3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

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1 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten. Dann interessieren nur noch Ergebnisse ω B. Gesucht: W-Modell, das diese Zusatzinformation berücksichtigt. Beispiel 3.. Stichprobe von 00 Computerprogrammen wird auf Syntax ( S ) bzw. Input/Output ( I ) Fehler untersucht : I I c S S c Ein zufällig herausgegriffenes Programm habe einen Syntaxfehler (S ). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Input/Output-Fehler (I ) hat? Modell: Ω {,...,00}, A P(Ω), P({ω}) ω Ω 00 Jetzt : S ist eingetreten, S 2, davon 6 mit I, also Wahrscheinlichkeit 6 2 I S S, aber P(I) Im ursprünglichen Modell : I S S I S / Ω S / Ω P(I S) P(S). Definition 3.. Seien (Ω, A,P) ein W-Raum, B A ein Ereignis mit P(B) > 0. Für A A heißt P(A B) : P(A B) P(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B. Satz 3.. Unter den Voraussetzungen von Definition 3. gilt : a) Die Abbildung A P(A B) : P B (A) definiert ein W-Maß auf A ; b) P B ist auf B konzentriert, d.h. P B (B). 27

2 Bemerkung 3.. a) P B ist das einzige W-Maß auf A, das auf B konzentriert ist und eine Neubewertung der Wahrscheinlichkeiten von A vornimmt, die proportional ist zur ursprünglichen Bewertung, d.h. c B R : P B (A) c B P(A) A A, A B, nämlich c B /P(B) (vgl. Georgii (2009), Proposition 3.2). b) Häufig wird nicht P(A B) aus P(A B) und P(B) berechnet, sondern die Produktregel verwendet : P(A B) P(A B)P(B). Satz 3.2. (Produktformel ) Seien (Ω, A,P) ein W-Raum und A,...,A n A Ereignisse mit P(A... A n ) > 0. Dann gilt : P(A... A n ) P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 ) P(A n A... A n ). Beispiel 3.2. (Ansteckungsmodell ) Aus einer Urne mit N R + S Kugeln wird n -mal gezogen. Ist die gezogene Kugel rot, so wird sie mit einer weiteren roten Kugel zurückgelegt; ist sie schwarz, wird sie mit einer weiteren schwarzen Kugel zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur rote Kugeln gezogen werden? Antwort: Sei A i i-te Kugel rot (i, 2,...,n). Dann gilt : P(A ) R N, P(A i A... A i ) i 2 R + i N + i, P(A... A n ) R(R + )...(R + n ) N(N + )...(N + n ). also Bedingte Wahrscheinlichkeiten spielen sowohl eine Rolle bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten als auch bei der Konstruktion von W-Modellen aus Teilmodellen : Satz 3.3. a) Seien (Ω, A,P) ein W-Raum und B,B 2,... A eine Zerlegung von Ω, d.h. Ω B i, wobei P(B i ) > 0 i, 2,.... Dann gilt die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit, d.h. P(A) P(A B i )P(B i ), A A. 28

3 b) Seien Ω eine Ergebnismenge, A σ-algebra über Ω und B,B 2,... A mit Ω B i eine Zerlegung. Ferner seien p i 0 mit p i und P i W-Maße auf A, die auf B i konzentriert sind (i, 2,...). Dann existiert genau ein W-Maß P auf A mit (i) P(B i ) p i i, 2,..., (ii) P(A B i ) P i (A) i : p i > 0, A A, nämlich P(A) P i (A)p i. Beispiel 3.3. (Test auf seltene Krankheit ) Eine bestimmte Krankheit ( K ) trete in einer Bevölkerung mit Wahrscheinlichkeit p 0, 5% 0, 005 auf ( Prävalenz 0, 5% ). Ein Test zur Entdeckung der Krankheit führt bei 99% der Erkrankten zu einer positiven Reaktion ( Sensitivität des Tests 99% ), aber auch bei 2% der Gesunden ( Spezifität 98% ). Wie groß ist der prädikative Wert eines positiven Testergeb- nisses, d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person mit positivem Testergebnis wirklich erkrankt? Ereignisse : K krank, K c gesund ; T Test positiv, T c Test negativ. Bekannt : P(K) 0, 005, P(T K) 0, 99, P(T K c ) 0, 02. Gesucht: P(K T)? Lösung: P(K T) P(K T) P(T) P(T K)P(K) P(T) P(T K)P(K) P(T K)P(K) + P(T K c )P(K c ) 0, 99 0, , 99 0, , 02 0, , 20. D.h., von allen Personen mit positivem Testergebnis sind nur ca. 20% wirklich erkrankt. H Man konstruiere einen geeigneten W-Raum (Ω, A,P) für das obige Problem. 29

