Kosmologie. der Allgemeinen Relativitätstheorie. Das expandierende Universum
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- Joseph Sauer
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1 Kosmologie der Allgemeinen Relativitätstheorie Das expandierende Universum
2 Historie der Theorie Albert Einstein 1916 Es gibt keinen absoluten Raum im Newtonschen Sinne. Massen bestimmen die Geometrie des Raumes. Mathematischer Ausdruck dieser Aussage sind Einsteins Feldgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie (1916): 1 R g R T 2 Geometrie Masse A. Einstein Er kann damit die Periheldrehung des Merkur und die Lichtablenkung an der Sonne erklären. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 2
3 Kosmologie Einstein s und de Sitter s Einstein veröffentlichte schon 1916 seine kosmologischen Betrachtungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie : Materie ist im Raum gleichmäßig verteilt und sie ist im wesentlichen in Ruhe. Um seine Vorstellung eines statischen Universums zu gewährleisten, muß er das Lambda-Glied einführen: 1 R g R g T 2 Willem de Sitter stellte 1916 fest, daß die Lösung dieser Gleichungen für ein Universum ohne Materie einen Raum mit sonderbaren Eigenschaften darstellt: die Lichtgeschwindigkeit hängt vom Ort ab; werden Probekörper in das Universum eingebracht, so streben sie auseinander. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 3
4 Historie der Entdeckungen Edwin Hubble 1929 Rotverschiebung von 24 Galaxien gemessen. Annahme: Entfernung zum Andromedanebel pc. Entfernung anhand einzelner Sterne (Cepheiden) und Helligkeit von Galaxien bestimmt. Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz V = H 0 L mit H 0 = 500 [km sec -1 Mpc -1 ] Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 4
5 Rotverschiebung und Geschwindigkeit Stern Labor Doppler-Gesetz: Stern Labor Labor z V c V = c z Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 5
6 Entfernungs-Leiter Dr. R. Göhring 6
7 Standardkerzen Cepheiden Perioden-Leuchtkraft-Beziehung Entdeckt 1912 von Henrietta Leavitt Aufnahme von mit 2 Cepheiden Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 7
8 Standardkerze Supernova Supernova 1a SN 1994D NGC 4526 im Virgo Haufen Entfernung: ca. 17 Mpc Dr. R. Göhring 8
9 Supernova Typ 1a Dr. R. Göhring 9
10 Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz Ergebnisse mit Cepheiden Ergebnisse mit SN 1a Geschwindigkeit errechnet mit: V = z c = H 0 L H 0 = Hubble-Konstante Heutiger Wert: H 0 = 72 ± 7 [km sec-1 Mpc-1] Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 10
11 Geschwindigkeits-Entferungs-Gesetz 0 V z c 5 4,5 z Q nur gültig für V < 0,01 c 4 PK ,5 Für größere V müßte relativistisch gerechnet werden! 3 Q Das bedeutet aber: c ist Grenzgeschwindigkeit! 2,5 2 Beobachtung (genauer: Berechnung) zeigt aber: 1,5 1 z c = const. Entfernung z c = H 0 L 0,5 3C Mpc Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 11
12 Das kosmologische Prinzip Das Weltall ist homogen: unabhängig vom Ort im Raum, an dem sich ein Beobachter befindet, stellt sich das Weltall immer gleich dar (Dieses Prinzip der Homogenität wird auch als Kopernikanisches Prinzip bezeichnet). Das Weltall ist isotrop: unabhängig davon, in welche Richtung man auch schaut, das Weltall sieht immer gleich aus. Das kosmologische Prinzip gilt aber nur für sehr große Dimensionen! Dr. R. Göhring 12
13 Expansion eines Rosinienbrötchens Quelle: wikipedia.org Dr. R. Göhring 13
14 ERSU Expanding Rubber Sheet Universe (Harrison) Dr. R. Göhring 14
15 ERSU Expanding Rubber Sheet Universe Die Objekte scheinen radial weg vom Beobachter verschoben zu sein. Je weiter das Objekt vom Beobachter entfernt ist, um so größer erscheint die durch die Expansion hervorgerufene Verschiebung Dr. R. Göhring 15
