13 Stetige Funktionen

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1 $Id: stetig.tex,v /02/06 3:47:42 hk Exp $ 3 Stetige Funktionen 3.2 Stetige Funktionen In anderen Worten bedeutet die Stetigkeit einer Funktion f : I R also f(x n) = f( x n ) n n für jede in I konvergente Folge (x n ) n N aus I. Unsere bisherigen Beispiele ergeben sofort die folgenden Beispiele stetiger Funktionen:. Jedes Polynom ist auf ganz R stetig. 2. Jede rationale Funktion ist außerhalb der Nullstellen des Nenners stetig. Gelegentlich existieren die Grenzwerte einer rationale Funktion f(x) = p(x)/q(x) auch in den Nullstellen des Nenners noch, etwa im, etwas albernen, Beispiel p(x) = q(x) = x. Das etwas genauer formulierte Resultat für rationale Funktionen werden wir noch behandeln. 3. Die Funktion ist auf ganz R stetig. f : R R; x x sin ( x), x 0, 0, x = 0 Dagegen ist zum Beispiel die Heaviside Funktion H, also, x 0, H(x) = 0, x < 0 in x = 0 nicht stetig. Stückweise zusammengesetzte Funktionen wie die Heaviside Funktion können natürlich durchaus auch einmal stetig sein, zum Beispiel ist die Betragsfunktion x, x 0, x = x, x 0 auf ganz R stetig. Haben wir allgemein eine Funktion in der Form f (x), x a, f(x) = f 2 (x), x > a 26-

2 gegeben, so ist diese genau dann stetig wenn f und f 2 stetig sind, und zusätzlich f (a) = f 2 (a) gilt, die beiden Stücke also zusammepassen. Ob eine gegebene Funktion f stetig ist oder nicht ist für die üblicherweise, und auch hier, vorkommenden Funktionen nicht schwer zu entscheiden. Hierzu ist es zum Glück auch so gut wie nie nötig, sich tatsächlich auf die Definition der Stetigkeit zu berufen. Anstelle dessen verwendet man gewöhnlich eine Vielzahl von Sätzen, die besagen das das Zusammensetzen von Funktionen aus stetigen Funktionen wieder stetige Funktionen liefert. Zum Beispiel ist die Summe f + g zweier stetiger Funktionen f und g auch wieder stetig. Um diesen Satz vorzubereiten halten wir erst einmal einige Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte fest. Satz 3. (Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte) Seien I R ein Intervall und x 0 I. Weiter seien f, g : I R zwei Funktionen, deren Grenzwerte x x0 f(x), x x0 g(x) existieren. (a) Der Grenzwert x x0 (f(x) + g(x)) existiert, und es ist (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). x x 0 x x0 x x0 (b) Ist c R eine reelle Zahl, so existiert auch der Funktionsgrenzwert x x0 (cf(x)), und es gilt (cf(x)) = c f(x). x x 0 x x0 (c) Der Grenzwert x x0 (f(x)g(x)) existiert, und es ist (f(x)g(x)) = f(x) g(x). x x 0 x x0 x x0 (d) Gelten g(x) 0 für alle x I und x x0 g(x) 0, so existiert auch der Grenzwert x x0 (f(x)/g(x)) und es ist f(x) f(x) x x 0 g(x) = x x0 g(x). x x 0 (e) Gilt f(x) g(x) für alle x I, so ist auch f(x) g(x). x x 0 x x0 (f) Gilt a := x x0 f(x) = x x0 g(x) und ist h : I R eine weitere Funktion mit f(x) h(x) g(x) für alle x I mit x x 0, so ist auch x x0 h(x) = a. All diese Aussagen folgen ziemlich direkt aus den entsprechenden Aussagen über Folgengrenzwerte, die wir in behandelt haben. Haben wir zum Beispiel eine Folge 26-2