4 Die benutzte Formel zur Berechnung von P(K T) ist ein Spezialfall der Bayesschen Formel: Satz 3.4. Seien (Ω, A, P) ein W-Raum und Ω B i A, P(B i ) > 0 (i, 2,...). Dann gilt : P(B i A) P(A B i)p(b i ) P(A B j )P(B j ) j für alle A A mit P(A) > 0. B i eine Zerlegung mit Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten z.b. auf bei der Modellierung mehrstufiger Zufallsexperimente : Es werden n (diskrete) Teilexperimente nacheinander ausgeführt. Dabei habe man eine Beschreibung (Ω, P(Ω )) der Ergebnisse und Ereignisse des. Experiments und eine (diskrete) W-Dichte p (ω ) P ({ω }) für das Auftreten der Ergebnisse ω Ω. Ferner liefere p i ω,...,ω i (i 2,...,n) eine entsprechende Beschreibung des Zufallsgeschehens im i -ten Experiment (Ω i, P(Ω i )), wenn zuvor die Ergebnisse ω,...,ω i aufgetreten sind. Gesucht: Gesamtmodell (Ω, P(Ω),P) mit Ω Ω Ω n und (i) P({ω } Ω 2 Ω n ) p (ω ) ; (ii) P(Ω {ω i } Ω n {ω } {ω i } Ω i Ω n ) p i ω,...,ω i (ω i ), sofern P({ω } {ω i } Ω i Ω n ) > 0 (i 2,...,n). Beispiel 3.4. Aus einer Urne mit N Kugeln werden n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen : Ω {,...,N}, A P(Ω ), p (ω ) N ω Ω ; Ω i {,...,N}, A i P(Ω i ), p i ω,...,ω i (ω i ) N i +, ω i {,...,N}\{ω,...,ω i } ; 0, sonst ; (i 2,...,n). 30

5 Satz 3.5. Unter den obigen Voraussetzungen existiert genau ein W-Maß P auf P(Ω), Ω Ω... Ω n, mit den Eigenschaften (i) und (ii). P ist gegeben durch (3.) P({ω}) p (ω )p 2 ω (ω 2 ) p n ω,...,ω n (ω n ), ω (ω,...,ω n ). Beispiel 3.5. (Hardy-Weinberg-Gesetz ) In einer Population gebe es die Genotypen AA, Aa, aa mit relativen Häufigkeiten u, 2v, w (unabhängig vom Geschlecht ). Ein Nachkomme erhält bei einer Kreuzung von jedem Elternteil zufällig ein Gen, z.b. Eltern : Aa Aa N achkommen : AA Aa aa 4 2 Wie sind, bei zufälliger Kreuzung, die Genotypen bei den Nachkommen verteilt? Wir konstruieren gemäß Satz 3.5 ein W-Modell für Ω {(ω,ω 2,ω 3 ) : ω i {AA,Aa,aa}}, A P(Ω), wobei ω, ω 2, ω 3 den Genotyp von Mutter, Vater, Nachkomme angibt. Die benötigten (Übergangs-)Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus dem folgenden Diagramm (vgl. Georgii (2002), Abbildung 3.2, und Georgii (2009), Beispiel 3.) : 4 3