16 ERSU Expanding Rubber Sheet Universe Wegen der Homogenität und Isotropie gilt das vorher Gesagte für alle Beobachter in dem Raum in gleicher Art und gleicher Größenordnung Dr. R. Göhring 16
17 Skalenfaktor Frankfurt 50 o N 8,5 o O Radius des Globus r L 10 r 10 o 2(90 50 o Koordinatendistanz o 10 cm ) 7cm Radius des Globus r L 30 3 r o 2(90 50 o r Koordinatendistanz o 10 ) 21cm 30 cm Allgemein: Entfernung = Skalenfaktor r 10 Koordinatendistanz Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 17
18 Hubble-Funktion Skalenfaktor a(t) ist der Betrag, um den sich die Größe des Raumes ändert: L(t) a(t) r10 Koordinatendis tan z Fluchtgeschwindigkeit V(t) ist die Rate, mit der sich die Distanz L(t) ändert: dl(t) da(t) V(t) r10 Koordinatendis tan z dt dt Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz: a(t) V(t) L(t) H(t) L(t) a(t) Hubble-Funktion: H(t) a(t) a(t) Hubble-Konstante H 0 : = heutiger Wert der Hubble-Funktion km H sec Mpc Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 18
19 Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz Beobachter Skalenfaktor a(t) a V(t) L(t) H(t) L(t) a V heute = H 0 L heute Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 19
20 Hubble Sphäre Nach dem Geschwindigkeits- Entfernungs-Gesetz gilt V>c V heute = H 0 L heute V<c L H Die Entfernung L H, bei der die Fluchtgeschwindigkeit V = c ist, ist die Hubble-Länge L H = c/h Mpc Fluchtgeschwindigkeiten V > c sind möglich, da die Expansion des Raumes ein Effekt der allgemeinen und nicht der speziellen Relativitätstheorie ist! Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 20
21 Rotverschiebung durch die Expansion Emission Zum Zeitpunkt der der Emission t e einer elektromagnetischen Welle der Wellenlänge sei der Skalenfaktor a(t e ). In der Zeitspanne bis zum Empfang der Welle (heute) ist der Raum expandiert auf den Skalenfaktor a(t 0 ). Im gleichen Verhältnis wird die Wellenlänge gestreckt; d.h. die Änderung der Wellenlänge ist proportional der Änderung des Skalenfaktors: Empfang a(t ) 0 0 a(t ) e 1 z 1 z a(t ) 0 0 a(t ) e Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 21
22 Warum nehmen Objekte im Universum nicht an der Expansion teil? 4 Grundkräfte der Physik: Starke Wechselwirkung: hält Atomkerne zusammen. Elektromagnetische Wechselwirkung: hält Atome und Moleküle zusammen. Schwache Wechselwirkung: verantwortlich für radioaktive Zerfallsprozesse. Gravitation: dominiert die großräumigen Strukturen des Universums. Starke Wechselwirkung Elektromagnetische Wechselwirkung Schwache Wechselwirkung Gravitation 1 Expansion des Universums Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 22
23 Entfernungen L emission L heute L L heute emission a heute a emission 1 z L (1 z) heute L emission Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 23
24 Hubble Space Telescope: Blick in die Vergangenheit Hubble Ultra Deep Field Dr. R. Göhring 24
25 Raum-Zeit-Koordinaten expandierender Sphäre Dr. R. Göhring 25
26 Expandierender Raum Zeit Eigenabstand Zeit Zeit Raum A Emissionsabstand B Raum E Lichtkegel big bang Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 26
27 Raum-Zeit-Diagramm Entfernung O-C heute t 0 heute 13,5 Gj z=0,23 O 0,73*t 0 9,9 Gj z=0,56 0,51*t 0 6,9 Gj 0,22*t 0 3,0 Gj z=1,74 Entfernung O-C früher 0big bang 0 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 27
28 Weltlinien im Einstein-de Sitter Universum L p (t 0 ) t 0 heute 13,5 Gj z=0,23 O 0,73*t 0 9,9 Gj z=0,56 0,51*t 0 6,9 Gj 0,22*t 0 3,0 Gj z=1,74 0big bang 0 L e (t e ) Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 28
29 Das kosmologische Prinzip Das Weltall ist homogen: unabhängig vom Ort im Raum, an dem sich ein Beobachter befindet, stellt sich das Weltall immer gleich dar. (Dieses Prinzip der Homogenität wird auch als Kopernikanisches Prinzip bezeichnet). Das Weltall ist isotrop: unabhängig davon, in welche Richtung man auch schaut, das Weltall stellt sich immer gleich dar. Das kosmologische Prinzip gilt aber nur für sehr große Dimensionen und stellt eine erste Näherung zur Berechnung kosmologischer Modelle dar! Dr. R. Göhring 29
