8. Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Julian Böhme
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1 Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 09/10 Bürker Wahrscheinlichkeitsrechnung 8.1 Begriffe Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? a) Mehrere Ergebnisse möglich b) Ergebnis nicht vorhersagbar c) Ein Ergebnis muss beliebig oft wiederholbar sein. 1.2 Beispiele: Würfelwurf, Münzwurf, Urnenziehung, Glücksrad, Zufallsgenerator, Qualitätskontrolle Begriffe: S = Ergebnismenge, Ereignis = Teilmenge von S Das Ereignis S ist das sichere Ereignis {} ist das unmögliche Ereignis Begriff der Wahrscheinlichkeit (Kolmogoroff) Es sei S = {e 1, e n } eine endliche Ergebnismenge. Die Wahrscheinlichkeit wird als Funktion eingeführt, die jedem Ergebnis e i eine Zahl (die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses e i ) zuordnet. Es gilt 0 P(e i ) 1. Besteht das Ereignis A aus den Ergebnissen e 1,... e r, so ist P(A) = P(e 1 ) P(e r ). In der Schulmathematik: Endliche Ergebnismengen

2 8.1.5 a) Empirische Festlegung der Wahrscheinlichkeit: Das empirische Gesetz der großen Zahlen Die W. dafür, dass ein Reißnagel schräg (auf der Seite) liegt, ist etwa gleich 0,6, die W. für gerade (Kopf) etwa gleich 0,4. In Fällen wie beim Reißnagel legt man Wahrscheinlichkeiten auf Grund von sehr oft durchgeführten Experimenten und deren Ausgang (relative Häufigkeiten) fest. Dagegen Lotto:

3 8.1.6 Theoretische Festlegung von Wahrscheinlichkeiten Wichtiger Sonderfall: Gleichverteilung Laplace-Wahrscheinlichkeit: Zu unterscheiden: Ergebnis und Ereignis Allerdings wird z. B. im LS neu, Bd 4 die Pfadregel vor dem Ereignis eingeführt. Unabhängig von empirischer oder theoretischer Festlegung von Wahrscheinlichkeiten hat Kolmogoroff 1933 eine axiomatische Festlegung des Begriffs Wahrscheinlichkeit eingeführt. Diese Festlegung wurde den Gesetzen der relativen Häufigkeit nachgebaut. Beispiel: Im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten kann handlungsorientiert Partnerarbeit oder Gruppenarbeit durchgeführt werden. 8.2 Die Pfadregel

4 Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert und anschließend die Produkte addiert. Beispiel: a) Julia knobelt gegen Ben (Papier, Schere, Stein) Gewinnregel: Wer zuerst dreimal gewonnen hat, hat insgesamt gewonnen. Nach der 1. Runde liegt Julia in Führung. Wie groß ist die W., dass Julia gewinnt? b) Das Ziegenproblem: Bei einer Quizsendung darf der Kandidat eine von 3 Türen wählen. Hinter einer der Türen verbirgt sich

5 der Hauptgewinn: Ein Auto. Hinter den beiden anderen Türen befindet sich je eine Ziege. Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, bleibt diese zunächst geschlossen. Der Quizmaster öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Nun wird der Kandidat gefragt, ob seine zuerst gewählte Türe geöffnet werden soll oder ob er die noch verbleibende geschlossene Tür wählt. Soll der Kandidat bei seiner Türe bleiben oder soll er wechseln? Nähere Informationen: mpirie.html 8.3 Das Urnenmodell Gegeben sei eine Urne mit n Kugeln, man zieht a) k Mal mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge b) k Mal ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge c) n Mal ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Spezialfall von c, d. h. k = n, Permutation) d) k Kugeln mit einem Griff (ohne Zurücklegen und ohne Berücks. der Reihenf.) e) k Mal mit Zurücklegen ohne Berücks. der Reihenfolge 1. Allgemeine Formeln (beziehen sich jeweils auf 1.)

6 a)z = n n = n k b)z = n (n - 1) (n k + 1) = n! n k! c) z = n (n - 1) (n k + 1) (n k) 1 = n! d)z = n k e)z = n k 1 k 2. Beispiele: a)wie groß ist die W. für 6 (5) Richtige im Lotto (ohne Zusatzzahl)? b)wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Lottoziehung mindestens ein Paar von Nachbarn auftritt? 8.2 Die Pfadregel Beispiel: a) Julia knobelt gegen Ben (Papier, Schere, Stein) Gewinnregel: Wer zuerst dreimal gewonnen hat, hat insgesamt gewonnen. Nach der 1. Runde liegt Julia in Führung. Wie groß ist die W., dass Julia gewinnt? b) Das Ziegenproblem: Bei einer Quizsendung darf der Kandidat eine von 3 Türen wählen. Hinter einer der Türen verbirgt sich der Hauptgewinn: Ein Auto. Hinter den beiden anderen Türen befindet sich je eine Ziege.

7 Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, bleibt diese zunächst geschlossen. Der Quizmaster öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Nun wird der Kandidat gefragt, ob seine zuerst gewählte Türe geöffnet werden soll oder ob er die noch verbleibende geschlossene Tür wählt. Soll der Kandidat bei seiner Türe bleiben oder soll er wechseln? Nähere Informationen: mpirie.html Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert und anschließend die Produkte addiert. 8.4 Additionssatz Beispiel:

8 Mit welcher W. zieht man beim Skatspiel eine Dame oder eine schwarze Karte? Unabhängigkeit von zwei Ereignissen: Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B) gilt Beispiel: DeMorgan sche Regeln 8.5 Zufallsvariable Beispiel (Arbeitsblatt)

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