STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

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1 Kapitel 15 Statistische Testverfahren Arten statistischer Test Klassifikation von Stichproben-Tests Einstichproben-Test Zweistichproben-Test - nach der Anzahl der Stichproben - in Abhängigkeit von Verteilungsannahmen - nach dem Inhalt der Hypothesen - nach der Verteilung der Prüfstatistik - nach der Hypothesenformulierung Test behandelt nur Daten X einer Stichprobe Test behandelt Daten X und Y von zwei Stichproben k-stichproben-test Test nutzt Daten von k Stichproben (k > 2) Parametrischer Test Verteilungsfreier Test Nicht-parametrischer In der Regel normalverteilt und mindestens intervallskaliert. Keine Vorrausetzung einer speziellen Verteilung der Daten in der Population und nominal- oder ordinalskaliert. Tests für Erwartungswerte Tests für Varianzen Tests für Anteile Anpassungstests Unabhängigkeitstests Eine Variable: Übereinstimmung (bzw. Abweichung) einer bestimmen empirischen und theoretischen Verteilung (folgt: X²-Test) Zwei Variablen: Aussage über Unabhängigkeit zwischen (bzw. Assoziation von) zwei Variablen Bei abhängigen: Mc-Nemar Test Bei unabhängigen: Phi Koeffizient (Vierfeldertafel), Kontingenztafel, (k. x, l χ²) X 2 - Tests t-tests resp. F-Tests Unterschiedliche Testverfahren, Gemeinsamkeiten dass die Prüfstatistik bei Gültigkeit gewisser Annahmen einer t-verteilung folgt Gauß-Test Einseitiger Test Zweiseitiger Test Signifikanztest Prüfung von Hypothesen über Parameter kann es darauf ankommen, Veränderungen nur in einer Richtung zu entdecken Prüfung von Hypothesen über Parameter kann es darauf ankommen, Veränderungen nach beiden Seiten zu entdecken Hypothesentest: (einseitig oder zweiseitig) Ein Verfahren zur Überprüfung von Hypothesen, Grundlage bilden auch hier Stichprobenverteilungen, das Ergebnis ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage über ein Stichprobenergebnis im Lichte der zuvor aufgestellten Hypothesen; zwei Prüfergebnisse sind möglich: Die Nullhypothese ist abzulehnen oder die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden. Wenn die Nullhypothese abzulehnen ist,

2 legt im Allgemeinen die Alternativhypothese fest, wie das Nichtgültigsein der Nullhypothese zu deuten ist. Alternativtest Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem zwischen zwei einfachen Hypothesen alternativ (für den einen oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird, heißt Alternativtest. Bei zwei konkreten Vermutungen über die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Ereignisses einander gegenüberstehen, und die anderen nicht in Betracht kommen. Def. Test in der Diagnostik als routinemäßig einsetzbares Messinstrument zur Erfassung latenter Variablen bzw. hypothetischer Konstrukte anhand von Fragebögen Bei statistischen Test handelt es sich um die Konfrontation von Forschungshypothesen mit Daten mit dem Ziel, Aufschluss darüber zu gewinnen, ob eine Hypothese mit vorhandenen Beobachtungen verträglich ist und daher bis auf weiteres beizubehalten ist oder ob sie aufgrund des empirischen Befunds zu verwerfen ist. Die letztgenannte Testentscheidung wird getroffen, wenn das Stichprobenergebnis in signifikantem Gegensatz zur betreffenden Hypothese steht. Anwendungsfelder - Verdienststrukturerhebung (Eurostat alle 4 Jahre) - Umweltbereich - Medizin z.b. Medizinwirkung - Geschlechtsspezifische Datenermittlung - Industrielle Serienproduktion Grundbegriffe und Gauß-Test für Erwartungswerte Nullhypothese H0 Alternativhypothese H1 Prüfvariablen Prüf- &Teststatistik Vorgehensweise Gaußtest (zweiseitiger Hypothesentest) Formulierung einer bisher gültigen Aussage einer Gesamtpopulation Untersuchung gilt als empirische Absicherung, dass die Hypothese stimmt Formulierung der eigentlichen Forschungshypothese, was aufgezeigt werden soll Darauf basiert ein Test, ergibt sich auch einer Ein-Strichprobenfall aus einer Stichprobe x 1,x 2,,x n, welche aggregiert werden z.b. X, S 2 bzw. S *2, sind Zufallsvariablen 1. Formulierung von H 1 und H 0 für Merkmal X, es gilt: H 0 : μ= µ 0 gegen H 1:µ=µ 0

