Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen

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1 Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei Konvergenzbeweisen muss dieses Kriterium für alle > 0 überprüft werden! Dabei ist zu beachten, dass n 0 von einem zuvor gewählten > 0 abhängen darf. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent. 2. Beschränkte Folgen Eine Folge a n n reeller Zahlen heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Konstante K gibt, so dass a n K für alle n gilt. nach oben beschränkt, wenn es eine Konstante K gibt, so dass a n K für alle n gilt. beschränkt, wenn es eine Konstante S 0 gibt, so dass an S für alle n gilt. Bemerkung: Eine beschränkte Folge ist insbesondere nach unten und nach oben beschränkt. 3. Monotone Folgen Eine Folge a n n reeller Zahlen heißt monoton fallend, wenn a n+ a n für alle n gilt. monoton wachsend, wenn a n+ a n für alle n gilt. streng monoton fallend, wenn a n+ < a n für alle n gilt. streng monoton wachsend, wenn a n+ > a n für alle n gilt. 4. Bestimmte Divergenz Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt bestimmt divergent gegen +, wenn gilt S n 0 n n 0 : a n > S Die Folge a n n heißt bestimmt divergent gegen, wenn die Folge a n n bestimmt gegen + divergiert. Divergiert a n n bestimmt gegen + bzw., dann schreibt man a n = bzw. a n =. Statt bestimmt divergent sagt man auch uneigentlich konvergent. 5. Unbestimmte Divergenz Unbestimmte Divergenz einer reellen Zahlenfolge a n n liegt dann vor, wenn die Folge weder bestimmt divergent noch konvergent ist.

2 6. Definition Cauchy-Folge Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt Cauchy-Folge, wenn gilt > 0 n 0 m, n n 0 : a m a n < Hinweise: Es ist zu beachten, dass n 0 von einem zuvor gewählten > 0 abhängen darf. Es genügt insbesondere nicht, nur > 0 n 0 n n 0 : a n+ a n < nachzuweisen! 7. Häufungspunkte Eine Zahl a heißt Häufungspunkt der Folge a n n, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen a konvergiert. 8. Konvergenzsätze Auswahl a Jede konvergente Folge ist beschränkt. b Jede beschränkte monotone Folge reeller Zahlen konvergiert. c Sandwichregel : Seien a n n und b n n zwei konvergente Folgen mit a n = a = b n. Sei außerdem c n n eine Folge, so dass ein n 0 existiert mit a n c n b n für alle n n 0. Dann ist auch die Folge c n n konvergent und es gilt c n = a d Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. e Eine Folge a n n konvergiert genau dann, wenn a n n eine Cauchy-Folge ist. f Eindeutigkeit des Grenzwerts: Konvergiert die Folge a n n gegen a und b, dann ist a = b. 9. echenregeln für konvergente Folgen Seien a n n und b n n zwei konvergente Folgen, d.h. es gilt a n = a bzw. b n = b. Dann gilt: a Die Folge a n + b n ist konvergent und es gilt n b Die Folge a n b n ist konvergent und es gilt n an + b n = a n + b n = a + b an b n = a n b n = a b c Die Folge λ a n ist für λ konvergent und es gilt n λ an = λ a n = λa d O.B.d.A. gelte b n 0 für alle n. Dann ist b 0 und die Folge an b n = a n b = a n b e Gilt a n b n für alle n n 0, dann folgt a n b n an b n n ist konvergent mit Diese Zusammenstellung ersetzt nicht die Vorlesung. Für Zusammenhänge zwischen den Aussagen und insbesondere für die Beweise der genannten Aussagen sei auf die Vorlesung sowie auf eine Vielzahl von Lehrbüchern verwiesen! 2

