K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom"

Transkript

1 Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS16).html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen

2 Wdhlg.: Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem: P (A B) = P (A B)P (B) = P (A)P (B) = P (B A)P (A) P (B A) = P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B), ( Ā, B), (Ā, B)

3 Wdhlg.: Unabhängigkeit in Mengensystemen Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-tupel (i 1, i 2,..., i m ) von natürlichen Zahlen mit 1 i 1 < i 2 < < i m n gilt: P (A i1 A i2 A im ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im ). Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 i, j n, i j die Ereignisse A i und A j unabhängig sind, also wenn gilt P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). n n Konsequenz: P ( A k ) = P (A k ). Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt).

4 Anwendung Unabhängigkeit Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung von Ereignissen) P (A i ) = p i, i = 1, 2,... ( ) Parallelschaltung: B = A 1 A 2 A 3... A n Reihenschaltung: C = A 1 A 2 ( A 3... A n ) Grundformeln (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen): P (A 1 A 2 ) = p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = p 1 + p 2 p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 2 ) = (1 p 1 )(1 p 2 ) P (C) = n n p k, P (B) = (1 p k )

5 Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r B: gezogene Kugel ist weiß; A i : Kugel ist aus Urne i Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A B C): ( ) = P (A B C) = P (A C) (B C) P (C) P (A C) + P (B C) P (A B C) P (C) P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C) =

6 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges zufälliges Ereignis B B = n (B A k ) P (B) = n P (B A k ), weil die Mengen (B A k ) ebenfalls paarweise unvereinbar sind. P (B) = n P (B A k )P (A k ) mit Multiplikationssatz Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

7 Der Satz von Bayes Es interessieren auch P (A i B), i = 1, 2, 3 (Kugel aus Urne U i, falls gezogene Kugel weiß). Nach Multiplikationstheorem gilt P (B A k ) = P (B A k )P (A k ) = P (A k B)P (B) P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) P (A k B) = P (B A k )P (A k ) n P (B A k)p (A k ) Das ist die Formel von Bayes (Eine Folgerung aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

8 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion Häufig: Ergebnisse von Zufallsversuchen sind Zahlenwerte (werden durch reelle Zahlen räpresentiert). Def 13.10: Es sei E die Menge der bei einem Zufallsexperiment möglichen Elementarereignisse e und Z ein Ereignisfeld entsprechend Def Eine (eindeutige) reelle Funktion X(e), die für alle e E definiert ist, heißt Zufallsgröße, wenn das Urbild X 1 (I) eines beliebigen Intervalls I der Form ], x[ R ein zufälliges Ereignis A Z ist. Def 13.11: X sei eine Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F X (x) von X: F X (x) := P {X < x}.

9 Eigenschaften einer Verteilungsfunktion Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat folgende Eigenschaften: a) F (x) ist monoton nichtfallend, b) lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, c) F (x) ist linksseitig stetig. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion einer gewissen Zufallsgröße. Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz: P {x 1 X < x 2 } = F (x 2 ) F (x 1 ) möglich: P { X x 2 } = F (x 2 ) + P {X =x 2 } > F (x 2 )

10 Würfeln (einfacher Wurf) F(x) Abbildung 13.6: x Verteilungsfunktion F (x) für das Beispiel Würfeln

11 Diskrete Zufallsgrößen Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann, nennt man diskrete Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = x k } = p k > 0 für k = 1, 2,... ist. Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar F (x) = P {X < x} = ( ) p k = 1 k:x k <x Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant ): Binomialvertlg. (endlich) p n (m) = P n {X = m} = ( ) n m p m (1 p) n m Poisson-Vertlg. (abzählbar) p k p k = P {X = k} = λk k! e λ

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 7. Übung SS 16: Woche vom 23. 5. 27. 5.. 2016 Stochastik I: Klassische Wkt.-Berechnung Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/... (SS16).html

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 3. Vorlesung - 21.10.2016 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass : a) man eine grüne

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen

Mehr

8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.

8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W. 8. Formelsammlung 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen Im Folgenden seien A und B, sowie A 1,..., A n Ereignisse. Die Notation A B steht für A B und zugleich A B = (disjunkte Vereinigung). A 1... A

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

KAPITEL 5. Erwartungswert

KAPITEL 5. Erwartungswert KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar

Mehr

Woche 2: Zufallsvariablen

Woche 2: Zufallsvariablen Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit

Mehr

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten

Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten Kapitel 2 Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten 2.1 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Gegeben sei ein W-Raum (Ω, C, P. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

1.3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen

1.3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen .3 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.3. Einführung Vielfach sind die Ergebnisse von Zufallsversuchen Zahlenwerte. Häufig möchte man aber auch in den Fällen, wo dies nicht so ist, Zahlenwerte zur

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014 Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht

Mehr

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017 htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT htw saar 2 Gliederung 25.01. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Motivation und Definition Multiplikationssatz Stochastische Unabhängigkeit:

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen 3.1 Einführung Bsp. 19 (3-maliges Werfen einer Münze) Menge der Elementarereignisse: Ω {zzz,zzw,zwz,wzz,zww,wzw,wwz,www}. Ω 2 3 8 N Wir definieren

Mehr

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 11. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik

6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Michael Kohler Dipl.-Math. Andreas Fromkorth Dipl.-Inf. Jens Mehnert SS 9 1.6.29 6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik Aufgabe 22 Sei P ein auf der Borelschen

Mehr

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Priv.-Doz. Dr. H. Steinacker Wintersemester 2013/2014 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachte Wiederholungen eines Experimentes, gleicher Vorbereitung (z.b. Würfeln, Dart werfen, Doppelspaltexperiment,...)