3 (x n ) n N in I\x 0 } mit n x n = x 0, so gelten x f(x n ) = x x0 f(x) und n g(x n ) = x x0 g(x), also auch (f(x n) + g(x n )) = f(x n ) + g(x n ) = f(x) + g(x), n n n x x0 x x0 d.h. wir haben x x0 (f(x) + g(x)) = x x0 f(x) + x x0 g(x). Die anderen Aussagen ergeben sich im wesentlichen genauso und sollen hier nicht vorgeführt werden. Ebenso gilt dieser Satz natürlich auch für links- und rechtsseitige Grenzwerte, für Grenzwerte x gegen ± sowie für Grenzwerte mit Wert ± solange wie bei Folgen nur sinnvolle Ausdrücke vorkommen, also nicht sow etwas wie 0/0. Wie wollen uns nun einmal, wie schon angekündigt, allgemein die Grenzwerte x x0 f(x) für eine beliebige rationale Funktion f anschauen. Definitionsgemäß ist eine rationale Funktion der Quotient zweier Polynome f = p/q, und wie im vorigen Abschnitt gesehen gilt für x 0 R mit q(x 0 ) 0 stets x x0 f(x) = f(x 0 ). Insbesondere ist f in diesen Punkten stetig. Allerdings ist die Bedingung q(x 0 ) 0 manchmal zu einschränkend, schreiben wir zum Beispiel f(x) = = x/x, so ist f ja auch für x 0 = 0 stetig. Die Einschränkung q(x 0 ) 0 ist nur dann die richtige Bedingung, wenn Zähler und Nenner der rationalen Funktion keine gemeinsamen Nullstellen haben, beziehungsweise wenn sie vorher ausgekürzt sind. Um dies exakt zu formulieren benötigen wir die, Ihnen wahrscheinlich aus der Schule bekannte, Polynomdivision: Satz 3.2 (Polynomdivision mit Rest) Sind f, p zwei Polynome mit p 0, so existieren eindeutig bestimmte Polynome q und r so, dass f = pq + r ist und der Grad von r echt kleiner als der Grad von p ist (dabei wird der Grad des Nullpolynoms als interpretiert). Das Polynom q ist dann der Quotient und r der Rest. Der Satz gilt dabei sowohl für reelle, als auch für komplexe Polynome. Die Berechnung von q und r erfolgt über das Ihnen aus der Schule bekannte Verfahren der Division mit Rest. Wir wollen zum Beispiel einmal x 3 x 2 + x + durch x + 2 teilen: x 3 x 2 + x + : x + 2 = x 2 3x + 7 (x 3 + 2x 2 ) 3x 2 + x ( 3x 2 6x) 7x + (7x + 4) 3 der Quotient ist also x 2 3x + 7 und der Rest ist 3 x 3 x 2 + x + = (x 2 3x + 7)(x + 2) 3. Ein Spezialfall dieses Satzes ist besonders wichtig. Ist p 0 ein Polynom, das eine Nullstelle a hat, so dividieren wir p durch x a und erhalten p = q (x a) + r, wobei 26-3

