Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya
|
|
|
- Erwin Kneller
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya
2 Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang an = f (n), aus dem sich die Reihenglieder berechnen lassen. a i Beispiel : Aus der arithmetischen Zahlenfolge = n =, 2, 3, 4, 5,... entsteht durch Partialsummenbildung eine sog. arithmetische Reihe n = n Ma 2 Lubov Vassilevskaya
3 Folgen und Reihen: Beispiele Beispiel 2: Aus der unendlichen Zahlenfolge = n =, 2, 3, 4, 5,... entsteht durch Partialsummenbildung die sog. harmonische Reihe n= n = n... Beispiel 3: Aus der geometrischen Folge = a q n = a, a q, a q 2,..., a q n,... erhalten wir durch Partialsummenbildung die sog. geometrische Reihe n = a q n = a a q a q 2... a q n Ma 2 Lubov Vassilevskaya
4 Eine unendliche Reihe: Definition s n = a a 2... Für unendliche große n definiert man daher i= a i = Damit wird die Summe einer unendlichen Reihe als Grenzwert der Folge der Partialsummen erklärt. So kann man die Konvergenz einer unendlichen Reihe (und damit das Problem der Existenz einer Summe dieser Reihe) auf die Konvergenz der Folge der zugehörigen Partialsummen zurückführen Eine unendliche Reihe i= n a i heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert. Der Grenzwert der Partialsumme heißt dann Summe der unendlichen Reihe, und es gilt s n k = a k = s n = s n Existiert s nicht, so heißt die Reihe divergent. 6- Ma 2 Lubov Vassilevskaya
5 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Wir zeigen, dass die geometrische Reihe q n = q q 2... q n... für q < konvergiert und für q > divergiert. s n = q q 2... q n, q s n = q q 2 q 3... q n s n q s n = q q 2... q n [ q q 2 q 3... q n ] = = q n s n q s n = s n q = q n s n = qn q q : s = s n = n n q n q = q, n q q n = 0 q n = q q 2... q n... = q Die Folge der Partialsummen besitzt für q < diesen Grenzwert. 6-2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
6 Konvergenzkriterien Konvergenzkriterien ermöglichen eine Entscheidung darüber, ob eine vorgegebene unendliche Zahlenreihe konvergiert oder divergiert. Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist die Bedingung n=, > 0 n = 0 Diese Bedingung ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend. 7- Ma 2 Lubov Vassilevskaya
7 Konvergenzkriterien: Quotientenkriterium von d'alembert Quotientenkriterium von d'alembert: Erfüllen die Glieder einer unendlichen Reihe die Bedingung n = q so ist die Reihe konvergent. Ist aber q >, so ist die Reihe divergent. Jean-Baptiste d'alembert (77-783) Für q = versagt das Quotientenkriterium, d.h. eine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz ist dann mit dem Quotientenkriterium nicht möglich. Das Quotientenkriterium liefert eine hinreichende Bedingung für die Reihenkonvergenz. 7-2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
8 Konvergenzkriterien Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind ( ) n+ = a a 2 + a 3 a 4 + a 5... > 0 Der Faktor n bestimmt das Vorzeichen der Glieder. Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76) Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen: Eine alternierende Reihe ist konvergent, wenn die Reihenglieder die folgenden Bedingungen erfüllen:. a > a 2 > a 3 >... > > + > n = Ma 2 Lubov Vassilevskaya
9 Konvergenz und Divergenz: Aufgabe Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren a ) b ) c ) A Ma 2 Lubov Vassilevskaya