3 2. Ermittlung von Daten aus einer Stichprobe. Stichprobeninformationen ermitteln eine Schätzung zu µ, sog.μ. μ = X X fungiert als Prüf- oder Testgröße 3. Wenn H 0 zutrifft: kann man die Verteilung der Prüfstatistik angeben Aus der Kenntnis der Verteilung lässt sich ein Intervall ableiten, in das die Prüfgröße mit einer hohen Wahrscheinlichkeit 1-α fällt. Der Wert α wird vorher festgelegt z.b. α=0,01. Liegen die Stichprobendaten außerhalb des Intervalls, dann H 0 verworfen 4. Wenn σ 2 von X bekannt ist (bei Schätzung Siehe t-test), dann folgt: Gauß-Test: Standardisierung nach Z (nicht von µ 0 abhängig) Standardisierte Prüfgröße muss im Intervall [z α \ 2, z 1-α\2] liegen, dann ist H 0 gültig! (Annahmebereich) Der Bereich im Außen nennt man Ablehnungsbereich, und liegt die Prüfgröße auf den Grenzen sind es kritische Werte. 5. Wenn H 0 verworfen wird, dann gilt ist H 1 als statistisch bewiesen. 6. Die fälschliche Zurückweisung der Nullhypothese wird als Fehler 1. Art oder auch als α Fehler bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit α für den Eintritt eines Fehlers 1. Art definiert das Signifikanzniveau des Tests. Einseitiger Hypothesentest für den Erwartungswert

4 Quartile: Rechts gilt: z > z 1-α, Links gilt: z > z 1-α = -z 1-α Der Annahmebereich beim einseitigen Hypothesentest wird allein durch die Verteilung der Prüfgröße im Grenzfall µ=µ 0 bestimmt, hängt also von der Verteilung der Prüfgröße am Rande des Gültigkeitsbereichs der Nullhypothese ab Fehlerarten beim Testen Fehler 1.Art (α-fehler) falsche Verwerfung von H 0 Fehler 2.Art (β-fehler) falsche Nicht-Verwerfung von einer ungültigen H 0,,kann also nur eintreffen wenn H 1 gültig ist. Abbildung: Leistungsfähigkeit eines Test Gütefunktion G(µ) = P(Ablehnung von H 0 µ) gibt für jeden möglichen Wert des Erwartungswerts µ des normalverteilten Merkmals X die Wahrscheinlichkeit für die Verwerfung der Nullhypothese an, spezifiziert also die Ablehnungswahrscheinlichkeit für H 0 als Funktion von µ. Rechtsseitige Funktionsgleichung monoton wachsende Funktion mit Werten zwischen 0 und 1 G(µ 0)=α

5 Eine Erhöhung von n führt zu Reduzierung der Testrisiken, führt zu einen steileren Verlauf! (Trennschärfe) Man bevorzugt den Test der eine höhere Trennschärfe aufweist! Linksseitige Funktionsgleichung von 1 nach 0 streng monoton fallende Funktion G(µ 0)=α Gütefunktion beim Zweiseitigen Test Symmetrisch zu µ 0, verläuft bis µ 0 streng fallend und danach streng monoton steigend

6 Wozu braucht man die Gütefunktion? Signifikanzniveau Irrtumswahrscheinlichkeit In der Praxis liefern Gütefunktionen eine Entscheidungshilfe, wenn man sich bei einem Test für einen Stichprobenumfang n zu entscheiden hat oder auch bei der Wahl zwischen zwei mit unterschiedlichen Prüfgrößen operierenden Tests bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der im Rahmen eines»hypothesentests«die»nullhypothese«fälschlicherweise verworfen werden kann, obwohl sie eigentlich richtig ist t-test für Erwartungswerte Gleichung zur Ermittlung der t- Werte t-verteilt mit n-1 Freiheitsgeraden Annahmebereich stets breiter als beim Gauß-test

7 Ablehnung H 0 bei: X 2 - Test für Varianzen Zweiseitigen X² - Test Herangehensweise ähnlich wie bei H 0 verworfen wenn, (t ist nicht Element von ) gilt. Asymmetrisch, weil es sich um X² Verteilung handelt

8 Einseitiger X²- Test H 0 wird verworfen, wenn Zweistichproben-Tests für Erwartungswerte Aufgabe Zwei separate Stichproben X 1 und X 2 mit zwei n Umfängen werden als unabhängig (unverbunden) angenommen! Untersuchung ob sich die Erwartungswerte beider Stichproben signifikant unterscheiden! Unterstellt, dass sie normalverteilt ist Differenziert zwischen bekannter und geschätzter Varianz Für die Varianz gilt auch: Bekannte Varianz Wenn beide Varianzen den gleichen Wert haben,dann gilt: H 0 wird verworfen, wenn z > z 1-α/2

9 Geschätzte Varianz Zweistichproben-t- Test Unabhängigkeitstests X²-Koeffizienten Bietet sich an als Testgröße für einen Test an: Um auf Unabhängigkeit zweier diskreter Merkmale zu testen Dieser Test nennt sich auch X²- Unabhängigkeitstest, auch Kontingenztest. Je größer der stets nicht-negative X²-Koeffizient ausfällt, desto mehr spricht für die Hypothese H 1. Man wird also H 0 verwerfen, wenn die Teststatistik eine bestimmte Schranke überschreitet (rechtsseitiger Test). H 0 wird verworfen, wenn.