6 Für die Häufigkeit u des Genotyps AA in der. Nachkommengeneration erhält man : u P({(ω,ω 2,ω 3 ) : ω 3 AA}) P({ω,ω 2,AA}) ω ω 2 u u + u 2v 2 + 2v u + 2v 2v 2 4 (u + v)2. Aus Symmetriegründen : w P({(ω,ω 2,ω 3 ) : ω 3 aa}) (v + w) 2. Schließlich : 2v P({(ω,ω 2,ω 3 ) : ω 3 Aa}) u w ((u + v) + (v + w) ) 2 (u + v) 2 (v + w) 2 2(u + v)(v + w). }{{} Für die 2. Nachkommengeneration entsprechend : u 2 (u + v ) 2 ((u + v) 2 + (u + v)(v + w)) 2 (u + v) 2 (u } + 2v {{ + w } ) 2 (u + v) 2 u, w 2 w, v 2 v. D.h., bei zufälliger Partnerwahl bleiben die Genotypen-Häufigkeiten ab der. Nachkommengeneration unverändert. Analog zu den bedingten W-Maßen P( B) definieren wir jetzt : Bedingte Verteilung, bedingter Erwartungswert Definition 3.2. Seien X : (Ω, A) (X, B) eine ZV., P ein W-Maß auf A und C A mit P(C) > 0 ( Condition). Dann definiert man : a) Das W-Maß P X C auf B mit P X C (B) : P(X B C), B B, heißt bedingte Verteilung von X unter C. 32

7 b) Für (X, B) (R, B ), d.h. X reelle ZV., heißt die Abbildung F X C : R [0, ] mit F X C (x) : P(X x C), x R, bedingte VF. von X unter C. c) Im Spezialfall diskreter bzw. absolut-stetiger bedingter Verteilungen heißt bzw. p C (x) : p X C (x) : P(X x C) ( ) b f C (x) : f X C (x) 0 mit P X C (a,b) f X C (x)dx, (a,b) R, bedingte (diskrete bzw. absolut-stetige ) W-Dichte von X unter C. d) Existiert der EW. von X und ist P X C diskret bzw. absolut-stetig, so heißt x i p X C (x i ), falls P X C diskret, i E(X C) : x f X C (x)dx, falls P X C absolut-stetig, bedingter Erwartungswert von X unter C. a Bemerkung 3.2. a) E X < E ( X C ) < C A : P(C) > 0. b) Der bedingte EW. von X unter C entspricht dem EW. unter der bedingten Verteilung Eigenschaften wie Monotonie, Linearität usw. gelten entsprechend. Beispiel 3.6. (Risikoprozess) Die Anzahl N der Schäden in einem Versicherungskollektiv (pro Jahr) besitze eine diskrete W-Dichte (p n ) n0,,... [ z.b. p n λn n! e λ ]. Treten n ( ) Schäden auf, so seien die Einzelschäden X,...,X n identisch verteilt mit EW. µ. Wie groß ist der erwartete Gesamtschaden, d.h. ( N ) 0 E X i?, wobei : 0? 33

8 Achtung: Randomisierte Summe, da N ZV.! Bekannt : ) P(N n) p n (n 0,,...), ( N ) 2) E X i N n nµ (n 0,,...). Mit S n X + + X n, S 0 0, erhält man : ) ( ) E(S N ) E (S N I {Nn} E S N I {Nn} (s.u.) n0 E(S N I {Nn} ) n0 nµ p n µ E(N). n0 n0 E(S N N n)p(n n) Hierbei wurden zwei Ergebnisse aus Wahrscheinlichkeitstheorie benutzt : ( ) (i) E X i E(X i ) für nicht-negative, reelle ZV. X i ; i0 (ii) E(X C) i0 n0 P(C) E(XI C) für C A, P(C) > 0, falls E(X) existiert. Allgemein gilt der folgende Satz vom iterierten EW.: Satz 3.6. Seien X eine reelle ZV. auf (Ω, A,P) und (C i ),2,... eine Zerlegung von Ω mit C i A, P(C i ) > 0 (i, 2,...). Falls der EW. von X existiert, so gilt : E(X) E(X C i )P(C i ). Speziell für X I A, A A : Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. Die obigen Beispiele haben gezeigt, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A B) i.a. von der Bedingung B abhängen und dass i.a. auch P(A B) P(A) gilt. Man definiert aber : Definition 3.3. Zwei Ereignisse A, B A eines W-Raumes (Ω, A, P) heißen (stochastisch ) unabhängig (bzgl. P ), falls gilt : P(A B) P(A)P(B). 34