3 Anhang: Zur n 0 -Definition der Konvergenz einer reellen Zahlenfolge Erfahrungsgemäß fällt es vielen Studenten schwer, sich mit der n 0 -Definition der Konvergenz einer reellen Zahlenfolge anzufreunden. Dies hängt oft damit zusammen, dass sich die Betreffenden nicht so recht vorstellen können, was damit eigentlich gemeint ist. Als Ergänzung sei dies hier an zwei einfachen Beispielen anschaulich dargestellt. Zunächst halten wir aber fest, dass äquivalent ist zu a n = a > 0 n 0 : n n 0 : a n a < a n = a > 0 n 0 : n n 0 : a n a n, a n + 2 Beispiel Beweisen Sie unter Verwendung der n 0 -Definition der Folgenkonvergenz, dass a n = 2 für a n := n 2 für n bzw. a n := 2 für n >. Lösung: Sei > 0 beliebig gewählt. Wählen wir n 0 =, dann gilt für alle n n 0 a n 2 = 2 2 = 0 < Für diese ab n = konstante Folge ist n 0 insbesondere von der Wahl von > 0 unabhängig. Dies ist aber allgemein nicht möglich, siehe dazu Beispiel 2 weiter unten! a + = 4 a = 0 Abb. : Für = 2 liegen alle Glieder der Folge a n n aus Beispiel für n n 0 = innerhalb des Intervalls a, a + = 0, 4. Würde man n 0 kleiner wählen, dann wäre das Konvergenzkriterium verletzt, da die Glieder a n für ungerades n < nicht mehr in der -Umgebung des Grenzwertes liegen. a + = 3 a 2 a = Abb. 2: Auch für = liegen alle Glieder der Folge a n n für n n 0 = innerhalb des Intervalls a, a + =, 3. a + = 2.5 a =.5 Abb. 3: Bei weiterer Halbierung von auf = 0.5 liegen alle Glieder n n 0 = innerhalb des Intervalls a, a + =.5, 2.5. der Folge für 3

4 Abb. 4: Wir können > 0 also beliebig klein wählen hier sei beliebig klein nur angedeutet, aber trotzdem liegen immer alle Folgenglieder a n für n n 0 = innerhalb des Intervalls a, a +. Für diese konstante Folge besteht eben zusätzlich die Besonderheit, dass man ein von unabhängiges n 0 angeben kann. a + = 7 a = 3 Abb. 5: Die Bedingung muss für eine konvergente Folge auch für jede beliebig große Wahl von > 0 gelten. In dieser Abbildung wurde = 5 gewählt, und damit gilt wie übrigens für alle > 4 sogar a n a, a + für alle n und damit erst recht für alle n n 0 =. Beispiel 2 Behauptung: a n = 0 für a n := n mit n. Lösung: Sei > 0 beliebig gewählt. ach dem Archimedischen Axiom existiert ein n 0 mit n 0 >. Wählen wir n 0 := +, dann folgt für alle n n an 0 = n n 0 <. 0.2 a + = 0. a = 0 a = Abb. 6: Für = 0. liegen alle Glieder der Folge a n n \{0} aus Beispiel 2 für n n 0 = innerhalb des Intervalls a, a + = 0., 0.. Würde man n 0 kleiner wählen, dann wäre das Konvergenzkriterium nicht erfüllt, da die Glieder a n für n < n 0 nicht mehr in der -Umgebung des Grenzwertes a = 0 liegen. 4

5 Bei der Folge in Beispiel 2 ist n 0 in Abhängigkeit von > 0 zu wählen. Die nachfolgende Tabelle nennt einige n 0 in Abhängigkeit von > 0. Deutlich erkennt man, dass n 0 umso größer ist, je kleiner gewählt wird. n 0 := Bemerkungen: Wichtig ist also, dass für alle > 0 erfüllt sein muss! Soll die Konvergenz mit Hilfe von nachgewiesen werden, dann sollte ein solcher Beweis standardmäßig folgenden Satz enthalten: Sei > 0 beliebig. Anschaulich bedeutet Konvergenz im Sinne von den Grenzübergang 0. In der n 0 -Definition der Konvergenz wird die Existenz von mindestens einer natürlichen Zahl n 0 gefordert, so dass an a < für alle n n0 gilt. Es ist zu beachten, dass n 0 von abhängen darf aber nicht notwendig abhängen muss, wie Beispiel zeigt. Hat man ein kleinstes n 0 mit der genannten Eigenschaft bestimmt, so könnte man natürlich auch jedes beliebige n > n 0 als n 0 wählen, d.h. n 0 ist mitnichten eindeutig. Oft wird bei der n 0 -Definition der Konvergenz einer Zahlenfolge in der Literatur statt an a < auch die Abschätzung an a angegeben. Dies ist aber zu gleichwertig, hat aber ggf. auf konkrete Werte von n 0 Auswirkung. Dies mache man sich etwa am Beispiel 2 klar, wo konkret n 0 := + gesetzt wird. Würde man im Beispiel 2 nur n 0 := verwenden, dann würde beispielsweise für = 0. und n = n 0 = 0 gelten a n a = 0. =, d.h. wäre mit diesem n 0 nicht erfüllt wohl aber, wenn man in < durch ersetzen würde. BTU Cottbus-Senftenberg, Lehrstuhl umerische und Angewandete Mathematik, Letzte Bearbeitung:. ovember 203 5