KAPITEL 2. Folgen und Reihen

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1 KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n). Definition 2.2 (Konvergenz, Divergenz, Grenzwert einer Folge). Es sei (a n ) n N eine Folge. a) (a n ) n N heißt konvergent falls ein a R mit folgender Eigenschaft existiert: Zu jedem ɛ>0 gibt es ein N N, so dass für alle n>n die Ungleichung a n a <ɛgilt. Der Wert a heißt in diesem Fall Grenzwert von (a n ) n N. Wir schreiben auch a n a für n n oder lim n a n = a oder a n a. Ista n = n k=1 b n so schreiben wir auch k=1 b k = a statt lim n n k=1 b n = a. b) Eine Folge heißt divergent falls sie nicht konvergent ist. c) Gibt es zu jedem K R ein N N mit a n >Kfür alle n>n so schreiben wir lim n a n =. GibteszujedemK R ein N N mit a n <K für alle n>n so schreiben wir lim n a n =. Bemerkung: Für alle x 1 und alle n N gilt 1 + nx (1 + x) n. (Bernoulli Ungleichung) Bemerkung: Für alle x, y R gilt x+y x + y (Dreiecksungleichung) und x y x y (untere Dreiecksungleichung). Satz 2.3 (Eigenschaften von Grenzwerten). a) Jede Folge hat höchstens einen Grenzwert (d.h. konvergiert die Folge (a n ) n N gegen a und gegen b so ist a = b. b) Ist die Folge (a n ) n N konvergent so ist die Folge beschränkt, d.h., die Menge {a n n N} ist beschränkt. c) Es seien (a n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen mit lim n a n = a und lim n b n = b. (i) Seien α, β reelle Zahlen. Die Folge (αa n + βb n ) n N konvergiert gegen αa + βb. Die Menge der konvergenten Folgen bildet also einen Unterraum von Abb(N, R) :={f : N R}. (ii) Die Folge (a n b n ) n N konvergiert gegen ab. 7

2 (iii) ist b n 0für alle n N so konvergiert (b 1 n ) n N gegen b 1. (iv) Gilt a n <b n für alle bis auf endlich viele n N so ist a b. (v) Ist (c n ) n N eine Folge mit a n c n b n und ist a = b so konvergiert (c n ) n N gegen a.

3 2. Häufungspunkte und Teilfolgen Definition 2.4 (Häufungspunkte und Teilfolgen). Es sei (a n ) n N eine Folge. a) Ist f : N N streng monoton steigend, so nennt man die Folge (a f(n) ) n N eine Teilfolge von (a n ) n N. b) Konvergiert eine Teilfolge (a f(n) ) n N gegen a R so nennt man a einen Häufungspunkt von (a n ) n N. Bemerkung 1: (a n ) n N konvergiert gegen a falls gilt: für jedes ɛ>0 gilt a a n <ɛ für fast alle n N, d.h.für alle bis auf endlich viele n N. a ist ein Häufungspunkt von (a n ) n N falls gilt: für jedes ɛ>0gilt a a n <ɛfür unendlich viele n N Bemerkung 2: Konvergiert die Folge (a n ) n N gegen a R so konvergiert auch jede Teilfolge von (a n ) n N gegen a. Satz 2.5 (Monotone Konvergenz). Ist (a n ) n N monoton steigend (fallend) und von oben (von unten) beschränkt so ist sie konvergent. Satz 2.6 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.

4 3. Geometrische Reihe und Harmonische Reihe Notation: Ist eine Folge vom Typ s n = n k=1 konvergent, so sagt man die Reihe lim n s n =: k=1 a k ist konvergent. Ist die Folge s n = n k=1 divergent, so sagt man die Reihe lim n s n ist divergent. Satz 2.7 (Geometrische Reihe). Sei q R. Die geometrische Reihe n=0 qn konvergiert genau dann, wenn 1 < q < 1. Ist die Reihe konvergent, dann konvergiert sie gegen 1 1 q. Satz 2.8 (Majorantenkriterium und Minorantenkriterium). Es sei (c n ) n N eine Folge mit c n 0 für alle n N. a) Ist n=1 a n eine Majorante von n=1 c n,d.h.c n a n für alle n N, undist n=1 a n konvergent, so ist auch k=1 c n konvergent. b) Ist k=1 b n eine Minorante von n=1 c n,d.h.b n c n für alle n N, undist n=1 b n divergent, so ist auch n=1 c n divergent. Lemma 2.9 (Verdichtungslemma von Cauchy). Sei (c n ) n N eine nicht negative reelle monoton fallende Folge. Die Reihe n=1 c n konvergiert genau dann wenn die Reihe k=1 2k c 2 k konvergiert. Satz 2.10 (Harmonische Reihe). Sei α R. Die Reihe k=1 1 k konvergiert α genau dann, wenn α>1. Insbesondere divergiert die Harmonische Reihe k=1 1 k.

5 4. e Satz a) Die durch a n = n k=0 1 k! definierte Folge konvergiert. b) Die durch b n = ( 1+ n) 1 n definierte Folge konvergiert. c) Es gilt lim n a n = lim n b n. Definition Die Zahl e := lim n a n = lim n b n heißt Eulersche Konstante. Satz e R \ Q.

6 5. Absolute Konvergenz Definition 2.14 (Cauchy-Folgen). Eine Folge (a n ) n N heißt Cauchy-Folge falls es zu jedem ɛ>0 ein N N gibt, so dass für alle n, m N die Abschätzung a n a m <ɛgilt. Satz 2.15 (Cauchy-Konvergenzkriterium). Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn Sie eine Cauchy-Folge ist. Satz 2.16 (Notwendiges Konvergenzkriterium). Ist die Reihe k=1 a k konvergent so gilt lim k a k =0. Definition 2.17 (Absolute Konvergenz). Eine Reihe heißt absolut konvergent, falls die Reihe k=0 a k konvergiert. Satz 2.18 (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz). Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Für die Werte der Reihe gilt die Ungleichung: a k a k k=0 k=0.

7 6. Leibnizkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium Satz 2.19 (Das Leibnizkriterium). Ist (c k ) k N0 eine monoton fallende Nullfolge, so ist die Reihe k=0 ( 1)k c k konvergent. Satz 2.20 (Wurzelkriterium). Es sei eine Reihe. a) Wenn eine Zahl q mit 0 <q<1 existiert, so dass für alle (bis auf endlich viele) k N die Ungleichung k a k q gilt, so ist absolut konvergent. b) Ist k a k > 1 für alle (bis auf endlich viele) k N so ist divergent. Korollar Für jedes k N gilt lim n n n k =1. Satz 2.22 (Quotientenkriterium). Es sei eine Reihe mit a k 0für alle k N. a) Wenn eine Zahl q mit 0 <q<1 existiert, so dass für alle (bis auf endlich viele) k N die Ungleichung a k+1 a k q gilt, so ist absolut konvergent. b) Ist a k+1 a k > 1 für alle (bis auf endlich viele) k N so ist divergent.