4 das Restpolynom r Grad 0 oder hat, also eine Zahl ist. Weiter ist aber 0 = p(a) = q(a) (a a) + r = r, also p = q (x a), wir können den zur Nullstelle gehörenden Linearfaktor herausziehen. Gelegentlich kann man sogar höhere Potenzen von x a aus p herausziehen, und wir sprechen dann von Nullstellen höherer Ordnung. Allgemein ist die Ordnung, oder Vielfachheit, der Nullstelle a die größte natürlich Zahl n so, dass wir p = q (x a) n mit einem Polynom q mit q(a) 0 schreiben können. Wir sagen, dass das Polynom p in Linearfaktoren zerfällt, wenn wir p = c(x a ) n... (x a r ) nr schreiben können, wobei c eine von Null verschiedene Zahl ist, und a,..., a r die verschiedenen Nullstellen von p mit Vielfachheiten n,..., n r sind. Der sogenannte Hauptsatz der Algebra besagt, dass über den komplexen Zahlen überhaupt jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Über den reellen Zahlen ist die Lage etwas komplizierter, es gibt ja Polynome wie x 2 +, die überhaupt keine reellen Nullstellen haben. Allgemein hat ein quadratisches Polynom p = x 2 + ax + b nach der pq-formel genau dann keine reellen Nullstellen wenn a 2 4b < 0 ist. Es läßt sich zeigen, dass sich über den reellen Zahlen jedes Polynom p als ein Produkt p = c (x a ) n... (x a r ) nr (x 2 + b x + c ) m... (x 2 + b s x + c s ) ms schreiben läßt. Dabei sind c wieder eine von Null verschiedene Zahl, a,..., a r die Nullstellen von p mit Vielfachheiten n,..., n r, und die verbleibenden Faktoren sind Potenzen nullstellenfreier, quadratischer Polynome. Diese Produktdarstellung ist bis auf Reihenfolge eindeutig, die Polynome x a und x 2 + ax + b mit a 2 4b < 0 sind so etwas wie die Primzahlen unter den Polynomen. Nun betrachten wir eine rationale Funktion f(x) = p(x) q(x) mit zwei Polynomen p und q. Wir nehmen an, dass p und q teilerfremd sind, d.h. schreiben wir beide wie oben als ein Produkt, so kommt keiner der Faktoren von p auch bei q vor, und umgekehrt (dies bezieht sich natürlich auf die Faktoren x a und x 2 + ax + b, und nicht auf die Konstante c). Sei x 0 R und wir wollen x x0 f(x) berechnen. Im einfachsten Fall q(x 0 ) 0 ist sofort f(x) = p(x 0) x x 0 q(x 0 ) = f(x 0). 26-4

5 Nun nehmen wir q(x 0 ) = 0 an. Da p und q teilerfremd sind, ist dann sicher p(x 0 ) 0. Ist weiter n die Vielfachheit der Nullstelle x 0 von q, so können wir q = (x x 0 ) n q mit einem Polynom q mit q(x 0 ) 0 schreiben. Dann haben wir f(x) = (x x 0 ) p(x) n q(x) Nun gibt es zwei Fälle. Ist n gerade, so ist mit x x 0 (x x 0 ) = n p(x) x x0 q(x) = p(x 0) q(x 0 ). und somit ( ) p(x0 ) f(x) = sign. x x 0 q(x 0 ) Ist n dagegen ungerade, so gibt es nur links und rechtsseitige Grenzwerte und somit f(x) = sign x x 0 =, x x 0 (x x 0 ) n x x 0 (x x 0 ) = n ( ) p(x0 ), f(x) = sign q(x 0 ) x x0 ( ) p(x0 ). q(x 0 ) Insbesondere haben wir damit die exakte Aussage über die Stetigkeit rationaler Funktionen, sie sind genau außerhalb der Nullstellen des Nenners stetig, wenn wir die rationale Funktion als einen Quotienten teilerfremder Polynome schreiben. Die Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte liefern jetzt den folgenden Satz: Satz 3.3 (Erhaltung der Stetigkeit) Seien I R ein Intervall und f, g : I R zwei stetige Funktionen. Dann sind auch die Funktionen f + g, f g und c f für jedes c R stetig. Ist g(x) 0 für alle x I, so ist auch f/g stetig. Entsprechend gilt dieser Satz natürlich auch für Stetigkeit in einzelnen Punkten. Weiter sind Hintereinanderausführungen stetiger Funktionen wieder stetig. Satz 3.4 (Hintereinanderausführung stetiger Funktionen) Seien I, J R zwei Intervalle und f : I J, g : J R zwei stetige Funktionen. Dann ist auch g f : I R stetig. Wir wollen noch eine letzte große Klasse stetiger Funktionen angeben, nämlich unsere Potenzreihen aus 2. Da wir Stetigkeit hier nur für reelle Funktionen eingeführt haben, müssen wir uns auch auf reelle Potenzreihen beschränken. Satz 3.5 (Stetigkeit von Potenzreihen) Sei n=0 a n(x x 0 ) n eine reelle Potenzreihe (also x 0 R und a n R für alle n N 0 ) mit positiven Konvergenzradius r > 0. Dann ist die Funktion f : (x 0 r, x 0 + r) R; x a n (x x 0 ) n 26-5 n=0