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 . Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen edingungen beliebig oft wiederholbarer

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3.

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3. 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das

Mehr

Vorlesung Statistik, WING, ASW Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen. Kombinatorische Formeln. Bedingte Wahrscheinlichkeit

Vorlesung Statistik, WING, ASW Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen. Kombinatorische Formeln. Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen Kombinatorische Formeln Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationssatz Unabhängigkeit Melanie Kaspar 1 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes Melanie

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Kapitel 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Mitunter erhält man über das Ergebnis eines zufälligen Versuches Vorinformationen. Dann entsteht die Frage, wie sich für den Betrachter, den man

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert,

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Haug verwendet man die Denition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A \ B] = Pr[BjA] Pr[A] = Pr[AjB] Pr[B] : (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1 ; : : : ; A n

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume 1. Einfuhrung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 195/460 Beispiel 78 Wir betrachten

Mehr

Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen

Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen Mathematik II für Biologen 12. Juni 2015 Zufallsvariable Kennzahlen: Erwartungswert Kennzahlen: Varianz Kennzahlen: Erwartungstreue Verteilungsfunktion Beispiel: Exponentialverteilung Kennzahlen: Erwartungswert

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten

Mehr

= 7! = 6! = 0, 00612,

= 7! = 6! = 0, 00612, Die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. L. die Wette verliert, lässt sich wie folgt berechnen: Ω = {(i 1,..., i 7 ) : i j {1... 7}, j = 1... 7}, wobei i, j für den Wochentag steht, an dem die Person j geboren

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Multivariate Zufallsvariablen

Multivariate Zufallsvariablen Kapitel 7 Multivariate Zufallsvariablen 7.1 Diskrete Zufallsvariablen Bisher haben wir immer nur eine Zufallsvariable betrachtet. Bei vielen Anwendungen sind aber mehrere Zufallsvariablen von Interesse.

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. und 2. Vorlesung - 2017 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

Zuverlässigkeitstheorie

Zuverlässigkeitstheorie 3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Jochen Seitz Fachgebiet Kommunikationsnetze 20. November 2008 Übersicht Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli 1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

Aufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen

Aufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen Ü b u n g 1 Aufgabe 1 Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen P(A) = 0. 7, P(B) = 0. 6, P(C) = 0. 5 P(A B) = 0. 4, P(A C) = 0. 3, P(B C) = 0. 2, P(A B C) = 0. 1 Bestimmen Sie P(A B), P(A C),

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

6: Diskrete Wahrscheinlichkeit

6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 219 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 220 Wahrscheinlichkeitsrechnung Eines der wichtigsten

Mehr

Das Zweikinderproblem

Das Zweikinderproblem Das Zweikinderproblem Definition Zweikinderproblem Eine Familie besitzt zwei Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pr[ Beide Kinder sind Mädchen. Eines der Kinder ist ein Mädchen ]? Lösung: Sei A

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

4 Diskrete Zufallsvariablen

4 Diskrete Zufallsvariablen 25 4 Diskrete Zufallsvariablen 4.1 Einleitung Die Ergebnisse von Zufallsvorgängen sind nicht notwendigerweise Zahlen. Oft ist es aber hilfreich diese durch Zahlen zu repräsentieren. Beispiel 4.1 (4-maliger

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

Hauptklausur zur Stochastik für Lehramt

Hauptklausur zur Stochastik für Lehramt Universität Duisburg-Essen Essen, den 20.02.203 Fakultät für Mathematik Dr. Daniel Herden Dipl.-Inf. Christian Thiel Matthias aus der Wiesche Hauptklausur zur Stochastik für Lehramt Bearbeitungszeit: mind.

Mehr

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein.

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein. Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt 6: 43) 7 Telefonzellen ( 7 Kugeln in der Urne); 3 davon sind von je einem Benutzer besetzt ( 3 Kugeln in die Stichprobe). Die Telefonzellen werden nicht mehrfach

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)?

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? 1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? Als Wahrscheinlichkeit verwenden wir ein Maß, welches die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit h n () besitzt, aber nicht zufallsbehaftet ist. Jan

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Stochastik Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Stochastik 1-1 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsraum (WR): Menge der Elementarereignisse

Mehr

Psychologische Methodenlehre und Statistik I

Psychologische Methodenlehre und Statistik I Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61 Zufallsexperiment

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206 Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 0

Aufgaben zu Kapitel 0 Aufgaben zu Kapitel 0 0.1. Seien A und B zwei Mengen. Wie kann man paarweise disjunkte Mengen A 1, A 2 und A 3 so wählen, dass A 1 A 2 A 3 = A B gilt? 0.2. Seien E ein Menge und A eine Teilmengen von E.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Mehr

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

Mehr