planet) E: exzentrische Anomalie W. Kley: Computational Astrophysics 12

14 1. Zweikörperproblem Energie und Drehimpuls Im Perihel r p und Aphel r a ist v r, also gilt L = µr p v p = µr a v a E = 1 2 µv2 p GMµ r p = 1 2 µv2 a GMµ r a mit r p = a(1 e) und r a = a(1 + e) folgt (NOTE: L = µh, E = µɛ) L = µ GMa(1 e 2 ), E = GMµ 2a (17) Integriere Flächensatz (9) über ganze Periode P : πab/p = h/2 mit b = a (1 e 2 ) P 2 = 4π2 a 3 GM d.h. Das Dritte Keplersche Gesetz (18) W. Kley: Computational Astrophysics 13

15 1. Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn I Die radiale Bewegungsgleichung lautete (11) ṙ 2 = A + 2B r + C r 2 (19) mit A = 2ɛ, B = k, C = h 2 (20) r dr allg. Lsg. = dt (21) r 0 A + 2Br + Cr 2 t 0 Substitution: r = a (1 e cos E) ; a = B [ A ; e = 1 AC Lsg.: (mit Perihel bei t = t 0 ) Kepler Gleichung t B 2 ] 1/2 M = 2π P (t t 0) = E e sin E (22) M mittl. Anomalie, P Periode., E = 0 Perihel, E = π Aphel. W. Kley: Computational Astrophysics 14

16 1. Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn II Kepler-Gleichung ist transzendente Gleichung, Lösung iterativ starte zu einer festen Zeit (eg. t = P/4) mit Anfangswert E 0 (eg. π/2), und iteriere Berechne wahre Anomalie φ mit tan E k+1 = M + e sin E k (23) ( ) φ 2 und Abstand r nach (15) = ( ) 1 + e E 1 e tan 2 (24) r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) W. Kley: Computational Astrophysics 15

17 1. Zweikörperproblem Planetenbewegung Umlaufzeiten: siderische: Wahre Umlaufzeit P eines Planeten um die Sonne synodische: Umlauf relativ zur Sonne, P syn Zeit zwischen 2 Konjunktionen Mittlere Bahngeschwindigkeiten: Relativgeschwindigkeit: Für äußere Planeten (n erde > n planet ) Beispiel Mars P syn = 2.14 Jahre n erde, n planet n erde n planet = 2π/P syn 1 = 1 1 P syn P erde P planet W. Kley: Computational Astrophysics 16

18 1. Zweikörperproblem Bahnelemente I Vollständige Beschreibung der Bahn durch: - 2 Bahnelemente a, e (Große Halbachse, Exzentrizität) - 3 Winkel, welche die Orientierung der Bahn angeben - 1 Zeitursprung T P, z.b. der Durchgang durch Perihel Referenzkoordinatensystem: Kartesisches System: Im Ursprung die Sonne x y Ebene = Ekliptikebene = Ebene der Erdbahn z-achse in Richtung des Drehimpulse der Erdbahn x-achse in Richtung des aufsteigenden Knotens der Erdbahn, (Frühlingspunkt (-Äquinoktium, Tag- und Nachtgleiche), Widderpunkt) W. Kley: Computational Astrophysics 17

19 1. Zweikörperproblem Bahnelemente II a, e Frühlingspunkt Knoten : aufsteigender absteigender i Inklination Erdbahn-Eklipt. Ω Länge des aufsteig. Knotens in Ekliptik ω Länge des Perihels vom in Bahnebene T P Periheldurchgang W. Kley: Computational Astrophysics 18

20 1. Zweikörperproblem Bahnelemente III Mit allen 6 Größen a, e, i, Ω, ω, T P ist eindeutige Bestimmung des Position des Planeten möglich Damit können z.b. die Orte r und die Geschwindigkeiten v des Planeten eindeutig angegeben werden. Bewegungsgleichungen (9 Körper, Sonne + 8 Planeten) r i = GM i r i r i 3 + F i, i = 1,..., 9 (25) F i Störungen der anderen Körper auf i-ten Planeten (Masse m i ) M i = (M + m i ) Gl. nicht exakt lösbar, näherungweise Ellipsen plus Störungen Variation der Bahnelemente z.b. variiert e zwischen 0 und 0.06, heute W. Kley: Computational Astrophysics 19

21 1. Zweikörperproblem Überblick: Sonnensystem W. Kley: Computational Astrophysics 20

22 1. Zweikörperproblem Bahnelemente der Planeten Momentane Bahnelemente der Planeten Name Symb. Gr. Halbachse Exzent. Inklin. Periode a [AU] e Grad [Jahre] Merkur o Venus o Erde Mars o Ceres o Jupiter o Saturn o Uranus o Neptun o Pluto o Die Bahnelemente variieren (oskulieren) aufgrund der Wechselwirkungen untereinander W. Kley: Computational Astrophysics 21