6 stetig. Insbesondere ergibt dieser Satz die Stetigkeit aller durch Potenzreihen definierten Funktionen, also e x, sin x, cos x. Mit Satz 3 folgen dann auch die Stetigkeit von sinh x, cosh x, tanh x, coth x für x 0, tan x außerhalb der Nullstellen des Cosinus, und so weiter. Kurzum ist jede Funktion, die wir irgendwie als eine Formel hinschreiben können stetig. Wir wollen den Satz auch einmal verwenden, um den Grenzwert sin x x 0 x zu berechnen. Für jedes x R mit x 0 haben wir sin x x = ) (x x x3 3! + x5 5! = x2 3! + x4 5! Nach dem Satz ist diese Funktion aber auf ganz R stetig und somit ist sin x x 0 x =. Wir hatten ja schon erwähnt, dass man sich Potenzreihen als Polynome von Grad vorstellen kann, in der obige Rechnung ziehen wir dann sozusagen den Linearfakter x, der zur Nullstelle des Sinus bei 0 gehört, aus der Sinusfunktion heraus, und kürzen ihn weg. Mit den bisher behandelten Sätzen können wir die Stetigkeit der meisten normalerweise vorkommenden Funktionen einfach begründen. Die einzige Ausnahme sind Umkehrfunktionen wie arcsin x, ln x, und so weiter, die wir etwas später behandeln wollen. 3.3 Grundeigenschaften stetiger Funktionen Der wohl wichtigste Satz über stetige Funktionen ist der folgende Zwischenwertsatz. Da sein Beweis uns zugleich ein gelegentlich brauchbares Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen liefert, wollen wir diesen Satz mitsamt seinen Beweis vorführen. Satz 3.6 (Zwischenwertsatz) Seien a, b R mit a < b und f : [a, b] R eine stetige Funktion. Weiter sei y R zwischen f(a) und f(b), d.h. es gilt f(a) y f(b) oder f(b) y f(a). Dann existiert ein x [a, b] mit f(x) = y. Beweis: Durch Übergang zu f(x) y können wir y = 0 annehmen. Weiter können wir dann durch eventuellen Übergang zu f und Ignorieren trivialer Fälle auch f(a) < 0 < f(b) voraussetzen. Setze a := a und b := b. Ist nun n N und haben wir a n, b n schon konstruiert, so betrachte den Mittelpunkt zwischen a n und b n. Dann setze a n+ := a n, b n+ := an+bn, f ( a n+b n ) 2 2 0, a n+ := an+bn, b 2 n+ := b n, f ( a n+b n ) 2 <

7 Für jedes n N 0 haben wir dann a n a n+ < b n+ b n b n a n = b a 2 n und f(a n ) < 0 f(b n ). Die Vollständigkeit der reellen Zahlen impliziert die Konvergenz der monoton steigenden Folge (x n ) n N sowie der monoton fallenden Folge (b n ) n N. Wegen b b a n a n = (b n a n ) = = 0 n n n n 2 n erhalten wir x := a n = b n. n n Für alle n N ist nun f(a n ) < 0 f(b n ) und somit auch d.h. es ist f(x) = 0. f(x) = n f(a n ) 0 n f(b n ) = f(x), Die im Beweis verwendete Methode nennt man auch Intervall-Halbierungsmethode. Die Lösung x liegt immer zwischen a n und b n, also ist auch x a n = x a n b n a n = b a 2 n und ebenso x b n (b a)/2 n. Der Fehler verkleinert sich bei dreifacher Ausführung um den Faktor 8, und bei vierfacher Ausführung um den Faktor 6, wir können also sagen, dass wir grob alle drei bis vier Iterationsschritte eine neue Dezimalstelle gewinnen. Das ist zwar nicht besonders schnell, aber der Rechenaufwand läßt sich gut a priori abschätzen. Zum Beispiel verwenden wir einmal das Intervallhalbierungsverfahren um die Gleichung cos x = x für 0 x π/2 zu lösen. Als Funktion verwenden wir f(x) = x cos x, also f(0) = < 0 und f(π/2) = π/2 > 0. Wegen π/2.57 sollten wir nach spätestens 2 Iterationsschritten eine auf zwei Dezimalstellen genaue Lösung haben: n a b