30 Ab wann muß relativistisch gerechnet werden? Es kann nach der Newtonschen Theorie gerechnet werden, solange der Schwarzschildradius sehr klein gegen die räumliche Dimension r ist: 2 G m 2 1 r c r Unsere Milchstraße hat ca Sterne und einen Radius von 15 kpc; als Verhältnis ergibt sich daraus: 6 10 r Relativistisch muß gerechnet werden, wenn mindestens R/r 0,01 ist: r 3 2 G m 8 G r 3 r 0, 01 c 2 2 c r 3c r 8 G Bei einer mittleren Dichte im Universum von kg m -3 ergibt sich r zu: r Mpc Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 30
31 Alexander Friedmann ( ) Russischer Physiker und Mathematiker In seinem Artikel Über die Krümmung des Raumes untersuchte er 1922 verschiedene Weltmodelle und sagte die Expansion des Universums voraus erschien sein Buch Die Welt als Raum und Zeit, in dem er seine kosmologischen Gedanken allgemeinverständlich darlegt. Er starb 1925 in St. Petersburg an Typhus. Quelle: Dr. R. Göhring 31
32 Georges Edouard Lemaître ( ) 1927 erschien sein Artikel Un universe homogène de masse constante et de rayon croissant, in dem er ein expandierendes Universum beschrieb. Der Artikel blieb praktisch unbeachtet, bis Eddington 1931 eine Übersetzung herausbrachte. Auf Lemaître geht die Idee des Urknalls zurück. Quelle: Ab 1960 bis zu seinem Tod war er Präsident der Päpstlichen Akademie der Wissenschaft. Dr. R. Göhring 32
33 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik FLRW-Metrik Robertson und Walker entwickelten eine Metrik für die Expansion eines homogenen und isotropen Universums als exakte Lösung der Feldgleichungen. Robertson Zu Ehren von Friedmann und Lemaître, die eine analoge nutzten, wird die Metrik Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker- Metrik oder FLRW-Metrik genannt. Walker Diese Metrik in Verbindung mit einem geeigneten Energie-Impuls-Tensor führt auf die Friedmann-Gleichungen der Kosmodynamik. Dr. R. Göhring 33
34 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik FLRW-Metrik (d ) d R (d ) sin (d ) 1k ds c dt d d (d ) 2 ds c dt a (t) R0 d 2 1k FLRW-Metrik 0; =r Euklidischer Fall: offener Raum k= +1; =sin(r) positive Krümmung: geschlossener Raum -1; =sinh(r) negative Krümmung: offener Raum Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 34
35 Bogenelemente Analogie: d (dr) r (d ) sin (d ) d R (dr) sin (r) (d ) sin (d ) d R (dr) sinh (r) (d ) sin (d ) Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 35
36 Sphäre variabler Größe Bogenelement auf der Kugel: d R d sin d r r d R dr sin r d Beobachter Bogenelement bei zeitabhängigem Radius a(t) R 0 : d (t,r, ) a (t) R dr sin r d Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 36
37 Kosmokinetik ds c dt a (t) R (dr) S (r) d r G G Bestimmung der Entfernung L p vom Beobachter zu Galaxie G zu einem festen Zeitpunkt t: d 0; dt 0; R0 1 ds a(t)dr Die Galaxie G hat die Koordinatendistanz r G. Die (metrische) Entfernung L p ist dann: Beobachter p r G L (t) ds a(t) dr a(t) r r G 0 0 und die Fluchtgeschwindigkeit V p (t): d a& V (t) L (t) a(t) & r L dt a p p G p G Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 37
38 Voraussetzungen für die Friedmann-Gleichungen Das Universum ist homogen und isotrop. Die Materie im Universum (im wesentlichen die Galaxien) wird als nichtrelativistisches ideales Gas aufgefaßt: materiedominiert Druck p=0 2dF Galaxy Redshift Survey (Australien) Im frühen Universum dominiert die Strahlung als Quelle des Gravitationsfeldes: strahlungsdominiert Druck p 0 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 38