9 Bemerkung 3.3. a) A,B unabhängig, P(B) > 0 P(A B) P(A), d.h. die bedingte Wahrscheinlichkeit hängt nicht von der Bedingung ab ; b) A, B unabhängig Ebenfalls unabhängig sind : A,B c bzw. A c,b bzw. A c,b c ; c) P(A) 0 P(A) A,B unabhängig B A ; d) Die Definition der Unabhängigkeit von A und B ist symmetrisch in den Ereignissen A und B. Beispiel 3.7. ( n -maliges Roulettespiel ) Seien A beim n-ten Spiel tritt Rot auf, B bei den Spielen,...,n tritt Rot auf. Sind A und B unabhängige Ereignisse? Modell : Urne mit 8 roten, 9 nicht-roten Kugeln, n-maliges Ziehen mit Zurücklegen P(A B) 8n 37 n, P(A) 37n 8 37 n 8 37, P(B) 8n n P(A B) P(A)P(B), also Unabhängigkeit. ( 8 37 ) n Allgemeiner : Definition 3.4. Sei (Ω, A,P) ein W-Raum. Die Ereignisse A,A 2,... A heißen (stochastisch ) unabhängig (bzgl. P ), wenn gilt : P(A i... A ik ) P(A i ) P(A ik ) für jede endliche Teilmenge {i,...,i k } N. Bemerkung 3.4. Die Unabhängigkeit der Ereignisse A,A 2,... liefert auch deren paarweise Unabhängigkeit, d.h. P(A i A j ) P(A i )P(A j ) (i j). Die Umkehrung ist i.a. falsch (Gegenbeispiel! ). 35

10 Beispiel 3.8. (Ziehen von n aus N Kugeln mit Zurücklegen ) Der W-Raum (Ω, A,P) mit Ω {ω (ω,...,ω n ) ω i {,...,N}}, A P(Ω), P({ω}) N n, beschreibt die unabhängige Durchführung von Einzelziehungen, d.h. die Ereignisse A i im i-ten Versuch tritt a i (fest ) auf (i,...n) sind unabhängige Ereignisse. Bemerkung 3.5. Die unabhängige Durchführung von n beliebigen Einzelexperimenten, beschrieben durch (Ω i, A i, P i ), i,...,n, lässt sich durch den (so genannten ) Produktraum (Ω, A,P) beschreiben, wobei n Ω : Ω Ω n : Ω i, A : A A n : n A i : kleinste σ-algebra in Ω, die alle Ereignisse A A n, A i A i, enthält ; n P : P P n : mit P i ( ) P(A A n) : P (A ) P n (A n), A i A i (i,...,n). Man kann zeigen (vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie ), dass durch die Forderung ( ) bereits eindeutig ein W-Maß P auf der Produkt-σ-Algebra A festgelegt ist. Ereignisse, die nur durch ein Einzelexperiment bestimmt sind, etwa A i Ω Ω i A i Ω i+ Ω n, A i A i (i,...,n), sind unter dem Produktmaß P unabhängig. Beispiel 3.8 (Fortsetzung) Mit den obigen Begriffen gilt : ( n (Ω, A,P) Ω i, n A i, n P i ), wobei Ω i {,...,N}, A i P(Ω i ), P i ({ω i }) N (i,...,n). 36