8 Der Fehler bei n = ist dabei höchstens π/ , und auf zwei Dezimalstellen genau ist die Lösung x Wir kommen nun zur zweiten Grundeigenschaft stetiger Funktionen, der Existenz globaler Maxima und Minima. Satz 3.7 (Existenz globaler Maxima und Minima) Sei a, b R mit a < b und f : [a, b] R eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt und hat eine globales Maximum und ein globales Minimum, d.h. es gibt x, x 2 [a, b] mit f(x ) f(x) f(x 2 ) für alle x [a, b]. Diesen Satz wollen wir hier nicht beweisen. Wir wollen nur explizit darauf hinweisen, dass es hier wichtig ist die Funktion auf einem Intervall der Form [a, b] zu betrachten, auf anderen Intervallen ist die Aussage falsch. Zum Beispiel hat die Funktion f : (0, ] R; x /x kein globales Maximum, sie ist ja nicht einmal nach oben beschränkt. 3.4 Umkehrfunktionen Der Zwischenwertsatz ergibt auch die üblichen Kriterien für Surjektivität durch Betrachtung von Grenzwerten. Um zum Beispiel einzusehen, dass ein Polynom p(x) = x 3 +ax 2 +bx+c vom Grad 3 immer surjektiv ist, rechnet man zunächst x p(x) = und x p(x) = und der Zwischenwertsatz ergibt, daß es für jedes y R ein x R mit p(x) = y gibt. Dies funktioniert auch für andere Grenzwerte, haben wir etwa eine stetige Funktion f : (0, ) R mit x 0 f(x) = a, x f(x) = b, so gibt es für jedes y zwischen a und b stets ein x (a, b) mit f(x) = y. Besonders übersichtlich ist die Lage für injektive Funktionen: Satz 3.8 (Umkehrfunktionen stetiger Funktionen) Seien I R ein Intervall und f : I R eine stetige Funktion. Dann ist f genau dann injektiv, wenn f streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. In diesem Fall ist J := f(i) R wieder ein Intervall und sind a, b R die beiden Randpunkte von I (unter eventueller Einbeziehung von ± ), so sind x a f(x) und x b f(x) die beiden Randpunkte von J. Weiter ist die Umkehrfunktion f : J R dann wieder stetig. Mit diesem Satz folgen sofort Existenz und Stetigkeit der folgenden, Ihnen wahrscheinlich auch schon wohlbekannten, Funktionen: Die Sinusfunktion [ sin : π 2, π ] [, ] 2 ist stetig und streng monoton steigend, nach dem Satz also sogar bijektiv, und die Umkehrfunktion [ arcsin : [, ] π 2, π ] 2 ist wieder stetig. Ebenso erhalten wir den streng monoton fallenden arccos : [, ] [0, π] 26-8

9 ist. Der Tangens ist zwischen π/2 und π/2 streng monoton steigend mit und nach unseren Sätzen ist tan x =, tan x =, x π 2 x π 2 tan : ( π 2, π ) R; x tan x 2 stetig und bijektiv, mit der stetigen Umkehrfunktion ( arctan : R π 2, π ). 2 Ebenso erhalten wir den streng monoton fallenden arccot : R (0, π). Entsprechend haben auch die Hyperbelfunktionen stetige Umkehrfunktionen, zumindest auf geeigneten Intervallen. Dies sind die sogenannten Area-Funktionen arsinhx, und so weiter. Da diese Funktionen aber nur selten auftauchen, wollen wir sie hier nicht diskutieren. 26-9