39 Friedmann-Gleichung der Kosmodynamik beschreibt die Dynamik eines isotropen und homogenen Universums: Friedmann-Gleichung: Beschleunigungs-Gleichung: 2. 2 a(t) 2 8G kc 1 H (t) (t) a(t) 3c R a (t) 3 a(t) 4G 2 [ (t) 3p(t)] a(t) 3c 3 4 freie Parameter: Krümmungskonstante: k Energiedichte: (t) Druck: p(t) Kosmologische Konstante: 8G 3c 2 Einstein-de Sitter Modell: H (t) (t) (k p(t) 0) 2 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 39
40 Kritische Energie- und Massendichte Einstein-de Sitter Modell: 2 H (t) 8G (t) 2 3c Definition der kritischen Energiedichte: 3c 8 G 2 c(t) 2 H (t) Definition der kritischen Massendichte: 3 2 c(t) H (t) 8 G Die kritische Energie- und Massendichte zum heutigen Zeitpunkt t 0 : kg m sec 11 c,0(t) (8, 8 1,7) 10 2 kg m 27 c,0(t) (9,7 2, 0) 10 3 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 40
41 Kosmologische Modelle (Änderung des Skalenfaktors mit der Zeit) a(t) a(t) t 0 t t 0 t a(t) k = 0 k = 1 k = -1 a(t) a(t) ~t 2/3 1/H 0 1/H 0 t 0 t Big bang Big crunch t t flacher Raum (offen) sphärischer Raum (geschlossen) hyperbolischer Raum (offen) Lambda-Parameter = 0 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 41
42 Modellvarianten Dr. R. Göhring 42
43 Einstein-de Sitter Modell a(t) 2 H (t) 2 8G kc 1 (t) 3c R a (t) Flaches Universum: k=0 Kosmologische Konstante: = H 1/H 0 t Weltalter: t 0 3 H0 0 t 2 H (t) 2 a(t) & 8G (t) 2 a(t) 3c Zeitliches Verhalten des Skalenfaktors: 9 a(t) 4 1/3 t 2/3 Die Hubble-Funktion: a(t) & 2 1 H(t) a(t) 3 t Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 43
44 Hubble-Sphäre = Schwarzes Loch Die Masse M H innerhalb der Hubble-Sphäre 4 3 M H c(t) L H(t) mit dem Radius L H 3 Der Schwarzschildradius (t)der Masse M H ist gegeben als (t) 2 GMH 2 G c c 3 c (t) L (t) 3 H mit der kritischen Massendichte L H(t) c (t) (t) 3 2 c H (t) und L H(t) 8 G H(t) Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 44
45 Weltlinien im Einstein-de Sitter Universum L p (t 0 ) t 0 heute 13,5 Gj z=0,23 O 0,73*t 0 9,9 Gj z=0,56 0,51*t 0 6,9 Gj 0,22*t 0 3,0 Gj z=1,74 0big bang 0 L e (t e ) Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 45
46 Partikelhorizont und Hubble-Länge jetzt Urknall Partikel-Horizont heute O A B C D H L H (t) Weltlinie der Galaxie H entspricht dem Partikelhorizont: Grenze der Sichtbarkeit. L H (t) ist die Hubble-Länge in Abhängigkeit von der Zeit: L (t) H c H(t) Die Geschwindigkeit, mit der die Hubble- Sphäre expandiert: d U H(t) L H(t) c 1 q(t) dt Universum mit gebremster Expansion heißt q>0 und Hubble-Sphäre expandiert schneller als das Universum; Folge: immer mehr Objekte sind innerhalb der Hubble-Sphäre. In beschleunigt expandierende Universen, q<0, expandiert die Hubble-Sphäre langsamer: immer weniger Objekte sind innerhalb. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 46
47 Partikelhorizont 2 D L H (t) H Das Licht der Galaxie D wird emittiert zu einer Zeit, in der sie selbst jenseits der Hubble- Sphäre ist. Trotzdem können wir sie sehen; das von ihr ausgesandte Licht wird von der Hubble-Sphäre überholt. t e Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 47
48 Friedmann-Gleichung mit heutigen Parametern Heutige Massen- (eigentlich Energiedichte) und Vakuumenergiedichte: (Herleitung siehe Skriptum!) Massendichte: m,0 (t 0) 1 1 Vakuumenergiedichte:,0 mit 3 H 2 c,0 c,0 0 c,0 Damit ist die Friedmann-Gleichung mit heute meßbaren Parametern: d a(t) H 1 a (t) dt a(t) m,0 2 0 m,0,0,0 m,0 +,0 =1 >1 <1 Euklidischer Fall: offener Raum positive Krümmung: geschlossener Raum negative Krümmung: offener Raum Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 48
49 Meßwerte der Hubble-Konstante Dr. R. Göhring 49
50 Modell-Universen 3 Vakuumenergiedichte, kein Urknall Art des Raumes in Abhängigkeit von den Parametern m,0 und,0 d a(t) H 1 a (t) dt a(t) m,0 +,0 m,0 2 0 m,0,0,0 =1 >1 Euklidischer Fall: offener Raum positive Krümmung: geschlossener Raum <1 negative Krümmung: offener Raum -1 kein Urknall Massendichte m,0 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 50
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