10 Konvergenz und Divergenz: Lösung a = n= Um zu bestimmen, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert, bestimmen wir zuerst eine allgemeine Formel für die Glieder. Im Zähler jedes Reihengliedes steht eine, im Nenner Potenzen von 2. Deswegen besteht unsere Aufgabe darin, die Folge der Exponenten von 2 allgemein darzustellen: = = n= = n= 2 b n Wir haben also die Exponenten Differenz d = 2. b n = 0, 2, 4, 6, 8,... mit der konstanten b = 0, b 2 = 2, b 3 = 4, b 4 = 6,... b 2 = b 2, b 3 = b 2 2 = b 2 3 b n = b 2 n = 0 2 n = 2 n 2 8-a Ma 2 Lubov Vassilevskaya
11 Konvergenz und Divergenz: Lösung a = n= 2 2 n 2 = n=, = 2 2 n 2 n = n n 2 2 n 2 = n 2 2 n 2 2 n = n 2 2 n 2 2 n 2 2 = 4 Die Reihe konvergiert. 8-b Ma 2 Lubov Vassilevskaya
12 Konvergenz und Divergenz: Lösung b b ) = b n =, 2, 3, 4, 5,... b =, d = b n = b + d (n ) = + n = n n= b n c n c n = 2, 3, 4, 5, 6,... c = 2, d = c n = c + d (n ) = 2 + n = n + = b n c n = n (n + ) n + = n n (n + ) (n + ) (n + 2) = In diesem Fall muss man mit anderen Mitteln auf Konvergenz prüfen: = n (n + ) = n n + 8-2a Ma 2 Lubov Vassilevskaya
13 Konvergenz und Divergenz: Lösung b = n (n + ) = n n + n S n = i = n a i = i = i i = n n n n = n n S n = n ( n + ) = Die Reihe konvergiert. 8-2b Ma 2 Lubov Vassilevskaya
14 Konvergenz und Divergenz: Lösung c = n= = n= b n c n b n =, 3, 5, 7, 9,... b =, d = 2 b n = b + d (n ) = + 2(n ) = 2 n c n = 5, 8,, 4, 7,... c = 5, d = 3 c n = c + d (n ) = 5 + 3(n ) = 3 n + 2 = b n c n = 2 n 3 n + 2, n Die Reihe divergiert. = n 2 n 3 n + 2 = Ma 2 Lubov Vassilevskaya
15 Konvergenz und Divergenz: Aufgaben 2-5 Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: n= n 5 n 2 n n= 2 n n + a ) 6 n! a ), b ) n= 3 2 n (2 n)! 9-A Ma 2 Lubov Vassilevskaya a ) a ) n= 3 n n 4, b ) n n, b ) 3 n n, n + 4 (n + ) 5 n + 2 n (n + 3) 3 b ) n n +3 2 n n + 2
16 Konvergenz und Divergenz: Lösungen 2, 3 Lösung 2: n 5 = n = n = n n 5 n 5 n n = n 5 n = 5 Die Reihe konvergiert. Lösung 3: n 2 2 n = = n = n n 2 2 n 2 n n 2 = n 2 n n n n = = n 2 n n = 2 Die Reihe konvergiert. 9- Ma 2 Lubov Vassilevskaya
17 Konvergenz und Divergenz: Lösung 4a n + 6 n= n! = 6 2! ! ! ! +... = n = n 6 n 2 n! n! = n 6 n 6 n! n! = 6 n n! n! = = 6 n n! n!(n + ) = 6 n n + = 0 Die Reihe konvergiert. 9-2a Ma 2 Lubov Vassilevskaya
18 Konvergenz und Divergenz: Lösung 4b n= 3 2 n (2 n)! = 32 2! ! ! ! +... = = n + = n 3 2 (n+) (2 n)! = (2 (n+))! 3 2 n n 3 2 (2 n)! (2 n)! (2 n + ) (2 n + 2) = = n 9 (2 n + ) (2 n + 2) = n 9 n 2 ( 2 + n ) ( 2 + n ) = n 9 4 n 2 = 0 < Die Reihe konvergiert. 9-2b Ma 2 Lubov Vassilevskaya
19 Konvergenz und Divergenz: Lösung 5 a ) = 3 n n 4, n + = n ( 3 n + 4 (n + ) 4 n ) 3 n = = n 3 n 4 (n + ) 4 = 3 ( n ) 4 = 3 > n n + Die Reihe divergiert. b ) = 2 n (n + 3) 3, n + = n ( 2 n + (n + 3) ) 3 (n + 4) 2 n = 3 ( 3 2 (n + 3) ) = n (n + 4) 3 = 2 ( n + 3 ) 3 = 2 > n n + 4 Die Reihe divergiert. 9-3 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
20 Konvergenz und Divergenz: Lösung 6 a ) = n n n + = 2 3 n n n + 2 = = 2 3 n ( + n + 2 ) = 2 3 < Die Reihe konvergiert. 9-4 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Folgen und Reihen. 1 Konvergenz
Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch
Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
Fragen und Antworten Folgen und Reihen (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Reihen 2 1.1 Fragen............................................... 2 1.1.1 Folgen...........................................
Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014
Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen
Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,
Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man
Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +
8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die
4 Reihen und Finanzmathematik
4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei
Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.
Folgen und Reihen Christoph Laabs, christoph.laabs@tu-dresden.de Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a 4 +... Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich.
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der
Kapitel 5 Reihen 196
Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel
Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R
Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt
INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik
Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008
Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder
4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.
4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren
Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const.
Folgen und Reihen Folgen: Def.: Eine Abbildung a N K, n a(n) := a n (K = R C) wird Zahlenfolge genannt. Sie heißt reelle (komplexe) Zahlenfolge, falls K = R(C) ist. Symbole: a n K: Elemente der Folge,
Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007
Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........
Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.
Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge
= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.
2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2
2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)
2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt
Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.
Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,
97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch 04.04.2007 8:38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme.
n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen
4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die
Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38
Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder
Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:
Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele
Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um
Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,
1 Folgen und Stetigkeit
1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.
7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der
KAPITEL 2. Folgen und Reihen
KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).
7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.
7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert
4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K
3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung
Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut
10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen
10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten
Kapitel 4 Folgen und Reihen
Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt 4.1 4.1 Konvergenzkriterien für für Folgen 4.2 4.2 Reihen 4.3 4.3 Achilles und und die die Schildkröte Seite 2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl.
Analysis I. Vorlesung 9. Reihen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 20/204 Analysis I Vorlesung 9 Reihen Wir haben in der siebten Vorlesung gesagt, dass man eine Dezimalentwicklung, also eine (unendliche) Ziffernfolge mit Ziffern zwischen
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik
Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD
Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Konvergenzkriterien Reihen Potenzreihen 2322004 Gerd Rapin grapin@mathuni-goettingende Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung
ist streng monoton fallend.
Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.
Folgen und Reihen. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth
Folgen und Reihen Mathematik I für Chemiker Daniel Gerth Überblick Folgen und Reihen Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Folgen und Reihen versteht; Was man unter Grenzwert von Folgen und Reihen versteht;
Folgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen Unendliche Reihen Potenzreihen. Reihen. Fakultät Grundlagen. März 2015
Fakultät Grundlagen März 015 Fakultät Grundlagen Grundlagen: und endliche Beispiele Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien Fakultät Grundlagen Folie: Übersicht Grundlagen: und endliche Artithmetische
3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.
Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz
6 - Unendliche Reihen
Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 1 6 Unendliche Reihen Definition 6.1 (Unendliche Reihen) Sei eine Folge aus C. Unter der unendlichen Reihe mit den Gliedern versteht man das Symbol oder Die Zahl heißt
Folgen und Reihen Folgen
Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort
10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit
10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2
Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium
Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen
3. Potenzreihen. Definition 7.5. Eine unendliche Reihe der Form. a k x k. Es handelt sich also um eine Funktionenreihe mit f k (x) = a k x k.
3. Potenzreihen Definition 7.5. Eine unendliche Reihe der Form a x mit x R (veranderlich und a R (onstant heit Potenzreihe, die Zahlen a ( heien Koezienten der Potenzreihe. Es handelt sich also um eine
Die alternierende harmonische Reihe.
Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = 2 + 3 4 + konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = 06934 für den Grenzwert
9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen
9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute
Angewandte Mathematik und Programmierung
Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens mit C++ und Matlab SS2013 Inhalt Bis jetzt : Die grundlegende Aspekte
11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)
Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen
Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen Inhaltsverzeichnis FOLGEN REELLER ZAHLEN... 3 DEFINITION... 3 GRENZWERT... 3 HÄUFUNGSPUNKT... 4 MONOTONIE... 4 BESCHRÄNKTHEIT... 4 SÄTZE... 4 RECHNEN MIT GRENZWERTEN...
Mathematik I - Woche 10
Mathematik I - Woche 0 Philip Müller Reihen. Was ist eine Reihe Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (a n ) n N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein
$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.
Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder
Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte
Kapitel 3 Folgen und Reihen Wie bereits in der Einleitung angedeutet, beschäftigt sich die Analysis sehr stark mit Grenzprozessen. Wir werden in diesem Kapitel die wichtigsten Grenzprozesse, nämlich die
Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 24 Reihen Wir betrachten Reihen von komplexen Zahlen. Definition 24.1. Sei ( ) k N eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)
Das Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
Konvergenz von Folgen
" Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Reihen 1005 Gerd Rapin Übersicht Folgen Konvergenz von Folgen Realisierung in MuPAD Reihen Eponentialfunktion Logarithmus Sinus Cosinus
,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5
3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber
1 Reihen von Zahlen. Inhalt:
5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,
2 - Konvergenz und Limes
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die
Folgen und Reihen. 1.1 Zahlenfolgen. Kapitel 1 Folgen und Reihen 1 a 1
Kapitel 1 Folgen und Reihen 1 a 1 Folgen und Reihen Folgen sind sehr grundlegend für die Mathematik an sich, aber auch für das persönliche Bild eines Menschen zur Mathematik. Wenn ein kleines Kind der
5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied.
5 5. Reihen Im Folgenden sei X K n oder ein beliebiger K-Vektorraum mit Norm. 5.. Definition. Es sei (x k ) Folge in X. DieFolge n s n x k n,,... der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit
REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert
![REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert](/thumbs/55/37057337.jpg "REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert")
Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen
Unendliche Reihen. D.h. Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen.
Unendliche Reihen Wegen der elementaren Eigenschaften der Zahlen ist lar, was unter einer endlichen Summe von Zahlen a + a 2 +... + zu verstehen ist. Vorderhand ist noch nicht erlärt, was unter einer unendlichen
Konvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 12. Dezember 2007 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
Folgen und endliche Summen
Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 11
Lösungsskizzen zur Präsenzübung Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 05/06 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 07. Februar 06 von: Mirko
11. Folgen und Reihen.
- Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a
Geometrische Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Geometrische Folgen 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Geometrische Folge Während bei einer arithmetischen Folge jeweils die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern konstant ist 1 = d bleibt
6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun
Konvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2008 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion
Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien
Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte
Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte Wichtige Begriffsbildungen, darunter die reellen Zahlen R, Exponentialfunktion und Logarithmus sowie Stetigkeit, Ableitung und Integral von Funktionen
3.1 Folgen. ,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. Mathematik I WiSe 2005/ y = (y n ) n N = ( 1 3, 1 9, 1 27, 1 81, 1
Kapitel 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a = (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index
Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion
Kapitel 8 Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Der in Definition 7. eingeführte Begriff einer Folge ist nicht auf die Betrachtung reeller Zahlen eingeschränkt und das Beispiel {a n } = {x
ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht
ANALYSIS I FÜR TPH WS 206/7 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Untersuchung von Reihen mittels Konvergenzkriterien Aufgabe 2: Konvergenz und Berechnung von Reihen I Aufgabe 3: ( )
3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen
3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben
Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z
2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.
2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es
Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV
Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form
2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen. Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen: Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann?
2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann? Offenbar können Sie mit diesem
Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen
Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei
Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt.
Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N j 2 j n(n + )(2n + ) gilt. Der Beweis wird mit Hilfe vollständiger Induktion geführt. Wir verifizieren daher zunächst den Induktionsanfang,
Spickzettel Mathe C1
Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine
Mathematik I. (für Informatiker, ET und IK) Oliver Ernst. Wintersemester 2013/14. Professur Numerische Mathematik
Mathematik I (für Informatiker, ET und IK) Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Wintersemester 2013/14 Inhalt 1 Vorbemerkungen 2 Grundlagen 3 Folgen und Reihen 4 Grenzwerte, Stetigkeit und Beispiele
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2015/16 Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Grundlagentest Polynome! Testfrage: Polynome 1 Die Summe
Viele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976)
Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander
2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen. Definition 2.1 (Zahlenfolge). Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen:
2 Folgen und Reihen 2. Folgen Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2... Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann? Offenbar können Sie mit diesem Gesetz
Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen
Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen
Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen
7. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
Grundlagen der Analysis (Rückblick auf die Schule)
Kapitel Grundlagen der Analysis Rückblick auf die Schule). Bezeichnungen, Notation, Rechenregeln Notation.: Folgende Standardbezeichnungen und Symbole sollten aus der Schule bekannt sein und werden auch